第4章概率習(xí)題課

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征( (一一) ) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望( (均值均值) )kkkpxXE 1)(kkkpxgXgEYE 1)()()(dxxfxXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( ijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( dxdyyxfxXE),()( ijiijpxXE 11)(數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): 假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在 1. E(C)=C, （C 是常數(shù)是常數(shù)） 2. E(CX )=CE(X ), （C 是常數(shù)是常數(shù)）

2、3. E(X Y )=E(X ) E(Y ), 4. 設(shè)設(shè)X與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則 E(XY )=E(X )E(Y)kkkpxXD 21E(X)(1,2,k ,PX kkpx1 1。若若X: : 離散型離散型. .dxxfxXD)(E(X)(2 2 2。若若X: : 連續(xù)型連續(xù)型. .概率密度為概率密度為 f(x)E(X)XEVar(X)D(X)2 (1)(1)22E(X)E(XD(X) 計(jì)算公式：計(jì)算公式：D(X)( x 3 3。均方差或標(biāo)準(zhǔn)差均方差或標(biāo)準(zhǔn)差: : 1。 D(C)=0, (C為常數(shù)為常數(shù)) 2。 D(CX)=C2 D(X), (C為常數(shù)為常數(shù)) 3。 設(shè)設(shè)X與與Y

3、是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 特別，特別，若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立: D(XY)=D(X)+D(Y) 4。 D(X)=0 PX=E(X)=1. ),(2)()( )()(2)()()(YXCovYDXDYEYXEXEYDXDYXD (2)(2)方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)5 5。若若X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, ,則則 E( (X)= , )= , D( (X)= .)= .3 3。若若X( ( ),),則則 E( (X)= )= , , D( (X)= )= . .4 4。若若X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)均勻分布均勻分布， 則則 E( (X)=()=(a+b)/2, )/2, D(

4、(X)=()=(b-a) )2 2/12./12.6 6。若若XN( , 2), ,則則E( (X)= )= , , D( (X)= )= 2. .2。若若Xb(n, ,p ),則則 E( (X)=)=np, , D( (X)=)=npq. .1 1。若若X服從服從兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布, ,則則 E( (X)=)=p, , D( (X)=)=pq. .( (三三) )一些常見(jiàn)分布的期望與方差一些常見(jiàn)分布的期望與方差 2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)= , ,方差方差D(X)= = 2 2. . 則對(duì)任意的正數(shù)則對(duì)任意的正數(shù) ，有，有 上式稱為切比雪夫上式稱為切比雪夫(cheb

5、yshev)不等式不等式22|-XP| ( () ) 注注 此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下, , 估計(jì)事件估計(jì)事件 或或|-X| |-X| 的一種方法的一種方法. .的概率的概率協(xié)方差協(xié)方差: :)()(),(YEYXEXEYXCov 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù):D(Y)D(X)Y)Cov(X, XY X與與Y不相關(guān)不相關(guān): : XY =0計(jì)算公式計(jì)算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2。D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差的性質(zhì)：1 1。Cov(X,X)= D(X) 2 2。Cov(X,Y)=

6、Cov(Y,X) 3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) (a,b為常數(shù)為常數(shù)) 4 4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：. 11 xy . 1,12 bXaYPbaxy使使常常數(shù)數(shù) 注注: : 1)1)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則X與與Y一定不相關(guān)一定不相關(guān); ; 反之不一定成立。反之不一定成立。 2) 2)對(duì)對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y): X與與Y不相關(guān)不相關(guān) X與與Y獨(dú)立獨(dú)立 3)3)二維正態(tài)分布只要

7、知道二維正態(tài)分布只要知道X與與Y的分布及相關(guān)系的分布及相關(guān)系 數(shù)即可確定數(shù)即可確定. .0 設(shè)設(shè)X,Y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量, ,則則,2,1),E(X kk, 2 , 1,),YE(X lklk1)1)X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩( (k階矩階矩) )：2)2)X和和Y的的k+l 階混合矩：階混合矩：( (六六) ) 矩矩 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣, 2 , 1,E(X)-EX kk3)3)X的的k階中心矩：階中心矩：, 2 , 1,E(Y)-YE(X)-EX lklk4)4)X和和Y的的k +l 階混合中心矩：階混合中心矩：)X,X,(X21n協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 nnnnnncccccccccC2

8、12222111211 若若n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 的二階的二階 混合中心矩都存在，稱矩陣混合中心矩都存在，稱矩陣)X,X,(X21nn維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣., 2 , 1, ),E(X-)XE(X-EX)X,Cov(Xnjicjjiijiij B1.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布, ,且且E(X)=2.4,D(X)=1.44, 則二項(xiàng)分布的參數(shù)則二項(xiàng)分布的參數(shù) n, p 的值為的值為( )( ) (A) n=4, p=0.6 ; (B) n=6, p=0.4; (C) n=8, p=0.3 ; (D) n=24, p=0.1. 一一 選擇題選擇題

9、2 2. .設(shè)設(shè)X,Y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量,若若E(XY)=E(X)E(Y) ,則有則有( ) (A) D(XY)=D (X) D(Y) (B) D(X+Y)=D (X)+D (Y) (C) X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立. (D) X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立.B3 3. .設(shè)設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量是兩個(gè)隨機(jī)變量, ,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)a,b ( )使得使得 PY=aX+b=1,且且 0D (X)+ ,那么那么 為為( ) (A) 1； (B) -1； (C) ; (D) .0 a XY aa1 XY C二二 填空題填空題1.1.設(shè)設(shè)X1,X2,X3相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , X1 U(0,6), X2

10、 ,N(0,4), X3 (3), 則則D(X1 - -2 X2 +3 X3) = . 2.2.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為 p, 進(jìn)行進(jìn)行100次獨(dú)立重次獨(dú)立重 復(fù)試驗(yàn)復(fù)試驗(yàn). .當(dāng)當(dāng) p = = 時(shí)時(shí), ,成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的 值最大值最大. .最大值為最大值為 . .461/253.3.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X, Y的數(shù)學(xué)期望分別為的數(shù)學(xué)期望分別為- -2和和2，方差，方差 分別為分別為1和和4，及相關(guān)系數(shù)為，及相關(guān)系數(shù)為- -0.5，則根據(jù)切比雪，則根據(jù)切比雪 夫不等式夫不等式 6YXP_。1/125.5.設(shè)設(shè)X ( ), 且且 E(X- -1)(X -

11、-2)=1. 則則 = . 16.6.設(shè)設(shè)X 的概率密度為的概率密度為 且且 E(X)=1/2, D(X)=3/20, 則則 a = , b= , c= . 其其它它 , 0, 10 ,)(2xcbxaxxf12- -1234.4.設(shè)設(shè)X分布律為分布律為 , ,且且 x1 x2 如果如果E(X)=7/5， D(X)=6/25 ,則則 x1=_, x2=_.x1 x23/5 2/5Xp1 2三三 解答題解答題1.1.游客乘電梯從電視塔的底層到頂層觀光游客乘電梯從電視塔的底層到頂層觀光, ,電梯每整點(diǎn)電梯每整點(diǎn) 的第的第5分鐘分鐘, ,25分鐘分鐘, ,55分鐘從底層起行分鐘從底層起行. .假設(shè)一

12、游客在假設(shè)一游客在 8點(diǎn)到點(diǎn)到9點(diǎn)之間的任意時(shí)刻到達(dá)電視塔的底層電梯處是點(diǎn)之間的任意時(shí)刻到達(dá)電視塔的底層電梯處是 等可能的等可能的, ,求該游客等候電梯時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求該游客等候電梯時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. .提示提示:1。設(shè)設(shè)X表示到達(dá)電視塔底層電梯處的時(shí)刻，表示到達(dá)電視塔底層電梯處的時(shí)刻， 則則 XU 0，60. 2。設(shè)設(shè)Y為旅客等候電梯的時(shí)間為旅客等候電梯的時(shí)間,待求的是待求的是Yg(X)的期望的期望.答案：答案：35/3.35/3. 2.2.一盒中放有10個(gè)籌碼，其中8個(gè)標(biāo)有2，2個(gè)標(biāo)有8. 今某人從盒中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3個(gè)籌碼. 若他獲得的獎(jiǎng)金等于所抽3個(gè)籌碼的數(shù)字之和，求他獲獎(jiǎng)數(shù)額的期望

13、值. 解 : 設(shè)X表示該人獲獎(jiǎng)的數(shù)額， 從10個(gè)籌碼中抽取3個(gè)共有種情形，3個(gè)籌碼出現(xiàn)的數(shù)僅有3種不同情形：882，822，222所以X的取值為 18（882），12（822），6（222）， X的分布律為 X 18 12 6 3101822CCC3102812CCC31038CC(2) 6 . 91205661205612120818)( XE12081205612056即 X 18 12 6 3. 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為: 其其他他,010 , 10,2),(yxyxyxf(1) 判斷判斷X與與Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立, ,是否相關(guān)是否相關(guān)?(2) 求求E(X+Y

14、),D(X+Y)答答: (1) X與與Y 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立,但相關(guān)但相關(guān).(2) E(X+Y)=5/6 , D(X+Y)=5/36 4.已知已知(X,Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布. 若若X N(1,32), Y N(0,42), 且且 求：求：1) E(Z), D(Z); 2) 23,21YXZXY .XZ 答：答：1) E(Z)=1/3, D(Z)=3; 2） =0 . XZ 21, 0N5.5.已知已知X X與與Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,且均服從且均服從 分布分布, , 求求, )(YXE . )(YXD ,2)( YXE.21)( YXD答答6.6. 設(shè)有設(shè)有n n個(gè)球和個(gè)

15、球和n n個(gè)能裝球的盒子，他們各編有序號(hào)個(gè)能裝球的盒子，他們各編有序號(hào) 1 1，2 2，n n，今隨機(jī)地將球分放在盒子里，每個(gè)今隨機(jī)地將球分放在盒子里，每個(gè) 盒中一個(gè)球，求兩個(gè)序號(hào)恰好一致的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)的盒中一個(gè)球，求兩個(gè)序號(hào)恰好一致的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)的 均值。均值。提示：設(shè)提示：設(shè)X為兩個(gè)序號(hào)一致的個(gè)數(shù)，令為兩個(gè)序號(hào)一致的個(gè)數(shù)，令niiiiiXi, 2 , 1 , , 0 , 1 個(gè)個(gè)盒盒子子個(gè)個(gè)球球未未裝裝入入第第第第個(gè)個(gè)盒盒子子個(gè)個(gè)球球裝裝入入第第第第則則niiniiXEXEXX11)()( , 自測(cè)題自測(cè)題1.1.1)設(shè)設(shè)XN(,2), Y =exp , 求求E(Y). 2)已知已知X服從參數(shù)為服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的指數(shù)分布, ,求求E(X+e-2X).2222X2.2.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y同分布同分布,概率密度均為概率密度均為 1)已知事件已知事件A= 和和B= 獨(dú)立獨(dú)立, 且且 求常數(shù)求常數(shù) a ； 2)求求 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.其它, 010,3)(2xxxfaX aY ,43)(BAPXXE)(3.3.設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形在矩形G=(x,y)| 上服從均勻分布上服從均勻分布,記記 求求1)1) U和和V的聯(lián)合分布；的聯(lián)合分布；2)2) U和和V的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù), 20 x10 yYXYXU, 1, 0YXYXV2