09-10學年第一學期《高等代數》期末考試卷

1、特別說明：答案寫在答題紙上一、 單選題（32 分. 共 8 題, 每題 4 分）1) 設a1,a2 ,.,am,b1, b2 ,., bm 是 n 維線性空間的兩個向量組。若存在兩組不全為零的數k1, k2 ,., km 和l1, l2 ,., lm ，使得(k1 + l1)a1 + (k2 + l2 )a2 + . + (km + lm )am + (k1 - l1)b1 + (k2 - l2 )b2 +. + (km - lm )bm =0，則 。A) a1 + b1,a2 + b2 ,.,am + bm ,a1 - b1,a2 - b2 ,.,am - bm 線性無關； B) a1 +

2、b1,a2 + b2 ,.,am + bm ,a1 - b1,a2 - b2 ,.,am - bm 線性相關； C) a1,a2 ,.,am 和b1, b2 ,., bm 均線性無關；D) a1,a2 ,.,am 和b1, b2 ,., bm 均線性相關。2)設a1,a2 ,.,an , b ,g 是數域K 上線性空間 V 中的向量，r(a1,a2 ,.,an , b ) = r(a1,a2 ,.,an ) = r且r(a1,a2 ,.,an ,g ) = r +1，則對任意k Î K ， r(a1,a2 ,.,an , b ,g + k b ) = 。A) r ；B)r +1 ；C

3、) r + 2 ；D) 無法確定。3)要使a1 = (1, 0, 2)¢,a2 = (0,1, -1)¢ 都是線性方程組 AX = 0 的解，只要系數矩陣 A = 。A) (-2 1 1) ；B)æ 20ç 01-1ö1÷ ；èøæ -102 öæ 11-1öC) ç÷ ；D) ç 4-2-2 ÷ 。09-10 學年第一學期廈門大學高等代數期末試卷è 01-1øç÷èø

4、1; 011÷4) 下列關于線性方程組的敘述中，正確的有 個。 若 A 是 n 階方陣，則線性方程組 AX = b 有唯一解的充要條件是 A* X = g 有唯一解；æ A¢öæ 0 öb ¢1 若 A 是 n 階方陣，且線性方程組 AX = b 有解，則ç÷ X = ç ÷ 無解；èøè ø 若 A 是m ´ n 階矩陣，且線性方程組 AX = b 的解不唯一，則m < n ； 若 A 是m ´ n 階矩陣，且r( A

5、) = m ，則線性方程組 AX = b 必有解。A) 1；B) 2；C) 3；D) 4。5) 在以下的變換T 中，有 個是線性變換。 設a ¹ 0 為線性空間 V 中某固定向量， Tx = x + a （對任意 x ÎV）； 在線性空間 Kx 中， Tf (x) = f (x +1) （對任意 f (x) Î Kx ）； 設 A, B 為 n 階固定方陣， TX = AXB （對任意 X Î Kn´n ）； 設 A 為 n 階固定方陣， TX = AX - XA （對任意 X Î Kn´n ）。A) 1；B) 2；C) 3

6、；D) 4。6) 下列關于子空間的敘述中，正確的有 個。 設V 是線性空間， U 是V 的子空間，則存在唯一的V 的子空間U¢ ，使得V=U Å U¢ ； 設x1,x2 ,.,xn 是V 的一組基， U 是V 的子空間。若對任意1 £ i £ n ， xi Ï U ，則U=0 ； 設U1, U2 是V 的子空間，且dimU1 + dim U2 = dim V ，則V=U1 + U2 ； 設U1, U2 是V 的子空間，若U1 U U2 是V 的子空間，則必有U1 Í U2 或U1 Ê U2 。A) 1；B) 2；C

7、) 3；D) 4。7) 下列敘述中，不正確的是 。A) 若j 是V 到U 上的線性映射，則j 在V 和U 的任意不同基下的表示矩陣必相抵；B) 若j 是V 到U 上的線性映射，則j 在V 和U 的任意不同基下的表示矩陣必相似；C) 若j 是V 上的線性變換，則j 在V 的任意不同基下的表示矩陣必相抵；D) 設j 是V 上的線性變換，則j 在V 的任意不同基下的表示矩陣必相似。8) 設j 上V 上線性變換，x1,x2 ,.,xn 是V 的一組基，且由每個xi 生成的子空間 L(xi ) 都是j 的不變子空間，則j 在x1,x2 ,.,xn 下的表示矩陣 。A) 必可逆；B) 必為對角陣；C) 必

8、為上三角陣，但未必是對角陣；D) 必為下三角陣，但未必是對角陣。二、 填空題（32 分. 共 8 題,每題 4 分）1) 設向量組 I 的秩為r1 ，向量組 II 的秩為r2 。若向量組 I 的每個向量都可由向量組 II 線性表示，則r1與r2 的關系是 。ç 31 ÷2) 設 A = æ 10 ö ， W = B | BA = AB, B Î R 2´2 ，則 是W 的一組基。èø3) 設向量a , b ,g 線性無關，則當l, m 滿足 時， lb - a , mg - b ,a - g 也線性無關。124)

9、設n 階方陣 A 的伴隨矩陣 A* 非零，且x ,x 是非齊次線性方程組 AX = b 的兩個不同解，則相伴齊次線性方程組 AX = 0 的解空間維數是 。5) 設 A = (a1,a2 ,a3,a4 ) ，其中a2 ,a3,a4 線性無關，且a1 = 2a2 - a3 ， b = a1 + a2 + a3 + a4 ，則線性方程組 AX = b 的通解是 。6) 設x1,x2 ,.,xn ，h1,h2 ,.,hn是V 的兩組基，且從x1,x2 ,.,xn 到h1,h2 ,.,hn的過渡矩陣是P 。若j 是V 的線性變換，恰有j(hi ) = xi ，i = 1, 2,., n ，則j 在x1

10、,x2 ,.,xn 下的表示矩陣是 。7) 設x1,x2 ,x3 ，h1,h2分別是V 和U 的一組基，j 是V 到U 的線性映射，滿足j(x1) = h1 + 2h2 ，j(x2 ) = h2 ，j(x3 ) = h1 + 2h2 ，則Imj = ， Kerj = 。æ cosq-sinq ö2´1 8) 設0 < q < p ， A = ç sinqcosq÷ ，由 X a AX 定義了R上的線性變換j ，則j 的不變子èø空間是 。ì x1 - x2 = a1ïx - x = a

11、9; 232三、(10 分) 證明線性方程組íx3 - x4 = a3 有解的充要條件是a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0 ，并在有解ïx - x = aï 454時，求其所有解。ïî x5 - x1 = a5æ A1 ön´1四、(8 分) 設 A 是數域K 上n 階可逆矩陣，將 A 分塊為 A = ç A÷ 。證明： K是齊次線性方程組 A1X = 0 和 A2 X = 0 的兩個解空間V1 和V2 的直和。è 2 ø五、(8 分) 設j 是n 維線性空間V 的上的線性變換，滿足dim Kerj = r ，1 < r < n 。證明：（1） V 中存在n - r 個向量a1,a2 ,.,an-r ，使得j(a1),j(a2 ),.,j(an-r ) 線性無關；（2）存在V 上非恒等線性變換y ，使得yj = j 。六、(10 分) 設 A 是n ´ m 階實矩陣，其中m < n 。證明：（