高中立體幾何基礎知識點全集圖文并茂

1、 立體幾何知識點整理姓名: 一.直線和平面的三種位置關系:1. 線面平行l(wèi)符號表示:2. 線面相交 符號表示: 3. 線在面內(nèi)符號表示:二.平行關系:1. 線線平行:方法一:用線面平行實現(xiàn)。mlmll/=方法二:用面面平行實現(xiàn)。mlml /=方法三:用線面垂直實現(xiàn)。若 ml , ,則 ml /。方法四:用向量方法:若向量 和向量 共線且 l 、 m 不重合, 則 ml /。2. 線面平行:方法一:用線線平行實現(xiàn)。/llmml方法二:用面面平行實現(xiàn)。/ll方法三:用平面法向量實現(xiàn)。若 n 為平面 的一個法向 量 , ln 且 l , 則 /l 。3. 面面平行:方法一:用線線平行實現(xiàn)。/ 

2、9;, ','/'/且相交且相交mlmlmmll方法二:用線面平行實現(xiàn)。/ ,/且相交mlml三.垂直關系:1. 線面垂直:方法一:用線線垂直實現(xiàn)。=lABACAABACABlACl,ml 方法二:用面面垂直實現(xiàn)。 =l l m l m ,2. 面面垂直:方法一:用線面垂直實現(xiàn)。l l方法二:計算所成二面角為直角。 3. 線線垂直:方法一:用線面垂直實現(xiàn)。m l m l 方法二:三垂線定理及其逆定理。PO l OA l PA l 方法三:用向量方法:若向量 和向量 的數(shù)量積為 0,則 m l 。 三.夾角問題。 (一 異 面直線所成的角: (1 范圍:90, 0( (2

3、求法: 方法一:定義法。步驟 1:平移,使它們相交,找到夾角。步驟 2:解三角形求出角。 (常用到余弦定理 余弦定理:abcb a 2cos 222-+=(計算結果可能是其補角 方法二:向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角 (計算結果可能是其補角 : =cos(二 線 面角(1定義:直線 l 上任取一點 P (交點除外 ,作 PO 于 O, 連結 AO ,則 AO 為斜線 PA 在面 內(nèi) 的射影, PAO (圖中 為直線 l 與面 所成的角。 (2范圍:90, 0當 =0時, l 或 /l 當 =90時, l (3求法: 方法一:定義法。步驟 1:作出線面角,并證明。 步驟 2:解三角形,求出線面角。方法

4、二:向量法 (為平面 的一個法向量 。><=, cos sin = c b (三 二 面角及其平面角(1定義:在棱 l 上取一點 P ,兩個半平面內(nèi)分別作 l 的垂線(射線 m 、 n ,則射線 m 和 n 的夾角 為 二面角 l 的平面角。 (2范圍:180, 0 (3求法: 方法一:定義法。 步驟 1:作出二面角的平面角 (三垂線定理 , 并證明。 步驟 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。步驟 1:如圖, 若平面 POA 同時垂直于平面 和 , 則交線 (射線 AP 和 AO 的夾角就是二面角。 步驟 2:解三角形,求出二面角。 方法三:坐標法 (計算結果可能

5、與二面角互補 。 步驟一:計算 121212cos n n n n n n <>=步驟二:判斷 與 12n n <>的關系,可能相等或者互補。四.距離問題。 1.點面距。 方法一:幾何法。步驟 1:過點 P 作 PO 于 O , 線段 PO 即為所求。 步驟 2:計算線段 PO 的長度。 (直接解三角形;等 體積法和等面積法;換點法 方法二:坐標法。><=d cos=2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距。 3.異面直線之間的距離 方法一:轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖, m 和 n 為兩條異面直線, n 且/m , 則異面直線 m 和 n 之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線 m 與

6、平面 之間的距離。方法二:直接計算公垂線段的長度。 方法三:公式法。如圖, AD 是異面直線 m 和 n 的公垂線段,' /m m ,則異面直線 m 和 n 之間的距離為:cos 2222ab b a c d ±-=五.空間向量 (一 空間向量基本定理若向量 , , 為空間中不共面的三個向量,則對空 間中任意一個向量 ,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對z y x 、 、 ,使得 z y x +=。(二 三點共線,四點共面問題 1. A, B , C 三點共線 OA xOB yOC =+,且 1x y +=當 21=y x 時, A 是線段 BC 的 A , B , C 三點共線 = 2

7、. A, B , C , D 四點共面 OA xOB yOC zOD =+,且 1x y z +=當 13x y z =時, A 是 BCD 的 A , B , C , D 四點共面 y x += (三 空間向量的坐標運算1. 已知空間中 A 、 B 兩點的坐標分別為:111(, , A x y z , 222(, , B x y z 則:AB =;=B A d , AB =2. 若空間中的向量 111(, , a x y z =, , , (222z y x = 則 a b += a b -=a b = cos a b <>=六.常見幾何體的特征及運算 (一 長 方體1. 長方體

8、的對角線相等且互相平分。2. 若長方體的一條對角線與相鄰的三條棱所成的角分別為 、 、 ,則 222cos cos cos=+ 若長方體的一條對角線與相鄰的三個面所成的角 分別為 、 、 ,則 222cos cos cos =+ 3. 若長方體的長寬高分別為 a 、 b 、 c ,則體對角線 長為 ,表面積為 ,體積為 。 (二 正 在底面中心。(三 正 棱柱:底面是正多邊形的直棱柱。 (四 正 多面體:每個面有相同邊數(shù)的正多邊形,且每個頂點為端點有相同棱數(shù)的凸多面體。 (只有五種正多面體 (五 棱 錐的性質(zhì):平行于底面的的截面與底面相似,且面積比等于頂點到截面的距離與棱錐的高的 平方比。正棱錐的性質(zhì):各側棱相等,各側面都是全等 的等腰三角形。(六 體 積:=棱柱 V =棱錐 V (七 球1. 定義:到定點的距離等于