(完整)高中不等式所有知識(shí)及典型例題(超全)

1、一.不等式的性質(zhì)： 二.不等式大小比擬的常用方法： 1 .作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果； 2 .作商常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式；3.分析法；4.平方法；5.分子或分母有理化； 6.利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法；8.圖象法.其中比擬法作差、作商是最基本的方法. 三.重要不等式 22 1. 1假設(shè)a,bR,那么a2b22ab2假設(shè)a,bR,那么aba一 b-當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“二 2 2. 1假設(shè)a,bR*,那么a-bTOE2假設(shè)a,bR*,那么ab2而當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取二2 2 假設(shè)a,bR*,那么abab(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取二) 2 ,一一1 3.假

2、設(shè) x0,那么x32當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“=；x 一,1,一.一“ 假設(shè) x0,那么x2當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“二 x 假設(shè) x0,那么x12即x12或x1-2當(dāng)且僅當(dāng) a xxx 2.2 3-一 6.n(a1+a2+an)?n/a1a2Lan(aR,i=1,2,n),當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2=an取等方; b時(shí)取“=) 假設(shè) ab0,那么0bba 2當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取二 2或2-2當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取二ba 變式：a2+b2+c2ab+bc+ca;ab(02b)2(a,bR+);abc( 2ab,a+ba2+b2,小,、 aa+b&Uab22b.(0ab) a+b+c 3 )3(a,b,

3、c R+) 7.濃度不等式 bn an bbn0,m0;aa+m 應(yīng)用一：求最值 例 1：求以下函數(shù)的值域 解題技巧： Dy=3x2+親 1 y=x+xx 假設(shè) ab0,貝Uab2即0bbaba 4.假設(shè)a,bR,那么(3)2 2 5.a3+b3+c33abc(a,b,c R+) a+b+c 3 3/abc當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c 時(shí)取等號(hào)； 1 .假設(shè)實(shí)數(shù)滿足 ab2,那么3a3b的最小值是 和3b都是正數(shù),3a3b和2d3a3b2G3ab6 3a3b時(shí)等號(hào)成立,由 ab2 及3a3b得 ab1 即當(dāng) ab1 時(shí),3a3b的最小值是 6. 技巧六：整體代換：屢次連用最值定理求最值時(shí),要注意取等號(hào)

4、的條件的一致性,否那么就會(huì)出錯(cuò). 一,一19 2:x0,y0,且一1,求 xy 的取小值.xy 5 技巧一：湊項(xiàng)例1：x,求函數(shù)y4x2 4 ,的最大值. 4x5 評(píng)注：此題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),技巧二：湊系數(shù) 例 1.當(dāng)口時(shí),求yx(82x)的最大值. 2 技巧三：別離例 3.求y-一乙二0(x x1 使其積為定值. 1)的值域. 技巧四：換元 解析二：此題看似無(wú)法運(yùn)用根本不等式,可先換元, 令 t=X+1,化簡(jiǎn)原式在別離求最值. (t1)27(t1)+10t25t44 =t5 t=2 即 x=1 時(shí)取“=號(hào)) 技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí),假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況,應(yīng)結(jié)

5、合函數(shù) a一 f(x)x的單 x 調(diào)性.例：求函數(shù) y x24 的值域. 解：令,X24 t(t x25 x24 x24 11 -t1(t2) x24t 1 不在區(qū)間 2, ,故等號(hào)不成立,考慮單調(diào)性. 一一1. 由于yt-在區(qū)間t 1, 單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間 2, 為單調(diào)遞增函數(shù),故y 所以,所求函數(shù)的值域?yàn)?5 2, 2.0X1,求函數(shù) 條件求最值 yjx(1x)yjx(1x)的最大值.；3.0 x 2,2,求函數(shù) yJx(23x)yJx(23x)的最大值. 3 分析: 和到“積 是一個(gè)縮小的過(guò)程,而且3a3b定值,因此考慮利用均值定理求最小值, 解: 當(dāng)3a 變式：假設(shè) iog4xl

6、og4y 2,求-的最小值.并求 x,y 的值xy 當(dāng) X-1,即 t=X41口時(shí), 技巧七、x,y 為正實(shí)數(shù),且 x2+5=1,求 x41+y2的最大值. 一22 分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采用公式 ab一一 再用單調(diào)性或根本不等式求解,對(duì)此題來(lái)說(shuō),這種途徑是可行的; 題來(lái)說(shuō),因條件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位求出最值,考慮用根本不等式放縮后,再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行. 那么 u2+25u-300,5取u372 1,ab力 Jab(a,bR)的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算水平；如何由 不等式 aba2b30(a,bR)出發(fā)求得 ab 的范圍,關(guān)鍵是尋找到ab與ab之間的

7、關(guān)系,由此想 到不等式 2 面(a,bR),這樣將條件轉(zhuǎn)換為含 ab 的不等式,進(jìn)而解得 ab 的范圍. 2 變式：1.a0,b0,ab(a+b)=1,求 a+b 的最小值. 2 .假設(shè)直角三角形周長(zhǎng)為 1,求它的面積最大值. 技巧九、取平方 5、x,y 為正實(shí)數(shù),3x+2y=10,求函數(shù) W=V3x+V2Y 的最值.,22 解法一：假設(shè)利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,審a-2,此題很簡(jiǎn)單 V3x+V2y0 得,0Vb15 b+1 令 t=b+1, 1t2/t-竿=8 ab/ab .質(zhì)0,W2=3x+2y+273X的=10+2 標(biāo)遍 010+(灰 Kg)2=1.+(3x+2y)=20 W

8、W回=2水 應(yīng)用二：利用根本不等式證實(shí)不等式 1.a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證：a12b2c2abbcca 1)正數(shù) a,b,c 滿足 a+b+c=1,求證：(1a)(1b)(1c)8abc 例 6: 111 a、b、cR,且 abc1.求證：一1一1一18 abc 分析: 11a 不等式右邊數(shù)字 8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用根本不等式可得三個(gè) 2-bc,可由此變形入手.a 解：Qa、b、c 1 R,abc1o-1a 2.阮 a 1d2、ac 同理一1 bb 2連乘,又 當(dāng)且僅當(dāng)a 1,一 -時(shí)取等號(hào). 3 (2)不等式(x2)4x22x30 的解集是 (答：xx3或x1); (3)

9、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x)0的解集為x|1x2,g(x)0的解集為,那么不等式f(x)gg(x)0的解集為 (答：(,1)U2,); (4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x34569xa0(解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個(gè),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 解因式,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正,最后用標(biāo)根法求解.解分式不等式時(shí),一 般不能去分母,但分母包為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母.如 (1)解不等式 27x1 x22x3 (答:(1,1)U(2,3); (2)關(guān)于x的不等式 axb0 的解集為(1,),那么關(guān)于x的不等式父_上0的解集為 x2

10、 (答：(,1)(2,) 5.指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式. 6.絕對(duì)值不等式的解法： (1)含絕對(duì)值的不等式|x|a 的解集 4|ax+b|0c(c0)和|ax+b|力 c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c-cax+bcax+b1c 或 ax+bc(c0)和|x-a|+|x-b|0)型不等式的解法 方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想； 方法二：利用“零點(diǎn)分段法求解,表達(dá)了分類討論的思想； 方法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,表達(dá)了函數(shù)與方程的思想. 方法四：兩邊平方. 一C1 例1:解以下不等式：(1).x22xx(2).-3-x 或 x2-2x3 或 x0 或 0V

11、x1 原不等式的解集為x|x0 或 0Vx3 解法 2(數(shù)形結(jié)合法) 作出示意圖,易觀察原不等式的解集為x|x0 或 0Vx3 81仁) 4.分式不等式的解法 分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為 0,再通分并將分子分母分 第(2)題圖 【解析】：此題假設(shè)直接求解分式不等式組,略顯復(fù)雜,且容易解答錯(cuò)誤；假設(shè)能結(jié)合反比例函數(shù) 【解法 11 令 分別作出函數(shù) g(x)和 h(x)的圖象,易求出 g(x)和 h(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為 3 3 |x1|-一 2的解集為 4 3 |x1|x1| 【解法 3】由2的幾何意義可設(shè)F1(-1,0),F2(1,0),M(x,y), MF1MF23_ 第(1

12、)題圖 圖象,那么解集為x|x 1或x2 知 x4. 7.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?函數(shù)增減性為根底,分類討論是關(guān)鍵. 注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上,原不等式的解集是.注意：按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但假設(shè)按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集.如 22 1右loga1,那么a的取值沱圍是答：a1 或0a一； 33 2 2解不等式-aJxaRax1 1.、1.、 答：a0 時(shí),x|x0；a0 時(shí),x|x或x0;a0 時(shí),x|x0或x0 aa 提醒：1解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示；2不等式解集的端 點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)

13、值.如關(guān)于x的不等式 axb0 的解 集為,1,那么不等式120的解集為答：1,2axb 五 .絕對(duì)值三角不等式 定理 1：如果 a,b 是實(shí)數(shù),那么|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng) ab?0 時(shí),等號(hào)成立. 注：1絕對(duì)值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)a,b不共線時(shí),a+b|a|+|b二 它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊. 2不等式|a|-|b|a b|a|+|b|中“二成立的條件分別是：不等式|a|-|b|a+b| 0,左側(cè)“二成立的條件是 at|b|;不等式|a|-|b| |a-b|a|+|b|,右側(cè)“二成立的條件是 ab0 且|a|引 b|. 定理 2：如果 a,b,c 是

14、實(shí)數(shù),那么|a-c|=$石口+仇.-2式的最大值 一：.無(wú)-1之.且10-2m0,函數(shù)的定義域?yàn)镵EL5,且 1y=5乂1-k*/SxJ5-彳0 由y一標(biāo)丁而kiTR布丁, 127 得口10-2汽-2&70即5J102M2610,解得27 ,127 .27時(shí)函數(shù)取最大值,最大值為痘.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號(hào)時(shí)常利用柯西不等式求解 類型二：利用柯西不等式證實(shí)不等式 2229 + 2.設(shè)立、上、亡為正數(shù)且各不相等,求證：.十83十二.十門色十石十c =2g+A+rT+十-=【窗+為+3+|7+匕+0/7+1+：4_1R a+/?人+e.+1.+8b-c4+煌之Q+1+1J9 又直、b、二各不

15、相等,故等號(hào)不能成立 力十二匕十厘白十3十亡. 類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用 6.AABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,其外接圓半徑為R,求證： +/+C2X+36 sin3Asin5sin37 .n.14Q sinW=I- 證實(shí)：由三角形中的正弦定理得2衣,所以sn達(dá)口 14 戍 2141 于是左邊= S+方*+1)(4+-一4)336汽： sin2Asin3sin3C 八.不等式的包成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式包成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“別離變量法轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié) 合法 1 .包成立問(wèn)題 假設(shè)不等式fxA在區(qū)間 D 上包成立,那

16、么等價(jià)于在區(qū)間 D 上 f 假設(shè)不等式fxB在區(qū)間 D 上包成立,那么等價(jià)于在區(qū)間 D 上 f 如1設(shè)實(shí)數(shù) x,y 滿足x2y121,當(dāng)xyc0時(shí),c的取值范圍是 答：,21, a對(duì)一切實(shí)數(shù)x包成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍 七.證實(shí)不等式的方法：比擬法、分析法、綜合法和放縮法比擬法的步驟是: 分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與 1 的大小,然后作出結(jié)論. 作差 商 后通過(guò) . 1 常用的放縮技巧有：- 1 n(n1) 1 .k1Jk2,kk 如(1)abc,求證：a2bb2c(2)a,b,cR,求證：a2b2b2c2 11 (3)a,b,x,yR,且1,xy, ab 1Jk 2 ca 22

17、 ca 求證: 4假設(shè) a、b、c 是不全相等的正數(shù),求證: (5)a,b,cR,求證：a2b2 (6)假設(shè)nN ,求證：,(n1)21 (n1) (7)|a| |b|,求證: 8 求證: |a|b| |ab| L4 n 1 n(n1) k.k ,22 abbc ,a y 22 ca n2 abc(a x xa b.b lg 2 ca; c); 匕； b ca 1g1ga abc(abc); lgblgc； |a|b|. |ab| (3) 假設(shè)不等式2x1 答：a mx21對(duì)滿足 m2 的所有m都成立,那么x的取值范圍 D； 1)； (4) (1)na 1n1 2對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 n (5) ,3 答：2,一; 2 x22mx2m10對(duì) 0 x1 的所有實(shí)數(shù)x都成立,求m的取值范圍. 2x假設(shè)不等式 1 lOgaX,對(duì)X0,二, 2恒成立,那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 此題直接求解無(wú)從著手,結(jié)合函數(shù) x min x max