高二數(shù)學(xué)不等式的證明

1、高二數(shù)學(xué)不等式的證明(二)本周學(xué)習(xí)內(nèi)容不等式證明中的綜合證明方法：1. 換元法：通過適當(dāng)?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。2. 放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。3. 反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式反證：假設(shè)結(jié)論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導(dǎo)出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設(shè)不正確，原命題正確。4. 數(shù)學(xué)歸納法：這是一種利用遞推關(guān)系證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題，可以是等式、不等式、命題。證明格式：(1)當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立；則當(dāng)

2、n=k+1時(shí)，證明出命題也成立。由(1)(2)知：原命題都成立。本周教學(xué)例題一、換元法：1. 三角換元：例1. 求證：證一：(綜合法)即：證二：(換元法)-1x1 令x=cos,0,則-1sin21 例2. 已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點(diǎn)是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。證一：證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè)則例3. 若x2+y21，求證：證：設(shè)則例4. 若x>1，y>1，求證：證：設(shè)則例5

3、. 已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：證：a>1,b>0,a-b=1，不妨設(shè)則小結(jié)：若0x1，則可令若x2+y2=1，則可令x=cos， y=sin (0<2)若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan (0<2)若x1，則可令，若xR，則可令2. 代數(shù)換元：例6：證明：若a>0，則證：設(shè)則即原式成立小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法。二、放縮法：例7. 若a,b,c,dR+，求證：證：記a,b,c,dR+1<m<2 即原式成立例8. 當(dāng)n>2時(shí)，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1證：n>2

4、 logn(n-1)>0，logn(n+1)>0n>2時(shí)，logn(n-1)logn(n+1)<1例9. 求證：證：三. 反證法例10. 設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，不可能同時(shí)大于證：設(shè)則三式相乘：又0<a,b,c<1 同理：以上三式相乘：與矛盾原式成立例11. 已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0證：設(shè)a<0，abc>0，bc<0又由a+b+c>0，則b+c=-a>0ab+bc+ca=a(b+c)+bc<

5、0 與題設(shè)矛盾又：若a=0，則與abc>0矛盾，必有a>0同理可證：b>0，c>0四. 構(gòu)造法：1. 構(gòu)造函數(shù)法例12. 已知x>0，求證：證：構(gòu)造函數(shù)由顯然上式>0f(x)在上單調(diào)遞增，左邊例13. 求證：證：設(shè)用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增，令：3t1<t2，2. 構(gòu)造方程法：例14. 已知實(shí)數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。證：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個正數(shù)，不妨設(shè)a>0則有兩個實(shí)根。例15. 求證：證：設(shè)當(dāng)y=1時(shí)，命題顯然成立，當(dāng)y1時(shí)， =(y+1)2-4(y-1)2=(3y

6、-1)(y-3)0綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xyac+bd證一：(分析法)a,b,c,d,x,y都是正數(shù)要證：(xy)ac+bd只需證即：(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+2abcd展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c22abcd由基本不等式，顯然成立xyac+bd證二：(綜合法)證三：(三角代換法)x2=a2+b2， 不妨設(shè)y2=c2+d2五. 數(shù)學(xué)歸納法：例17. 求證：設(shè)nN，n2，求證：分析：關(guān)于自然數(shù)的不等式常可用數(shù)學(xué)歸納法

7、進(jìn)行證明。證：當(dāng)n=2時(shí)，左邊，易得：左邊>右邊。當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即：成立。當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊又；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；于是可得：即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；綜上所述，該命題對所有的自然數(shù)n2均成立。本周參考練習(xí)證明下列不等式：1. 提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用法，分情況討論。2. 已知關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求證：提示：分3. 若x>0，y>0，x+y=1，則提示：左邊令t=xy，則在上單調(diào)遞減 4. 已知|a|1，|b|1，求證：，提示：用

8、三角換元。5. 設(shè)x>0，y>0，求證：a<b放縮法6. 若a>b>c，則10. 左邊11. 求證：高二數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用三. 關(guān)于不等式的應(yīng)用：不等式的應(yīng)用主要圍繞著以下幾個方面進(jìn)行：1. 會應(yīng)用不等式的證明技巧解有關(guān)不等式的應(yīng)用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。(求極值的一個基本特點(diǎn)：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時(shí)，要注意以下三個方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構(gòu)造定值”的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用在極值使用中有著相當(dāng)重要的作用。2. 會把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題進(jìn)而建

9、立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識。3. 通過不等式應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。四、不等式的應(yīng)用問題舉例：例10. 已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求最大值。分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯誤也是必不可少的一個環(huán)節(jié)。解：由可得；小結(jié)：如果本題采用兩式相加而得：；則出現(xiàn)了錯誤：“=”號是否取到，這是在求極值時(shí)必須堅(jiān)持的一個原則。例11. 求函數(shù)的最小值。分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關(guān)鍵。解：即f(x)最小值為-1此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當(dāng)取的某一個子集時(shí))，要則要

10、借助于函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題了。例12. 若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。分析：在解決此類問題時(shí)，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數(shù)和則是本問題的關(guān)鍵。解：當(dāng)且僅當(dāng)：4a2+2=3b2+6，即時(shí)取等號，y的最大值為8。小結(jié)：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉(zhuǎn)化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運(yùn)用條件(一正，二定，三等號)例13. 已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時(shí)的x、y的值。分析：考查分式的最值時(shí)，往往需要把分式拆成若干項(xiàng)，然后變形使用平均值不等式求解。解：x

11、>y>0 x-y>0又x·y=1，也即：；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。也即；時(shí)，取等號。例14. 設(shè)x，y，zR+，x+y+z=1，求證：的最小值。分析：此類問題的關(guān)鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進(jìn)而進(jìn)行類加。2. 另一個途徑是直接進(jìn)行1的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化。但無論如何需要注意的是驗(yàn)證“=”號成立。本題使用1的構(gòu)造代入。解：x，y，zR+，且x+y+z=1當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號，的最小值為9。小結(jié)：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，zR+，且x+y+z=1得：。進(jìn)而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個錯誤的結(jié)果，其關(guān)鍵在于三個“=”號是否同時(shí)成立。例15. 已知a>

12、;0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關(guān)系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進(jìn)行變形分析才可解決問題。解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab2ac又a>0,bc,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2c2，結(jié)合：b>c可得：b>c>0又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a小結(jié)：本題中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和變形是解決問題的關(guān)鍵。例16. 某

13、村計(jì)劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？ 分析：如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決實(shí)際問題的基本能力。解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)所以當(dāng)a=2b，即a=40(m),b=20(m)時(shí)， =648(m2)答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m

14、2.例17. 某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為()設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達(dá)式；()依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？分析：數(shù)學(xué)建模是解決應(yīng)用問題的一個基本要求，本問題對建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)

15、列求和、不等式的基礎(chǔ)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力都有著較高的要求。解：()依題設(shè)，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2；()因?yàn)楹瘮?shù)上為增函數(shù)，當(dāng)1n3時(shí)，當(dāng)n4時(shí)，僅當(dāng)n4時(shí)，Bn>An。答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤。小結(jié)：如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模最基本的一個方面就是如何把一個實(shí)際中的相關(guān)因素進(jìn)行分析，通過文字說明轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系或者是相互關(guān)系，再把文字關(guān)系處理為數(shù)學(xué)關(guān)系。五、本周參考練習(xí)1. 已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：2. 如果ABC的三內(nèi)角滿足關(guān)系式：sin2A+

16、sin2B=sin2C，求證：3. 已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證：4. 已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：5. 已知a，b，cR+，求證：6. 已知a>0，求的最值。(答最小值為)7. 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。8. 某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時(shí)用料最省？(答：當(dāng)x為2.34m，y為2.828m時(shí)，用料最省。)高二數(shù)學(xué)練習(xí)三

17、1. xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是( )A. |x|<1 B. x<1 C. |x|>1 D. x<-1或|x|<12. 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值( )A. 一定是正數(shù) B. 一定是負(fù)數(shù) C. 可能是0 D. 無法確定3. 已知a,b,c是ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0( )A. 有兩個不相等的實(shí)根 B. 有兩個相等的實(shí)根C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 要依a，b，c的具體取值確定4. 設(shè)0<a<b，a+b=1，則下列不等式不正確的是( )A. B. C. D. 5. 設(shè)a,bR+，則A，B的大小關(guān)系是( )A. AB B. AB C. A>B D. A<B6