No3內(nèi)積空間正規(guī)矩陣(下)

1、高等代數(shù)與矩陣分析高等代數(shù)與矩陣分析重慶郵電大學(xué) 數(shù)理學(xué)院鮮思東鮮思東e-mail: xiansd 第三章第三章 內(nèi)積空間、正規(guī)內(nèi)積空間、正規(guī)矩陣與矩陣與HermiteHermite矩陣矩陣 設(shè)設(shè) 是歐式空間是歐式空間 的一個(gè)子空間，那么的一個(gè)子空間，那么 在在 上的正交投影變換上的正交投影變換 就是一個(gè)對(duì)稱變換。就是一個(gè)對(duì)稱變換。VWVW 5、對(duì)稱和反對(duì)稱矩陣、對(duì)稱和反對(duì)稱矩陣 設(shè)設(shè) 是歐式空間是歐式空間 上一個(gè)線性變換，如果上一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的對(duì)任意的 ，都有，都有VTV 、 任取任取 設(shè)設(shè),V 12121212,WWWW ( ( )( )TT , , ,稱稱 為為。TV由正交投影

2、的定義，由正交投影的定義， 則則11( ), (), 112111211121112111( ( ), )(,)(,) (,)(,)( , ( )(,)(,) (,)(,) ( ( ),)( , ( ) TVV 、( ( )( )TT , , ,稱稱 為為。TV 設(shè)設(shè) 是歐式空間是歐式空間 上一個(gè)對(duì)稱變換，如果上一個(gè)對(duì)稱變換，如果 是是 的不變子空間，則的不變子空間，則 也是也是 的不變子空間。的不變子空間。VTWTTW 歐式空間 上的線性變換 是對(duì)稱變換的充要條件是 在 的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對(duì)稱矩陣。VTVTT 設(shè)設(shè) 是歐式空間是歐式空間 上一個(gè)反對(duì)稱變換，如果上一個(gè)反對(duì)稱變換，如

3、果 是是 的不變子空間，則的不變子空間，則 也是也是 的不變子空間。的不變子空間。VWTTW 歐式空間 上的線性變換 是反對(duì)稱變換的充要條件是 在 的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是反對(duì)稱矩陣。VTVTT, ,u 3( )2() ,TuuR , ,因此因此 既是正交變換既是正交變換, ,又是對(duì)稱變換又是對(duì)稱變換, ,稱其為稱其為. .T 在在 中，設(shè)中，設(shè) 為過(guò)直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的平面為過(guò)直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的平面 的單位法向量，變換的單位法向量，變換 是是u3RT3R 、,k l()( )( )( ( ), ( )( ,) ( ( ),)( , ( )T klkTlTTTTT 3Ru, ,u ( ), (

4、 ), ( )T uu TT 100010001A 6、Schur引理與正規(guī)矩陣引理與正規(guī)矩陣.ABIBA 從純代數(shù)角度看，如果從純代數(shù)角度看，如果去掉乘積為單位矩陣的限去掉乘積為單位矩陣的限制制， 兩矩陣是可交換矩陣。聯(lián)想到正交矩陣的逆即兩矩陣是可交換矩陣。聯(lián)想到正交矩陣的逆即為其轉(zhuǎn)置，因此如果為其轉(zhuǎn)置，因此如果再限定兩矩陣互為轉(zhuǎn)置再限定兩矩陣互為轉(zhuǎn)置，即要求，即要求成立成立 ，情況又如何？，情況又如何？TTAAA A 兩方陣兩方陣 互逆的條件是成立關(guān)系式互逆的條件是成立關(guān)系式,A B顯然對(duì)稱矩陣顯然對(duì)稱矩陣 和反對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣 都滿足要求，正交矩陣當(dāng)然也滿足這個(gè)要求。因此具都滿足要求

5、，正交矩陣當(dāng)然也滿足這個(gè)要求。因此具有性質(zhì)有性質(zhì) 的矩陣就的矩陣就“一統(tǒng)江湖一統(tǒng)江湖”，具有，具有了統(tǒng)一性，我們稱之為了統(tǒng)一性，我們稱之為正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣。()TAA ()TAA TTAAA A 對(duì)稱矩陣最主要的性質(zhì)是對(duì)稱矩陣最主要的性質(zhì)是可以對(duì)角化可以對(duì)角化，尤其是可，尤其是可以以正交對(duì)角化正交對(duì)角化，推廣到正規(guī)矩陣后這個(gè)性質(zhì)是否還能，推廣到正規(guī)矩陣后這個(gè)性質(zhì)是否還能保留呢？為此，我們先給出下面的引理。保留呢？為此，我們先給出下面的引理。11()HTUAUUAUBU AUUAUB 設(shè) ，若存在 使得,()n nn nA BCR創(chuàng)創(chuàng) (),n nn nUCR創(chuàng)創(chuàng) 則說(shuō)則說(shuō) 酉相似酉相似（或（或

6、正交相似正交相似）于）于 。BA一、一、 Schur 引理引理.HUAUR= =100多年前多年前(1909年年)給出的給出的Schur 引理是矩陣?yán)碚撝幸硎蔷仃嚴(yán)碚撝械闹匾ɡ?，是很多其他重要結(jié)論的基礎(chǔ)。在矩陣的重要定理，是很多其他重要結(jié)論的基礎(chǔ)。在矩陣計(jì)算中也具有相當(dāng)重要的地位。計(jì)算中也具有相當(dāng)重要的地位。并稱并稱 為方陣為方陣 的的。AHAURU= =( ( Schur 引理引理 ) ) 任何復(fù)方陣任何復(fù)方陣 必必酉相似酉相似于于一個(gè)一個(gè)上三角陣上三角陣 。即存在酉矩陣。即存在酉矩陣 ，使，使AUR證明：證明：用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時(shí)定理成立，考慮

7、的階數(shù)為 時(shí)的情況。 取 階矩陣 的一個(gè)特征值 ，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因?yàn)?構(gòu)成 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故12,k kC1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足1k 1k 1AW11HWAWR(上三角矩陣)令那么21k kUUW12112112100kHHbbUUAUUR221,| .niijii ja= = 邋邋其中等號(hào)成立的充要條件是其中等號(hào)成立的充要條件是 酉相似于對(duì)角矩陣。酉相似于對(duì)角矩

8、陣。A()()HHHHUAURUA UR= = =上上三三角角下下三三角角 證明證明 由由Schur引理，存在引理，存在 ，使得，使得n nUU ( (Schur 不等式不等式) ) 設(shè)設(shè) 為為 的的特征值特征值，則，則12(),n nijnAaC = = L LA其中其中結(jié)論成立！結(jié)論成立！()0n nijijRrUri j = =, , = = ( ( ) )故故HHHHHUAA URRtr AAtr RR=()()()()即即2211|nnijiji ji jar= = =邋邋, , ,= =又又22222211111|nnnnnnijijiiijiiii ji jiijiiarrrr=

9、 = = = = = = 邋邋邋邋邋邋, , ,= = =+ += =308316205A試求酉矩陣試求酉矩陣 使得使得 為上三角矩陣為上三角矩陣.UHU AU3|(1)EA例例1: 已知矩陣已知矩陣A解解: 首先求矩陣首先求矩陣 的特征值的特征值所以所以 為矩陣為矩陣 的三重特征值的三重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有單位特征向量有單位特征向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量求得一個(gè)單位解向量12, 再解與再解與 內(nèi)積為零的方程組內(nèi)積為零的方程組123123200 xxxxxx又求得一個(gè)單位解向量又求得

10、一個(gè)單位解向量3220,22T123036132326132326U計(jì)算可得計(jì)算可得取取117 27 31235 60435 6062HUAU15 6435 662A再求矩陣再求矩陣 的特征值的特征值1A21|(1)EA所以所以 為矩陣為矩陣 的二重特征值的二重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有單位特征向量有單位特征向量1 1A1 1A令令11015,55T求得一個(gè)單位解向量求得一個(gè)單位解向量1210150 xx21510,55T再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程取取1101555151055V計(jì)算可得計(jì)算可得11 125 61601HVAV令令210010150551510055U1223

11、0515561300661302 53056WUU則則于是有于是有107 30 /60125 6 /6001HW AW矩陣矩陣 即為所求的酉矩陣即為所求的酉矩陣.W二、正規(guī)矩陣二、正規(guī)矩陣方陣方陣 是是正規(guī)正規(guī)的，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?，?dāng)且僅當(dāng)A.HHAAA A= =滿足滿足 的三角陣的三角陣 必是對(duì)角陣。必是對(duì)角陣。AHHAAA A= =設(shè)設(shè) , 如果如果 同樣滿足同樣滿足n nARAHHAAA A那么稱矩陣那么稱矩陣 為一個(gè)為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣實(shí)正規(guī)矩陣.A為正規(guī)矩陣，則與為正規(guī)矩陣，則與 酉相似的矩陣均是正規(guī)酉相似的矩陣均是正規(guī)矩陣。矩陣。AA證明證明22221|i ii nii iaaaa HHAA

12、A A= =對(duì)上三角陣對(duì)上三角陣 ，比較等式，比較等式()i jAa 兩邊乘積矩陣在第兩邊乘積矩陣在第 行第行第 列位置上的元素列位置上的元素 ，并注，并注意到意到 ，因此對(duì)，因此對(duì) ，有，有ii0()i jaij 1,2,in 22221112111|naaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 1i 可知可知10 (2,3, )jajn i對(duì)對(duì) 施行歸納法，可得施行歸納法，可得 ，證畢。，證畢。0 ()i jaij例例 2 2 判斷下列矩陣是不是正規(guī)矩陣：判斷下列矩陣是不是正規(guī)矩陣：（1）實(shí)對(duì)稱矩陣（）實(shí)對(duì)稱矩陣（ ）；）；TAA （2）實(shí)反對(duì)稱矩陣（）實(shí)反對(duì)稱矩陣（ ）；）；TAA （3）正交矩陣）正交

13、矩陣 （ ）；）；1TAA （4）酉矩陣（）酉矩陣（ ）；）；1HAA （5）Hermite 矩陣矩陣（ ）；）；HAA （6）反反Hermite 矩陣矩陣（ ）；）；HAA （7）形如）形如 的矩陣。的矩陣。11,11aaR or C H-陣陣, 反反H-陣陣, 正交矩陣正交矩陣, 酉矩陣酉矩陣, 對(duì)角矩對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣陣都是正規(guī)矩陣.方陣方陣 是正規(guī)的，當(dāng)且僅當(dāng)是正規(guī)的，當(dāng)且僅當(dāng) 與對(duì)角矩與對(duì)角矩陣酉相似，并且對(duì)角矩陣的對(duì)角元就是正規(guī)矩陣的特陣酉相似，并且對(duì)角矩陣的對(duì)角元就是正規(guī)矩陣的特征值。征值。AA。如果。如果 是正規(guī)矩陣，那么存在酉是正規(guī)矩陣，那么存在酉矩陣矩陣 及對(duì)角陣及對(duì)角陣

14、 使得使得 ，即，即HU AU A1(,)nUuu 1(,)ndiag AUU 因此因此1111(,)(,)(,)nnnnA uuAuAuuu 。若有。若有 ，顯然可驗(yàn)證，顯然可驗(yàn)證HU AU HHA AAA 稱之為稱之為正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理。正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理。推論推論 3 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交. 推論推論 2 : 階正規(guī)矩陣有階正規(guī)矩陣有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量特征向量 . nn推論推論 1 : 設(shè)設(shè) 是正規(guī)矩陣，是正規(guī)矩陣， 是是 的特征值，的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量是對(duì)應(yīng)的特征向量是 ，則，則 是是 的特征值，的特征值

15、，其對(duì)應(yīng)的特征向量是其對(duì)應(yīng)的特征向量是 . iAAHAixx 12121211221111121211111221211,1 2,sssnnnHssnnssnnnsssnjUAUdiagUuuuuuuVspan uuVspan uuVspan uuUnVVij i jS 設(shè)設(shè)由由于于 的的 個(gè)個(gè)列列是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交向向量量組組:證證解解: 先計(jì)算矩陣的特征值先計(jì)算矩陣的特征值324202423A求正交矩陣求正交矩陣 使得使得 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.Q1Q AQ例例 1 : 設(shè)設(shè)2(1) (8)EA其特征值為其特征值為1231,8 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組11 ()0E

16、A X 1:3:,.119-120)nHAUUdiagUUAUP 注注 由由定定理理 知知因因此此給給出出了了一一個(gè)個(gè)求求使使得得為為對(duì)對(duì)角角形形的的方方法法 （求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系121,2,0,1,0,1TTXX 12,XX現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化并正交化單位化并正交化, 得到兩個(gè)標(biāo)得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量準(zhǔn)正交向量1212425,0,3553 5 2 5TT28對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組(8)0IA X求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系32,1,2TX 將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量32 1 2, ,3 3 3T將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成

17、矩陣將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣123142353 5221,353 552033Q 則矩陣則矩陣 即為所求正交矩陣且有即為所求正交矩陣且有Q1118Q AQ例例 2 : 設(shè)設(shè)434624432662261iiiAiiiii Q求酉矩陣求酉矩陣 使得使得 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.HQ AQ解解: 先計(jì)算矩陣的特征值先計(jì)算矩陣的特征值2(81)(9)EA1239i,9 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組19i ( 9)0iEA X其特征值為其特征值為1/2,1,1TXi 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化單位化, 得到一個(gè)單位向量得到一個(gè)單位向量1X12 2,3

18、3 3Ti對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組29i(9)0iEA X求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系2, 1/2,1TXi 將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量221 2,333Ti對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組39(9)0EA X求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系3,1, 1/ 2TXi將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量3221,3 33Ti將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣12322333212,333221333iiiQ 則矩陣則矩陣 即為所求酉矩陣且有即為所求酉矩陣且有Q999HiQ AQi定理定

19、理4: 設(shè)設(shè) 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, 則則A (1) 是是H-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值為實(shí)數(shù)的特征值為實(shí)數(shù). AA (3) 是酉矩陣的充要條件是是酉矩陣的充要條件是 的特征值的模的特征值的模長(zhǎng)為長(zhǎng)為1 .AA (2) 是反是反H-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值實(shí)部的特征值實(shí)部為零為零. AA注意注意: 正規(guī)矩陣絕不僅此三類正規(guī)矩陣絕不僅此三類.例例 3 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)反是一個(gè)反H-陣陣, 證明證明:是酉矩陣是酉矩陣.A1()()WAEAE證明證明: 根據(jù)酉矩陣的定義根據(jù)酉矩陣的定義11()() () ()HHHWWA E A EA EA E由于由于 是反是反H-陣陣,

20、所以所以 這樣這樣A(),HAEAE 11() ()HAEAE 于是可得于是可得 111111()() () ()()()() ()()()() ()()() () ()HHWWA E A EA EA EA E A E A EA EA E A E A EA EA E A EA EA EE 這說(shuō)明這說(shuō)明 為酉矩陣為酉矩陣.Wn例例 4 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 階階H-陣且存在自然數(shù)陣且存在自然數(shù) 使得使得 , 證明證明: .Ak0kA 0A 證明證明: 由于由于 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, 所以存在一個(gè)酉所以存在一個(gè)酉矩陣矩陣 使得使得n nUUA12,HinAUUR于是可得于是可得這樣這樣120k

21、kkHknAUU0,kiiR從而從而0,1,2,iin即即0A 例例 5 5 設(shè)設(shè) 為正規(guī)矩陣，且為正規(guī)矩陣，且 ，則，則32AA A2.AA 因?yàn)橐驗(yàn)?是正規(guī)矩陣，所以存在酉矩陣是正規(guī)矩陣，所以存在酉矩陣 ，使得，使得UAHAU U 32AA 再由再由 ，得，得3()()()()HHHHU UU UUUUU 322()HHHUUUUU U 32 32ii 01.i 或或因此因此 ，即，即 ，故，故 從而從而 ，故，故2 22.HHAUUU UA 11, HHnnuUAUU BUu 11, HHnnuUAUU BUu 定理定理 5 5 設(shè)設(shè) 為正規(guī)矩陣，則為正規(guī)矩陣，則 可以同時(shí)酉對(duì)角可以同時(shí)

22、酉對(duì)角化的充要條件是化的充要條件是 可以同時(shí)酉對(duì)角化的含可以同時(shí)酉對(duì)角化的含義是存在一個(gè)義是存在一個(gè) 階酉矩陣階酉矩陣 使得使得,A B,A B=. ,AB BA A BnU結(jié)論結(jié)論 設(shè)設(shè) 為為Hermite(Hermite(實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱) )矩陣，且矩陣，且 則存在酉矩陣則存在酉矩陣 使得使得,A B=,AB BAU1、實(shí)正規(guī)矩陣是否正交相似于實(shí)、實(shí)正規(guī)矩陣是否正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣？對(duì)角矩陣？2、實(shí)正規(guī)矩陣是否正交相似于復(fù)、實(shí)正規(guī)矩陣是否正交相似于復(fù)對(duì)角矩陣？對(duì)角矩陣？3、實(shí)正規(guī)矩陣正交相似于什么、實(shí)正規(guī)矩陣正交相似于什么樣的樣的“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”矩陣？矩陣？7、 Hermite變換與正規(guī)變換變換

23、與正規(guī)變換單從變換的角度我們很難把單從變換的角度我們很難把Hermite變換變換(對(duì)稱對(duì)稱變換變換)與正規(guī)變換聯(lián)系起來(lái)，但從與正規(guī)變換聯(lián)系起來(lái)，但從Hermite矩陣矩陣(對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣)的定義，或者從的定義，或者從Hermite矩陣矩陣(對(duì)稱對(duì)稱矩陣矩陣) 都可對(duì)角化上卻能找到兩者的關(guān)聯(lián)，這都可對(duì)角化上卻能找到兩者的關(guān)聯(lián)，這似乎可以作為數(shù)學(xué)的似乎可以作為數(shù)學(xué)的“奇異美奇異美”的一個(gè)例證。的一個(gè)例證。正規(guī)變換可以說(shuō)是對(duì)稱變換、正交變換等的推正規(guī)變換可以說(shuō)是對(duì)稱變換、正交變換等的推廣和抽象，即只關(guān)心永恒的主題廣和抽象，即只關(guān)心永恒的主題-“對(duì)角化對(duì)角化”的問(wèn)題。這又一次體現(xiàn)出現(xiàn)代數(shù)學(xué)高度的的問(wèn)

24、題。這又一次體現(xiàn)出現(xiàn)代數(shù)學(xué)高度的抽象抽象和和統(tǒng)一統(tǒng)一。TAA 推廣到酉空間，相應(yīng)的矩陣稱為推廣到酉空間，相應(yīng)的矩陣稱為Hermite矩陣矩陣，滿足，滿足關(guān)系式關(guān)系式HAA 既然矩陣與變換一一對(duì)應(yīng)，那么既然矩陣與變換一一對(duì)應(yīng)，那么Hermite矩陣以及實(shí)矩陣以及實(shí)對(duì)稱矩陣與什么樣的變換對(duì)應(yīng)呢對(duì)稱矩陣與什么樣的變換對(duì)應(yīng)呢？我們知道，實(shí)對(duì)稱矩陣我們知道，實(shí)對(duì)稱矩陣 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式A設(shè)設(shè) 在酉空間在酉空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 下的矩陣表示為下的矩陣表示為 且且 。VTA12,n， ，HAA 任取任取 ，設(shè)，設(shè)V、 1212= (,) ,= (,)nnxy， ， ， 則則)(),HH

25、Hy AxTAyx ( ,( ( )()HAyxT 12( ) ( ,) ,nTA x ，12( )( ,),nTAy ，( ( ),)( ,() .TT 設(shè)設(shè) 是酉空間（或是酉空間（或歐氏空間歐氏空間） 上的線上的線性變換，稱性變換，稱 為為 上的上的 ，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 ， 都有都有VTVTV、 一、一、 Hermite變換（自伴變換）變換（自伴變換）酉空間（或酉空間（或歐氏空間歐氏空間） 上的線性變換上的線性變換 是是 的的充要條件充要條件是是 在在 的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣 滿足滿足VTATV()HTAAAA 1122( (),)(,)ijiin

26、injTaaa ( (),)jii jTa 所以所以( (),)(,()ijij ijTTa ( (),)jii jaT 從而從而HAA ,j ia 設(shè)設(shè) 在在 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 下的矩陣表示為下的矩陣表示為 。12,n， ，()i jAa VT設(shè)設(shè) 是酉空間是酉空間 上的線性變換，如果對(duì)任上的線性變換，如果對(duì)任意意 ， 都有都有并稱并稱 為為 的一個(gè)的一個(gè)( ( ),)( ,() .TT VTV、 TV酉空間酉空間 上的上的的的特征值特征值是實(shí)數(shù)。是實(shí)數(shù)。TV酉空間酉空間 上的線性變換上的線性變換 是是的的充要條件充要條件是是 在在 的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣的任意一組標(biāo)準(zhǔn)

27、正交基下的矩陣 滿足滿足VTATV-HAA 1()()SEA EA 例例1 1 ( (Cayley變換變換) ) 方陣方陣 是實(shí)反對(duì)稱矩陣，是實(shí)反對(duì)稱矩陣，那么那么 是非奇異的，并且是非奇異的，并且Cayley變換矩陣變換矩陣AEA 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以對(duì)任意的，所以對(duì)任意的 ， 有有nxR TAA ()()TTTTTTx Axx AxxAxx Ax 因此因此 。對(duì)于。對(duì)于0Tx Ax ()0IA x 由于由于 ，從而方程組，從而方程組只有零解，所以只有零解，所以 是非奇異的。是非奇異的。()0TTx xxEA x()EA 由于由于11()()() ()SEA EAEAEA 11()()()()T

28、TTSEAEAEA EA 所以所以是正交矩陣。是正交矩陣。=HB A設(shè)設(shè) 是酉是酉(歐氏歐氏)空間空間 上的線性變換，如果上的線性變換，如果存在存在 上一個(gè)線性變換上一個(gè)線性變換 ， 使得使得稱稱 有一個(gè)有一個(gè)( ( ),)( ,( ) ,HTTV VTTHTVHT設(shè)設(shè) 是一個(gè)酉是一個(gè)酉(歐氏歐氏)空間，空間， 是是 上上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基， 是是 上的線性變換，且上的線性變換，且 在上述在上述基對(duì)應(yīng)的矩陣為基對(duì)應(yīng)的矩陣為 ，那么，那么 的伴隨變換的伴隨變換 在在該基下的矩陣表示該基下的矩陣表示 為為12,n VT()ijAa TVVTHTB另外另外(),)=HjiijTb(1)

29、( + ) = + HHHT PTP 伴隨矩陣的一些重要性質(zhì)。伴隨矩陣的一些重要性質(zhì)。定理定理5: 設(shè)設(shè) 是是 維酉維酉(歐氏歐氏)空間空間, 和和 都是都是 上上的線性變換，的線性變換， 為一個(gè)為一個(gè)(實(shí)實(shí))復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)，則VnTVPk(2) () = HHkTkT(3) () = HHHTPP T(4) () = HHTT定理定理6: 設(shè)設(shè) 是是 維酉維酉(歐氏歐氏)空間空間, 是是 上的上的一個(gè)線性變換，如果一個(gè)線性變換，如果 是是 的的 不變子空間，不變子空間，那么那么 也是也是 的不變子空間。的不變子空間。VVnTWTHTW設(shè)設(shè) 是酉是酉( (歐氏歐氏) )空間，空間， 是是 上的線

30、性變換，如上的線性變換，如果滿足果滿足VVTHHT TTT= =二、正規(guī)變換二、正規(guī)變換(Normal Transformation)T稱為稱為 是是。定理定理7: 設(shè)設(shè) 是是 維酉維酉(歐氏歐氏)空間空間, 是是 上的一上的一個(gè)線性變換，個(gè)線性變換， 是正交變換的是正交變換的充要條件充要條件是是 在在 的的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣式正規(guī)矩陣。任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣式正規(guī)矩陣。VVnTVTT 正規(guī)變換在不同標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示是正規(guī)變換在不同標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示是酉相似酉相似的。的。證明證明：設(shè)正規(guī)變換設(shè)正規(guī)變換 在在 的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基 和和 下的矩陣表示下的矩陣表示

31、分別為分別為 ，并設(shè)，并設(shè)AB、12,nL L, ,VT12,n% % % %L L, ,顯然過(guò)渡矩陣顯然過(guò)渡矩陣 是酉矩陣是酉矩陣（請(qǐng)?jiān)囋囎约鹤C明一下）（請(qǐng)?jiān)囋囎约鹤C明一下）U1212(,)(,)nnU= =% % % %L LL L, , ,因?yàn)橐驗(yàn)?12(,)HnUA U= =% % % %L L, ,) ), ,T T ( (12(),()nTT= =% % % %L L12(),()nTTU= =L L) ), ,T T ( (12(,)nA U= =L L, ,12(,)nB% % % %L L所以所以 ，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。HBUA U= =根據(jù)定理根據(jù)定理8 8，正規(guī)變換在任

32、一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣，正規(guī)變換在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示必定酉相似于對(duì)角陣。表示必定酉相似于對(duì)角陣。上一節(jié)有上一節(jié)有:正規(guī)矩陣一定酉相似于一個(gè)對(duì)角矩陣正規(guī)矩陣一定酉相似于一個(gè)對(duì)角矩陣.定理定理10: 酉空間酉空間 上的一個(gè)線性變換上的一個(gè)線性變換 是正交是正交變換，變換，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)在在 中存在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，中存在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得使得 在該基下對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角矩陣。在該基下對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角矩陣。VVTT定理定理9: 設(shè)設(shè) 是酉空間是酉空間 的一個(gè)正規(guī)變換。則的一個(gè)正規(guī)變換。則存在存在 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得 在該基下對(duì)在該基下對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角矩陣。即酉空間上的

33、正規(guī)變換是應(yīng)的矩陣為對(duì)角矩陣。即酉空間上的正規(guī)變換是可以對(duì)角化的線性變換?？梢詫?duì)角化的線性變換。VTVT例例 2 : 設(shè)設(shè) 為一個(gè)冪等為一個(gè)冪等H-陣陣, 則存在酉矩則存在酉矩陣陣 使得使得An nUU000rHIU AU證明證明: 由于由于 為一個(gè)為一個(gè)H-陣陣, 所以存在酉所以存在酉矩陣矩陣 使得使得An nWU12( ,)HnW AWdiag A又由于又由于 為一個(gè)冪等為一個(gè)冪等H-陣陣, 從而從而或或0i1i將將1放在一起放在一起, 將將0放在一起放在一起, 那么可找到一那么可找到一個(gè)酉矩陣個(gè)酉矩陣 使得使得n nUU000rHIU AU這里這里 為矩陣為矩陣 的秩的秩.Ar8、Her

34、mite矩陣及矩陣及Hermite二次齊式二次齊式Hermite矩陣的基本性質(zhì)矩陣的基本性質(zhì)一、一、 Hermite矩陣及實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)矩陣及實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)引理引理: 設(shè)設(shè) , 則則n nAC,HHHAAAAA A (1) 都是都是H-陣陣. (2) 是反是反H-陣陣.HAA (3) 如果如果 是是H-陣陣, 那么那么 也是也是H-陣陣, 為為任意正整數(shù)任意正整數(shù).AkAk (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-陣陣, 那么那么 也是可也是可逆的逆的H-陣陣.A1A(5) 如果如果 是是H-陣陣(反反H-陣陣), 那么那么 是反是反H-矩陣矩陣(H-陣陣), 這里這里 為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位

35、.AiAi(6) 如果如果 都是都是H-陣陣, 那么那么 也是也是H-陣陣, 這里這里 均為實(shí)數(shù)均為實(shí)數(shù).,A BkAlB, k l (7) 如果如果 都是都是H-陣陣, 那么那么 也是也是H-陣的陣的充分必要條件充分必要條件是是,A B.ABBAAB定理定理2: 設(shè)設(shè) , 則則 (1) 是是H-陣的充分必要條件是對(duì)于陣的充分必要條件是對(duì)于任意的任意的 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù). (2) 是是H-陣的充分必要條件是對(duì)于陣的充分必要條件是對(duì)于任意的任意的 階方陣階方陣 為為H-陣陣.n nACA,nHXCXAXAn,HBB AB=Re=ReHijjiijjiAAaaaa定理定理3: 設(shè)設(shè) , 則則 是是H-

36、陣的充分必陣的充分必要條件是存在一個(gè)酉矩陣要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使得使得n nACAn nUUH-陣的結(jié)構(gòu)定理陣的結(jié)構(gòu)定理12HnU AU其中其中 , 此定理經(jīng)常敘述此定理經(jīng)常敘述為為: H-陣酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣陣酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣.12,nR 推論推論: 實(shí)對(duì)稱陣正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣實(shí)對(duì)稱陣正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣. 設(shè)設(shè) ，則，則 是實(shí)對(duì)稱矩陣的充要條件是實(shí)對(duì)稱矩陣的充要條件是存在是存在 ，使得，使得n nAR n nQR A12=(,)TnQ AQ diag 其中其中 是實(shí)數(shù)。是實(shí)數(shù)。12,n 12=( ,0,0)HrP AP diag b bb矩陣，則存矩陣，則存在在 ，滿足，滿足Arn

37、n nPC其中其中 是實(shí)數(shù)。是實(shí)數(shù)。12,rb bb二、二、 Hermite二次型、實(shí)二次齊式二次型、實(shí)二次齊式其對(duì)應(yīng)的矩陣其對(duì)應(yīng)的矩陣 ，顯然是，顯然是()i jAa 1,1(,),nHni jiji jj ii jf xxa x xx Axaa 或或指的是指的是復(fù)系數(shù)二復(fù)系數(shù)二次齊次復(fù)多項(xiàng)式次齊次復(fù)多項(xiàng)式稱稱 是是 Hx Ax若做可逆線性變換若做可逆線性變換 則則=xCY1(,)=() =HHHHnf xxx Ax YC AC YY BY 顯然，顯然， ，且，且HBCAC HBB 對(duì)于對(duì)于Hermite二次型二次型存在存在酉變換酉變換 ，將二次型化為，將二次型化為xU y 1(,),Hnf

38、 xxx Ax 其中其中 是是 的特征值。的特征值。AjR 1111222(,)nnnnf xxy yy yy y 。對(duì)于對(duì)于Hermite二次齊式二次齊式1(,),Hnf xxx Ax 存在可逆的線性變換存在可逆的線性變換 ,將二次型化成將二次型化成xP y 1111( )pppprrf xy yy yyyy y 其中其中 是是 的秩。的秩。Ar123121312131231 112132123313133(1)(,)(2)(,)(1)(1)2f x xxix xx xix xx xf x xxx xix xi x xix xx xi x xx xx x解解: 11231232301(1)(

39、,),00100ixf x x xx x xixx例例1: 寫出下面寫出下面Hermite二次型的矩陣表達(dá)式二次型的矩陣表達(dá)式,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.11231232311(2)(,),01112iixf x xxx xxixix9、正定二次齊式和正定、正定二次齊式和正定Hermite矩陣矩陣實(shí)數(shù)域內(nèi)經(jīng)常處理的矩陣是實(shí)數(shù)域內(nèi)經(jīng)常處理的矩陣是對(duì)稱正定矩陣對(duì)稱正定矩陣，關(guān)于它有許多優(yōu)美的結(jié)論。將數(shù)域推廣到關(guān)于它有許多優(yōu)美的結(jié)論。將數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域，考察相應(yīng)的結(jié)論，這就是本節(jié)的復(fù)數(shù)域，考察相應(yīng)的結(jié)論，這就是本節(jié)的主題。主題。設(shè)設(shè) 是酉空間（或是酉空間（或歐氏空間歐

40、氏空間） 上的上的Hermite 變換（或變換（或?qū)ΨQ變換對(duì)稱變換），稱），稱 為為 上的上的 ，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 ， 都有都有并稱并稱 在在 的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為VT( ,( )0,( )0().TT VTVTVHermite二次型二次型 稱為稱為，如果對(duì)任意如果對(duì)任意 ，恒有，恒有 ；當(dāng)且；當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) 時(shí)時(shí) 。其對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是。其對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是( )Hf xx Ax nxC 0Hx Ax x 0Hx Ax Hermite二次型二次型 稱為稱為，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 ，恒有，恒有 。其。其對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是( )Hf

41、 xx Ax nxC 0Hx Ax AA( )Hf xx Ax =X PY對(duì)對(duì)Hermite二次型二次型 ，下列命題是等價(jià)的：下列命題是等價(jià)的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正數(shù)；的特征值全是正數(shù)； （3 3） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 階可逆階可逆Hermite矩陣矩陣 ，使得，使得P( ),Hnf xx Ax xCAnHP APE H( )f xQHAQ Q 2AH nn(6) 存在正線上三角矩陣存在正線上三角矩陣 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的

42、.RHAR R證明：證明：可證可證(1)(2)(3)(4)(1)以及以及(2)(5)(6)(1) ) 階階Hermite矩陣矩陣 為正定為正定Hermite矩陣的矩陣的充要條件充要條件是矩陣是矩陣 的各的各階順序主子式皆為正數(shù)，即階順序主子式皆為正數(shù)，即這里這里A111212122212,kkkkkkkkaaaaaaDAaaa n120,0,0nDDD A(1,2, )kn 階階Hermite矩陣矩陣 為負(fù)定為負(fù)定Hermite矩陣的矩陣的充充要條件要條件是是An( 1)0(1,2,)kkkDAkn A例例 1 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 且又是酉矩且又是酉矩陣陣, 則則AE

43、證明證明: 由于由于 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣陣, 所以必存在所以必存在酉矩陣酉矩陣 使得使得An nUU12,0HinAUUR由于由于 又是酉矩陣又是酉矩陣, 所以所以A1i這樣必有這樣必有 , 從而從而1iAE例例 2 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 是一是一個(gè)反個(gè)反H-陣陣, 證明證明: 與與 的特征值實(shí)的特征值實(shí)部為零部為零.ABABBA證明證明: 設(shè)設(shè) 為矩陣的任意一個(gè)特征值為矩陣的任意一個(gè)特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣陣, 所以存在可逆矩陣所以存在可逆矩陣 使得使得0EABAQHAQ Q將其代入上面的特征多項(xiàng)式有將其代入上面的特征多

44、項(xiàng)式有1110()()()HHHHHHHHHHEQ QBQQQ QBQQQEQBQQEQBQ這說(shuō)明這說(shuō)明 也是矩陣也是矩陣 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩陣面注意矩陣 為為H-反陣反陣, 從而從而 實(shí)部實(shí)部為零為零.同樣可以證明另一問(wèn)同樣可以證明另一問(wèn). HQBQHQBQ例例 3 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 是一個(gè)是一個(gè)反反H-陣陣, 證明證明: 是可逆矩陣是可逆矩陣.ABAB證明證明: 由于由于 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣陣, 所以存在可所以存在可逆矩陣逆矩陣 使得使得AQHAQ Q11ABAAA BA EA B另一方面注意矩陣另一方面注意矩陣 仍然為正定仍然為正

45、定H-陣陣, 而而矩陣矩陣 為為H-反陣反陣, 由上面的例題結(jié)論可知由上面的例題結(jié)論可知1ABA這表明這表明 是可逆的是可逆的. 于是于是矩陣矩陣 的特征值實(shí)部為零的特征值實(shí)部為零, 那么矩陣那么矩陣1AB1EAB的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零, 從而從而10EAB對(duì)對(duì) 階階Hermite矩陣矩陣 ，下列命題是等價(jià)的：下列命題是等價(jià)的：（1 1） 是非負(fù)定的；是非負(fù)定的；（2 2） 的特征值全是非負(fù)的；的特征值全是非負(fù)的； （3 3） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 這里這里 為為 的秩；的秩；（4 4） 存在秩為存在秩為 的的 階矩陣階矩陣 使得使得 ；（5 5） 存

46、在存在 階階Hermite矩陣矩陣 ，使得，使得PnArn,HrIOPAPOO HAQHAQ Q 2AH nAArn1AE證明證明: 設(shè)設(shè) 為為 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的, 所以所以 . 于是有于是有 12,n AA0i12(1)(1)(1)1nAE例例 4 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)半正定的是一個(gè)半正定的H-陣且陣且 證明證明: 0A A定理定理4: 設(shè)設(shè) 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩陣矩陣, 那那么存在唯一的正定么存在唯一的正定(半正定半正定) Hermite矩陣矩陣 使使得得 ，且對(duì)任何一個(gè)與，且對(duì)任何一個(gè)與 可交換的矩陣可交換的矩陣 必必和和 可以

47、交換可以交換(即若即若 ,則則 ).AH2AHABH=AB BA=HB BH給定實(shí)二次齊式給定實(shí)二次齊式 稱為稱為，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 ，恒有，恒有 ；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí) 。其對(duì)應(yīng)的矩陣顯。其對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是然是( )Tf xx Ax nxR 0Tx Ax x 0Tx Ax 給定實(shí)二次齊式給定實(shí)二次齊式 稱為稱為，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 ，恒有，恒有 。其。其對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是對(duì)應(yīng)的矩陣顯然是( )Tf xx Ax nxR 0Tx Ax 對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)二次齊式二次齊式 ，下列命題是等價(jià)的：下列命題是等價(jià)的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正數(shù)；的特征值全是正數(shù)； （3

48、3） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得P( ),Tnf xx Ax xR AnTP APE H( )f xQTAQ Q 2AH nn(6) 存在正線上三角矩陣存在正線上三角矩陣 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.RTAR R對(duì)對(duì) 階階 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 ，下列命題是等價(jià)的：下列命題是等價(jià)的：（1 1） 半正定的；半正定的；（2 2） 的特征值全是非負(fù)的；的特征值全是非負(fù)的； （3 3） 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 這里這里 為為

49、 的秩；的秩；（4 4） 存在秩為存在秩為 的的 階矩陣階矩陣 使得使得 ；（5 5） 對(duì)任何對(duì)任何 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使得，使得 半正定的半正定的PnArn,rEEOPAPOO PAQTAQ Q TP APnAArn定理定理7: 設(shè)設(shè) 是正定是正定(半正定半正定)實(shí)對(duì)實(shí)對(duì) 稱矩陣稱矩陣, 那那么存在唯一的正定么存在唯一的正定(半正定半正定) 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 使使得得 ，且對(duì)任何一個(gè)與，且對(duì)任何一個(gè)與 可交換的矩陣可交換的矩陣 必必和和 可以交換可以交換(即若即若 ,則則 ).AH2AHABH=AB BA=HB BH例例 5 : 設(shè)設(shè) 都是都是 階正定階正定H-陣，則陣，則 的根全

50、為正實(shí)數(shù)。的根全為正實(shí)數(shù)。,A Bn0BA證明證明：因?yàn)椋阂驗(yàn)?是正定的，所以存在可逆矩陣是正定的，所以存在可逆矩陣 使得使得Bn nPCHP BPE另一方面注意到另一方面注意到 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣，陣，從而有從而有HP AP0HEP AP例例 6 ( 6 (Schur補(bǔ)：思考題補(bǔ)：思考題) ) 階方陣階方陣 有如下分塊有如下分塊則則 是正定是正定Hermite矩陣的矩陣的充要條件充要條件是是 和和 都是正定都是正定Hermite矩陣。矩陣。A11121121122122,k kHAAAACAAAA 11AAn122211112AA A A 11A證明：證明：利用即可利用即可11112

51、1121112221121111A AA AAA AIOAOIAIOOIA ,.HHP APP BPI 例例 7 ( 7 (廣義特征值問(wèn)題的同時(shí)合同對(duì)角化廣義特征值問(wèn)題的同時(shí)合同對(duì)角化) )對(duì)于對(duì)于 ，如果，如果 均為均為Hermite矩陣，并且矩陣，并且還是正定矩陣還是正定矩陣那么存在那么存在可逆矩陣可逆矩陣 ，使得，使得AxBx 、ABBP這里這里 是原廣義特征值問(wèn)題的是原廣義特征值問(wèn)題的特征值。特征值。1(,)ndiag 111P BPI 證明：證明：由于由于 是是Hermite正定正定矩陣，所以有矩陣，所以有B111(,)HnHUUdPagPiA 再根據(jù)再根據(jù) 是是Hermite矩陣，

52、所以有酉相似矩陣，所以有酉相似11HP AP令令 ，則有，則有1PPU 11,HHHHP BP BP UU UIPU 11HHHPP APAP UU 1()HBPP 因此因此最后根據(jù)最后根據(jù) ，得，得HP BPI 11HPPAB APP 這說(shuō)明這說(shuō)明 是是 的特征值，因此也是的特征值，因此也是廣義特征值廣義特征值 的特征值。的特征值。1,n 1B A AxBx 定理定理1 設(shè)設(shè) 均為均為 階階Hermite-陣陣,且且 又是正定的，證明必存在又是正定的，證明必存在 使得使得n,A BBn nnPC12( ,)HnP APdiag 10、 Hermite矩陣偶在復(fù)合同（復(fù)相矩陣偶在復(fù)合同（復(fù)相合

53、）下的標(biāo)準(zhǔn)形合）下的標(biāo)準(zhǔn)形與與Hn nP BPE同時(shí)成立，其中同時(shí)成立，其中 是與是與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)。的實(shí)數(shù)。12,n P證明證明： 由于由于 是正定是正定H-陣，所以存在陣，所以存在 使得使得B1n nnPC11Hn nP BPE又由于又由于 也是也是H-陣，那么存在陣，那么存在 使得使得11HP AP2n nnPU211212(,)HHnP P APPdiag 其中其中 是是H-陣陣 的的 個(gè)實(shí)特征值。個(gè)實(shí)特征值。11HP AP12,n n12PPP如果記如果記 ，則有，則有12(,),HHnP APdiagP BPE 下面證明下面證明 個(gè)實(shí)特征值個(gè)實(shí)特征值 與與 無(wú)關(guān)。令無(wú)關(guān)。令 ，那

54、么，那么 是特征方是特征方程程12,n nP11HQP APi0EQ的特征根。又由于的特征根。又由于111111HHHEQP BPP APPBA P因此因此 是方程是方程 的根。它完全的根。它完全是由是由 決定的與決定的與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 。i0BA,A BP由此可以得到下面的由此可以得到下面的H-陣偶標(biāo)準(zhǔn)形定理：陣偶標(biāo)準(zhǔn)形定理：定理定理2：對(duì)于給定的兩個(gè)二次型：對(duì)于給定的兩個(gè)二次型其中其中 是正定的，則存在非退化的線性是正定的，則存在非退化的線性替換替換可以將可以將 同時(shí)化成標(biāo)準(zhǔn)形同時(shí)化成標(biāo)準(zhǔn)形1,12,1()()nHijiji jnHijiji jf XXAXa x xfXX BXb x x12(),()f XfXXPY2()fX1111222211122nnnnnfy yy yy yfy yy yy y其中其中 是方程是方程 的根，而且全為實(shí)數(shù)。的根，而且全為實(shí)數(shù)。定義定義1：設(shè)：設(shè) 均為均為 階階Hermite-陣陣,且且又是正定的，求又是正定的，求 使得方程使得方程有非零解的充分必要條件是有非零解的充分必要條件是12,n 0BA,ABnBAXBX0BA關(guān)于關(guān)于 的的 次代數(shù)方程方程次代數(shù)方程方程成立。我們稱此方程是成立。我們稱此方程