高等數學課件完整版

1、一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質的事物的具有某種特定性質的事物的總體總體.組成這個集合的事物稱為該集合的組成這個集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記記作作數集分類數集分類:N-自然數集自然數集Z-整數集整數集Q-有理數集有理數集R-實數集實數集數集間的關系數集間的關系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素

2、的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個實數之間的全體實數是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點這兩個實數叫做區(qū)間的端點.,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記記作作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度

3、的定義: :兩端點間的距離兩端點間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數是兩個實數與與設設a).(0aU記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點點 a. 0)( axxaU,鄰鄰域域的的稱稱為為點點數數集集 aaxx 5.5.絕對值絕對值: : 00aaaaa)0( a運算性質運算性質:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對值不等式絕對值不等式: (1) 符號函數符

4、號函數 010001sgnxxxxy當當當當當當幾個特殊的函數舉例幾個特殊的函數舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數取整函數 y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數的最大整數 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無理數時是無理數時當當是有理數時是有理數時當當xxxDy01)(有理數點有理數點無理數點無理數點1xyo(3) 狄利克雷函數狄利克雷函數(4) 取最值函數取最值函數)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例

5、如如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的對應法則用不同的式子來表示的函數式子來表示的函數,稱為稱為分段函數分段函數.例例2 2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數求函數設設 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數的特性三、函數的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 1函數的有界性函數的有界性:.)(否則稱無界否則稱無界上有界上有界在在則稱函數則稱函數Xxf2函數的單調性函數

6、的單調性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數設函數,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上是單調增加的上是單調增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數則稱函數Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是單單調調減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數數Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數設函數,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有3函數的奇偶性函數的奇偶性

7、:偶函數偶函數有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數為偶函數稱稱xf有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為奇函數為奇函數稱稱xf奇函數奇函數)( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數的周期性函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正（通常說周期函數的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的定義域為的定義域為設函數設函數如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的.)()(恒恒成成立立且且xflxf 為為周周則則稱稱)(xf.)( ,DlxDxl 使使得得對對

8、于于任任一一數數.)(,的的周周期期稱稱為為期期函函數數xfl2l 2l23l 23l)(xfy 直直接接函函數數xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數數 直接函數與反函數的圖形關于直線直接函數與反函數的圖形關于直線 對稱對稱.xy 四、反函數四、反函數五、小結五、小結基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 絕對值絕對值.函數的概念函數的概念函數的特性函數的特性有界性有界性, ,單調性單調性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數反函數一、基本初等函數一、基本初等函數1.冪函數冪函數)( 是是常常數數 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.

9、指數函數指數函數)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3.對數函數對數函數)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4.三角函數三角函數正弦函數正弦函數xysin xysin xycos xycos 余弦函數余弦函數正切函數正切函數xytan xytan xycot 余切函數余切函數xycot 正割函數正割函數xysec xysec xycsc 余割函數余割函數xycsc 5.反三角函數反三角函數xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數數xyarccos xyarccos 反余弦函數反

10、余弦函數xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數數 冪函數冪函數,指數函數指數函數,對數函數對數函數,三角函數和反三角函數和反三角函數統(tǒng)稱為三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數基本初等函數.xycot 反反余余切切函函數數arcxycot arc二、復合函數二、復合函數 初等函數初等函數1.復合函數復合函數,uy 設設,12xu 21xy 定義定義: 設設函函數數)(ufy 的的定定義義域域fD, 而而函函數數)(xu 的的值值域域為為 Z, 若若 ZDf, 則則稱稱函函數數)(xfy 為為x的的復復合合函函數數.,自變量自變量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y注意注意: :1.不是任

11、何兩個函數都可以復合成一個復不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的合函數的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成合構成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數初等函數 由常數和基本初等函數經過有限次由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示一個式子表示的函數的函數,稱為稱為初等函數初等函數.例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx

12、 求求設設解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 三、雙曲函數與反雙曲函數三、雙曲函數與反雙曲函數2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函數奇函數.2coshxxeex 雙雙曲曲余余弦弦),(: D偶函數偶函數.1.雙曲函數雙曲函數xey21 x

13、ey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正正切切奇函數奇函數,),(: D有界函數有界函數,雙曲函數常用公式雙曲函數常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反雙曲函數反雙曲函數奇函數奇函數,),(: D.),(內單調增加內單調增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內內單單調調增增加加在在 ), 1

14、 :D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數奇函數,.)1 , 1(內內單單調調增增加加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanharx y四、小結四、小結函數的分類函數的分類:函數函數初等函數初等函數非初等函數非初等函數( (分段函數分段函數, ,有無窮多項等函數有無窮多項等函數) )代數函數代數函數超越函數超越函數有理函數有理函數無理函數無理函數有理整函數有理整函數( (多項式函數多項式函數) )有理分函數有理分函數( (分式函數分式函數) )思考題思考題下下列列函

15、函數數能能否否復復合合為為函函數數)(xgfy ，若若能能，寫寫出出其其解解析析式式、定定義義域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思考題解答思考題解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的的值值域域與與)(uf的的定定義義域域之之交交集集是是空空集集._1反反三三角角函函數數統(tǒng)統(tǒng)稱稱對對數數函函數數，三三角角函函數數和和、冪冪函函數數，指指數數函函數數，._)(ln31)(2的的定定義義域域為為，則則函函數數，的的定定義義域域為為、函函數數xfxf一、填空題

16、一、填空題:._32復合而成的函數為復合而成的函數為，、由函數、由函數xueyu ._2lnsin4復合而成復合而成由由、函數、函數xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定義域為的定義域為，的定義域為的定義域為，的定義域為的定義域為，為為）的定義域）的定義域（，則，則，的定義域為的定義域為、若、若 aaxfaxfaaxfxfxfxf練練 習習 題題.sin的的圖圖形形”作作函函數數二二、應應用用圖圖形形的的“疊疊加加xxy .)()()(111011)(，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求，三、設三、設xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30. 0502

17、0. 0500220形形出圖出圖之間的函數關系，并作之間的函數關系，并作千克千克于行李重量于行李重量元元元，試建立行李收費元，試建立行李收費出部分每千克出部分每千克千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收費千克每千克收費千克以下不計費，千克以下不計費，定如下：定如下：四、火車站行李收費規(guī)四、火車站行李收費規(guī)xxf一、一、1 1、基本初等函數；、基本初等函數； 2 2、,3ee； 3 3、2xey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2,1 ,aa , , 212101 ,aaaa . .三、三、 1, 10, 00, 1)(xxxxgf； 1,1

18、1, 11,)(xexxexfg. .練習題答案練習題答案四四、 50),50(3 . 0105020,2 . 0200 xxxxxy“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖

19、長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1二、數列的定義二、數列的定義定義定義:按自然數按自然數, 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數編號依次排列的一列數 ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數列無窮數列,簡稱簡稱數列數列.其中的每個數稱為數其中的每個數稱為數列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數列數列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數列對應著數軸上一個點列數列對應著數軸上一個點列.可看作

20、一可看作一動點在數軸上依次取動點在數軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數列是整標函數數列是整標函數).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn播放播放三、數列的極限三、數列的極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”

21、意味著什么意味著什么?如何用數學語言如何用數學語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時時只只要要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定定義義 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數數N, ,使使得得對對于于Nn 時時的的一一切切nx

22、, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就稱稱常常數數a是是數數列列nx的的極極限限, ,或或者者稱稱數數列列nx收收斂斂于于a, ,記記為為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數列沒有極限如果數列沒有極限,就說數列是發(fā)散的就說數列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn . 2有關有關與任意給定的正數與任意給定的正數 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外個個至至多多只只有有只只有有有有限限個個內內都都落落在在所所有有的的點點時時當當NaaxNnn :定定義義N

23、其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至至少少有有一一個個或或存存在在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒恒有有時時使使數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則當則當Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數數設設證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自

24、然數.limCxnn 說明說明:常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.小結小結: 用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則當則當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,l

25、imaxnn ,1 axNnNn時時恒恒有有使使得得當當axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 四、四、數列極限的性質數列極限的性質1.有界性有界性定義定義: 對數列對數列nx, 若存在正數若存在正數M, 使得一切自使得一切自然數然數n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數列則稱數列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數數列列.2nnx 數數列列數數軸軸上上對對應應于于有有界界數數列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取

26、取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數列收斂的必要條件有界性是數列收斂的必要條件.推論推論 無界數列必定發(fā)散無界數列必定發(fā)散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數列只有一個極限每個收斂的數列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時時恒恒有有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbx

27、bann axbxnn .2 .時才能成立時才能成立上式僅當上式僅當ba 故收斂數列極限唯一故收斂數列極限唯一.例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數列證明數列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成成立立有有時時使使得得當當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩兩個個數數無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的的區(qū)間內區(qū)間內., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實實上上nx3.(收斂數列與其子數列間的關系收斂數列與其子數列間的關系) 如果數列如果數列收斂

28、于收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是是anx五五.小結小結數列數列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數列極限數列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數列的性質收斂數列的性質: :有界性唯一性有界性唯一性.思考題思考題指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯錯誤誤。證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題解答思考題解答 1nn)1l

29、n(ln1 nn（等價）（等價）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實際上就是不等式實際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大” 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln一、一、 利用數列極限的定義證明利用數列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設數列設數列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明

30、：0lim nnnyx. .練練 習習 題題“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、

31、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當

32、當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限三、數列的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx播放播放一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限問題問題: :函數函數)(xfy 在在 x的的過程中過程中, 對應對應函數值函數值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無無限限接

33、接近近于于無無限限增增大大時時當當xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題: 如何用數學語言刻劃函數如何用數學語言刻劃函數“無限接近無限接近”.定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數總存在著正數X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對應的函數值所對應的函數值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數那末常數A就叫函數就叫函數)(xf當當 x時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當當或或:. 1 定義定義定義定義X .

34、)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內內寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數數時時或或當當 AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxx

35、xsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數是函數則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時函數的極限二、自變量趨向有限值時函數的極限問題問題: :函數函數)(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對應對應函數值函數值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體

36、體現現xx 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數總存在正數 , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對應的函數值對應的函數值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數那末常數A就叫函數就叫函數)(xf當當0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或:. 1 定義定義定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內的

37、帶形區(qū)域內寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數函數域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數數極極限限與與xxf. 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數數 .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim0為為常常數數證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成成立立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時時當當 xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當當 xx0)(xxAx

38、f ,成成立立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當當 xx函數在點函數在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當當 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就就有有,00 xxx .00且且不不取取負負值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明3.單側極限單側極限:例如例如,. 1)

39、(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分00 xx,0 xx從從左左側側無無限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側側無無限限趨趨近近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000Ax

40、fxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數極限的性質三、函數極限的性質1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個個過過程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過過程程的的一一個個時時刻刻, ,在在此此時時刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0

41、000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設設3.不等式性質不等式性質定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設設).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論4.子列收斂性子列收斂性(函數極限與數列極限的關系函數極限與數列極限的關系) .)(),(,),(

42、),(,)(.),(),(21000時時的的子子列列當當為為函函數數即即則則稱稱數數列列時時使使得得有有數數列列中中或或可可以以是是設設在在過過程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時時的的一一個個子子列列當當是是數數列列若若定理定理證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時時使使當當對對上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxy

43、sin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數極限與數列極限的關系函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相

44、等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結四、小結函數極限的統(tǒng)一定義函數極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(思考題

45、思考題試問函數試問函數 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的左、右極限是否存在？當的左、右極限是否存在？當0 x時，時，)(xf的的極限是否存在？極限是否存在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，必必有有時時，只只要要取取，問問當當時時，、當當.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時時，取取，問

46、問當當時時，、當當 證明：證明：二、用函數極限的定義二、用函數極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習習 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當當函數函數三、試證三、試證xxxf?0)(存在存在時的極限是否時的極限是否在在四、討論：函數四、討論：函數 xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習題答案練習題答案.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向

47、無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數

48、xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、無窮小一、無窮小1.定義定義:定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數總存在正數

49、( (或正數或正數X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對應的函數值對應的函數值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 )(xf, ,那末那末 稱函數稱函數)(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數數xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數函數 xx, 0)1(lim nnn.)1(時時的的無無窮窮小小是是

50、當當數數列列 nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數混淆不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數零是可以作為無窮小的唯一的數.2.無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設設,)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是當當0 xx 時時

51、的的無無窮窮小小.意義意義 1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮無窮小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達式附近的近似表達式在在給出了函數給出了函數3.無窮小的運算性質無窮小的運算性質:定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數和有限個無窮小的代數和仍是無窮小仍是無窮小.證證,時的兩個無窮小時的兩個無窮小是當是當及及設設 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 時恒有時恒有當當Nx;22 時時恒恒有有當當Nx,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nx 22 , )(0 x注意注意無窮多個無窮小的

52、代數和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個個但但nn定理定理3 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證證內內有有界界，在在設設函函數數),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時時使得當使得當則則,0時時的的無無窮窮小小是是當當又又設設xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時時使使得得當當推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的

53、乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為為無無窮窮小小時時當當 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例例如如都是無窮小都是無窮小二、無窮大二、無窮大定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數總存在正數 ( (或正數或正數X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對應的函數所對應的函數值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )

54、(, ,則稱函數則稱函數)(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數混淆不能與很大的數混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .

55、,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當當Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數

56、是函數則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數為無窮小無窮大的倒數為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大恒不為零的無窮小的倒數為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設設,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時時使使得得當當.)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時時當當xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有時時使使得得當當.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時

57、時當當xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關于無窮大的討論關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小都可歸結為關于無窮小的討論的討論.四、小結四、小結1、主要內容、主要內容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論.2、幾點注意、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。o窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄祷觳荒芘c很?。ù螅┑臄祷煜?，零是唯一的無窮小的數；淆，零是唯一的無窮小的數；（2 2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小. .（3） 無界變量未必是無窮大無界

58、變量未必是無窮大.思考題思考題若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，問：能否保證有問：能否保證有0 A的結論？試舉例說明的結論？試舉例說明.思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空題一、填空題: :1 1、 凡無窮小量皆以、 凡無窮小量皆以_為極限為極限. .)(,_2的的水水平平漸漸近近線線是是函函數數直直線線條條件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是是無無窮窮小小則則是是無無窮窮大大若若、在在同同一一過過程程中中xf

59、.10,21,0:4 yxxxyx能能使使應應滿滿足足什什么么條條件件問問是是無無窮窮大大函函數數時時當當二二、根根據據定定義義證證明明練練 習習 題題.,0,1,0(1sin1這這個個函函數數不不是是無無窮窮大大時時但但當當上上無無界界在在區(qū)區(qū)間間三三、證證明明函函數數 xxxy一一、1 1、0 0； 2 2、Cxfxx )(lim； 3 3、； 4 4、)(1xf. .二二、210104 x. .練習題答案練習題答案一、極限運算法則一、極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxf

60、BxgAxf其中其中則則設設證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時時當當 xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數數而而存存在在如如果果常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(