微積分(不定積分)-文檔資料

1、第四章第四章 不定積分不定積分 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì) 基本積分公式基本積分公式 換元積分法 分部積分分部積分 微積分這門課程，主要包括微分學(xué)和積分學(xué)。在上微積分這門課程，主要包括微分學(xué)和積分學(xué)。在上學(xué)期我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微分學(xué)，即已知一個函數(shù)學(xué)期我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微分學(xué)，即已知一個函數(shù) ，如，如何求出其導(dǎo)數(shù)何求出其導(dǎo)數(shù) 的問題。本章我們開始學(xué)習(xí)微分的的問題。本章我們開始學(xué)習(xí)微分的反運算，亦即已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反運算，亦即已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，如何求出，如何求出 的問題，這一過程稱為積分。的問題，這一過程稱為積分。( )f x( )fx( )fx( )f x例如，已知某工廠生產(chǎn)例如，

2、已知某工廠生產(chǎn) 單位某種產(chǎn)品的邊際成本為單位某種產(chǎn)品的邊際成本為x( )210C xx求總成本函數(shù)求總成本函數(shù)( )C x這個問題就是求這個問題就是求 的積分的過程的積分的過程( )C x24-1 4-1 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)3 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).定義定義 設(shè)設(shè)f (x) 在某在某區(qū)間上區(qū)間上有有定義定義，如果對該區(qū)間的任意，如果對該區(qū)間的任意點點x都有都有 F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dx則稱則稱F(x)為為 f (x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)在

3、該區(qū)間上的一個原函數(shù). 1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念 例如例如: ， 是函數(shù)是函數(shù) 在在 上的原函數(shù)上的原函數(shù). ,sin x是是cos x在在 上的原函數(shù)上的原函數(shù).(,) 32()3xx x233x(,) (sin )cos x x (2) (2)如果如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的不是唯一的, ,且有無窮多個且有無窮多個(1)(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在例如例如在在 上上 是是 的原函數(shù)的原函數(shù)(,) sin1,sin2xx sin xcos xsin1,sin3xx也是它

4、的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即即 加任意常數(shù)都是加任意常數(shù)都是 的原函數(shù)的原函數(shù).sinxcosx (3) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任上存在原函數(shù)，則其任意兩個原函數(shù)只差一個常數(shù)項意兩個原函數(shù)只差一個常數(shù)項.而而注注: :5定義定義2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)F(x)是是f (x)在在區(qū)間區(qū)間 I 上上的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，那么那么f (x)的全體的全體原函數(shù)原函數(shù)F(x) C(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )稱為稱為f (x)在在區(qū)間區(qū)間 I 上上的不定積分的不定積分. . 記作記作( )df xx其中記號其中記號 稱為積分號稱為積分號，f (x)稱為被積函數(shù)，

5、稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱稱為被積表達(dá)式，為被積表達(dá)式，x 稱為積分變量，稱為積分變量，C為積分常數(shù)為積分常數(shù). .( )d( )f xxF xC，即即2.不定積分的概念不定積分的概念注意：不定積分為全體原函數(shù)注意：不定積分為全體原函數(shù)F(x) C6例例2 求求21d .1xx21(arctan )()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 求求4d . xx545由由于于，xx解解54d.5所所以以xxCx7例例3 求求1d . xx,1) 1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 時，有當(dāng)解解10(ln ). xx x當(dāng)時，有1dln (0).x

6、xCxx所所以以ln x1dln().xxCx又又ln0,ln()0,xxxx當(dāng)當(dāng)1dln (0)xxCxx83 3 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系微分運算與積分運算互為逆運算微分運算與積分運算互為逆運算. . (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特別地，有特別地，有d.xx C(2) ( )d( ) d ( )( )f xxf xCf xf xC或或，94 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面號的前面. .( )d( )dkf xxkf xx(0).

7、kk 是常數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)2可以推廣到有限多個函數(shù)的情形，即可以推廣到有限多個函數(shù)的情形，即nnxxxxxxxxxxffffff1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .性質(zhì)性質(zhì)2 兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(或差或差)的不定積分等于各函數(shù)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和不定積分的和(或差或差)，即，即 ( )( )d( )d( )d .f xg xxf xxg xx10例例4 求求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐項積分后，每個積分

8、結(jié)果中均含有一個任意逐項積分后，每個積分結(jié)果中均含有一個任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個任意常數(shù)即可要寫出一個任意常數(shù)即可 114-2 4-2 基本積分公式基本積分公式12 (6) sin dcosxxxC(1) d kxkxCd(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC 1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa 基本積分公式基本積分公式13 22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec d

9、tan .cosxxxxCx (11) csc cot dcsc .xxxxC21(12) darcsin 1xxCx21(13) darctan1xxCx arccos .xC arccot.xC14練習(xí)：計算下列積分練習(xí)：計算下列積分31(1)d . (2)d . (3) 2 d . (4)d .xxx xxxexx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313.22111 211CxCx (3)22 dln2xxxC(4).xxxC dee15例例5 某公司測定出生產(chǎn)某公司測定出生產(chǎn) 件某種產(chǎn)品的邊際成本件某種產(chǎn)品的邊際成本 為為x( )C x

10、( )210C xx求總成本函數(shù)求總成本函數(shù)( )C x解：解：應(yīng)用積分來求成本函數(shù)應(yīng)用積分來求成本函數(shù)( )( )C xC x dx(210)xdx210 xxC().C其中 是常數(shù)16.xexC1) d(xxe21(1)(1)dd11xxxxxxxeeeee解解21d .1xxxee例例6 求求17cos2d .sincosxxxx sincos.xx C例例7求求cos2dsincosxxxx解解(cossin )xx dx 有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本

11、公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項積分求得結(jié)果的積分后，便可逐項積分求得結(jié)果 (cossin )(cossin )dsincosxxxxxxx22cos2cossinxxx18練習(xí)：計算下列積分練習(xí)：計算下列積分2(1)d . (2)(1 2 )d . (3) cosd . xxxx xexx x3121312Cx(1 2 )d(2) xxex解解32d (1) dx xxxx1l .(2 )n2xxeeCe (3)2cos x x d522.5Cxxa2cos22cos1xx12(cos21xx)d12xC14() d2xxeexsin2x1219作業(yè)：作業(yè)：P138 1，（，（3）（）（8）（

12、）（12）20作業(yè)：計算下列積分作業(yè)：計算下列積分232cos(1)d . (2)d . (3) sind . 1 sin2xxxx xxxx22cos1 sin(1 sin )(1 sin )ddd1 sin1 sin1 s n(2)i xxxxxxxxxx解解372d (1) dxx xxx(1 sin )dxx (3)2sin2xx d922.9Cx2cos212sinxx 1122sin xxCcosxxC1(1 cos )d2xx214-3 4-3 換元積分法換元積分法22換元積分法換元積分法 直接利用基本積分表和分項積分法所能計算的直接利用基本積分表和分項積分法所能計算的不定積分是

13、非常有限的，為了求出更多的積分，需不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積分的兩大基本方法分的兩大基本方法換元積分法和分部積分法。換元積分法和分部積分法。 在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的方法，不定積分作為微分法的逆運算，也有相應(yīng)方法，不定積分作為微分法的逆運算，也有相應(yīng)的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法積分法換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二

14、類換元。把換元法分成第一類換元和第二類換元。23問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法xCx2cos2sin21 說明結(jié)果正確說明結(jié)果正確24 ( )d( )( ) f uu F uCux，如果具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 有 ( )( )d ( )d ( )fx x xfxx 定理定理1設(shè)設(shè) 該公式稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用該公式稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計算不定

15、積分的方法稱第一換元積第一換元積分公式計算不定積分的方法稱第一換元積分法分法.也稱也稱“湊微分湊微分”法法 ( )FxC 25湊微分法的基本思路：湊微分法的基本思路： 與基本積分公式相比較，將不同的部分與基本積分公式相比較，將不同的部分中間變量中間變量和和積分變量積分變量變成相同變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量應(yīng)用定理應(yīng)用定理1 1求不定積分的步驟為求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx湊微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux變量代換還原26 微分的基本公式：微分的基本公

16、式：CC()(1) d0 為為常常數(shù)數(shù)1(2) d () 為為常常數(shù)數(shù)axxa(4) e dxx 1(5) d xx(7) sin d x x(3) d (01)xaxa,a(6) cos d x xxd xCd() 1d axa1dln xaadexdln xdsin xdcos x21(8) d1 xxdarcsin x21(9)d1 xxarctandx27例例1 1 求求.231dxx 解解32 ,uxdxx 231112duud(3) ln|.xxCx2,dudx1,2dxdu1ln2uC1ln 322xC一般地一般地 dxbaxf)(1( )f u duuaxba28例例2 2 求

17、求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 12ln ,ux 2 (ln ),dudx29,)106(3000900022xxxdxdpdxxxxdxxpxp22)106(30009000)( )(22261500(610)xdxxx )106()106(1500222xxdxxCxx212)106(2111500.)106(150012Cxx 已知某公司出售現(xiàn)已知某公司出售現(xiàn)x單位產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)是單位產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)是求總利潤函數(shù)求總利潤函數(shù). .例例3 3解：由不定積分的性質(zhì)可知解：由不定積分

18、的性質(zhì)可知2(610)d xx26xdx30練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分2008d .(31)xx.cos11 dxx312008d .(31)xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有131d3ddd3uxuxxu令，得，解解uud31=200820091132009Cu20091(31).6027xC32解解.cos11 dxx11 cosdxxCx 2tan212cos2dxx2cos22cos1xx221cos2xdx33解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(

19、sinsin1sin122xdxdxx1cotsinxCx 221cossinsinxdxdxxxcsccot.xxC342cos2sin2tanxxx xxcos1cos1 xx22cos1)cos1( xxsincos1 xxcotcsc 1cossinsinxxx35例例4dxxa 221解解dxxa 221dxxaxa )(1 dxxaxaa1121Cxaxaa |ln|ln21Cxaxaa |ln21)(1)(121xadxaxadxaa361cosdxxsecxdx2coscosxdxx21(sin )1 sindxx111sin21 sin1 sindxxx211 sin11 s

20、inlnln21 sin2cosxxCCxx例例5 5 求求secxdx解解1111(1 sin )(1 sin )2 1 sin2 1 sindxdxxxln sectanxxC37例例6 6 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 38例例7 7 求求解解5sincos.xxdx5sincos.xxdx5sin(cos)xxdx5sinsinx dx61sin.6xC39練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分.csc xdx.cossin52 xdxx.12xxedxe40.12xx

21、edxe解解112xxdee1 2xxedxe1212xxd ee1211(21)212xxdee12xeC41解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 42解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdx111cos21cos1cosdxxx Cxxcos1cos1ln21.csc xdx1111(1 cos )(1 cos )2 1 cos2 1 cosdx

22、dxxx.)cotln(cscCxx 43解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx 44dxxxxxx cotcsccotcsccsc2 )cot(csccotcsc1xxdxxCxx )cotln(cscCxx )cotln(csc解解 xdxcsc dxxxxxxcotcsc)cot(csccsc451()d()d() (0)f axbxf axbaxbaa (1) (2)11()d()d()f xxxf xx (3)1(ln)d(ln)d(ln)fxxfxxx

23、(4)()d()d()xxxxf eexf ee (5)1()d()d()lnxxxxf aaxf aaa 事實上事實上 ，湊微分就是把中間變量省略，從而簡化計算，湊微分就是把中間變量省略，從而簡化計算過程，這種方法需要一定的技巧，請同學(xué)們熟識下列公式過程，這種方法需要一定的技巧，請同學(xué)們熟識下列公式46(6)(sin) cos d(sin)d(sin)fxx xfxx (7)(cos ) sin d(cos )d(cos )fxx xfxx (8)2(tan)d(tan)d(tan)fxsec x xfxx (9)2(cot) cscd(cot)d(cot)fxx xfxx (10)21(a

24、rctan )d(arctan )d(arctan )1fxxfxxx (11)21(arcsin)d(arcsin)d(arcsin)1fxxfxxx 47問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法4811:( )( )0,( )( ) ( )( )(t)C( )Cxtttxf x dxftt dtFFx定理 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，并且其反函

25、數(shù)為，49例例8 8 求求解解22.ax dx令令sinxatcosdxatdt 2,2t22ax dxcoscosat atdt21 cos22tadttax22ax22cosatdt2(1 cos2 )2at dt21(sin2 )C22att2(sincos )C2attt222arcsinC22axxaxasinxta50例例9 9 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2tCxax )ln(2251例例1010 求求解解)

26、.0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax Caxx )ln(2252練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分21.1dxx 24.x dx21.91dxx 53解解24.x dx令令2sinxt2cosdxtdt 2,2t24x dx2cos2costtdt1 cos242tdtt2x24x24 cos tdt2 (1 cos2 ) t dt12(sin2 )C2tt2(sincos )Cttt22arcsin4C22xxxsi

27、n2xt 54解解21.1dxx 令令tanxt2secdxtdt211dxx 21secsectdtt tdtsecCtt )tanln(sect1x21x 2,2t2ln(1)xxC55解解21.91dxx 令令1sec3xt 2, 0t1sec tan3dxttdt2191dxx 1sectan3tanttdtt1sec3tdt1ln(sectan )3ttCt13x291x 21ln 391.3xxC56說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)

28、中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 57說明說明(2)(2) 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例例1111 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）解解21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251221ttdtt dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 58.1tx 說明說明(3)(3)當(dāng)

29、分母的次數(shù)較高時當(dāng)分母的次數(shù)較高時, 可采用可采用倒代換倒代換例例1212 求求dxxx )2(17解解令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17 72112ttdtt dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 59說明說明(4)(4) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時，時， 可采用令可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)為各根指數(shù)k, l, 的的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） ,klxx ntx n例例1313 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(62352

30、261tdtt21611dtt6(arctan )ttC666(arctan).xxC60練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分.11dxex 41.1dxx x 3.1xdxx61解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx62解解41.1dxx x 41(1)dxx x 令令tx1 ,12dttdx 2411111ttdtt（分母的階較高）（分母的階較高）341tdtt 44114 1dtt 4411(1)4 1d tt 41ln(1)4tC 411ln(1)

31、4Cx 633.1xdxx解解令令6tx ,65dttdx 31xdxx35261tt dtt8261tdtt821 161tdtt 4422(1)(1)1611ttdttt6422422(1)(1)(1)16611tttdtdttt642216 (1)61tttdtdtt75366266arctan75ttttt C67511666266266arctan75xxxxxC65基基本本積積分分表表(14)tanlncoslnsec;xdxxCxC (15)cotlnsinlncsc;xdxxCxC (16)secln(sectan );xdxxxC(17)cscln(csccot );xdxx

32、xC2211(18)arctan;xdxCaxaa662211(20)ln;2axdxCaxaax221(21)arcsin;xdxCaax22221(22)ln().dxxxaCxa2211(19)ln;2xadxCxaaxa67三、小結(jié)三、小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表(2)684-4 4-4 分部積分法分部積分法69分部積分法分部積分法 前面我們在復(fù)合函數(shù)微分法的基前面我們在復(fù)合函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上，得到了換元積分法。換元積分礎(chǔ)上，得到了換元積分法。換元積分法是積分的一種基本

33、方法。本節(jié)我們法是積分的一種基本方法。本節(jié)我們將介紹另一種基本積分方法將介紹另一種基本積分方法分部分部積分法，它是兩個函數(shù)乘積的微分法積分法，它是兩個函數(shù)乘積的微分法則的逆轉(zhuǎn)。則的逆轉(zhuǎn)。70問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容()uvdxuv dxu vdx71注：注：分部積分公式的特點：等式兩邊分部積分公式的特點：等式兩邊 u,v 互換位置互換位

34、置分部積分公式的作用：分部積分公式的作用： udv vdu容易求得容易求得利用分部積分公式利用分部積分公式化難為易化難為易例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解解sin,duxdx xdxdv xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,求得，求得，當(dāng)左邊的積分當(dāng)左邊的積分 不易不易而右邊的積分而右邊的積分212vx令令,cosxu 212cos()xdx22coscos22xxxdx72解解 令令,xu cosxdxdv xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 分部積分公式運用成

35、敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇分部積分公式運用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇u, v 一般來說，一般來說， u, v 選取的原則是：選取的原則是：（1）積分容易者選為）積分容易者選為v （2）求導(dǎo)簡單者選為）求導(dǎo)簡單者選為usinvx,dudx用來求用來求v用來求用來求du.cos xdxx73例例2 2 求積分求積分.xxe dx解解,ux,xe dxdvxxe dxxxxee dx.xxxeeC總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪就考慮設(shè)冪函數(shù)為函數(shù)為u=xxde,dudxxve74練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分sin d .xx x.2 dxexx75.dsinxxx dsin duxvx x令，解解sin d d( cos )xx xxx.sincosCxxxxxxxd coscosddux則，cosvx ，76.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次