高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計案例31感悟非線性回歸問題素材北師大版23

1、3.1 感悟非線性回歸問題兩個變量不呈線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：1確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；2畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）；3由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如觀察到的數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）；4按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；5得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例1 在彩色顯影中，由經(jīng)驗

2、可知：形成染料光學(xué)密度與析出銀的光學(xué)密度由公式表示，現(xiàn)測得試驗數(shù)據(jù)如下：005006025031007010038043014020047010014100112023037119125059079129試求對的回歸方程。分析：該例是一個非線性回歸分析問題，由于題目中已給定了要求的曲線為類型，我們只要通過所給的11對樣本數(shù)據(jù)，求出和即可確定與的相關(guān)關(guān)系的曲線方程。解析：由題意可知，對于給定的公式兩邊取自然對數(shù)，得。與線性回歸方程對照可以看出，只要取，就有，這是的線性回歸直線方程，對此我們再套用相關(guān)性檢驗，求回歸系數(shù)和。 題目中所給數(shù)據(jù)由變量置換，變?yōu)槿缦滤镜臄?shù)據(jù)：20000166674000

3、32261428610000-2303-196600000113-1470-09942.6322.3267.1435.0002.1280.1740.223-0.528-0.2360.255可以求得。由于，可知與具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。再求得，把和置換回來可得，回歸曲線方程為。評注：解決本題的思路是通過適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q把非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，然后再套用線性回歸分析的解題步驟。例2 某種書每冊的成本費（元）與印刷冊數(shù)（千冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：12351020305010020010.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15檢驗每冊書的成本費與與印刷冊數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出對的回歸方程。分析：非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，此時我們可以由已知的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并把散點圖與已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)（如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等）作比較，挑選出跟這些散點擬合最好的函數(shù)，然后再采用變量置換，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題。解析：把置換為，則有，從而與的數(shù)據(jù)為10.50.3330.20.10.050.0330.020.010.00510.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得。，對具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。所求的與的回歸方程為。又，。評注