CH1第2節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件

1、一、樣本空間一、樣本空間 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 三、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算三、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算 二、隨機(jī)事件的概念二、隨機(jī)事件的概念四、小結(jié)四、小結(jié) 第二節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件第二節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件 的集合的集合的所有可能結(jié)果所組成的所有可能結(jié)果所組成一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E 的的稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)E 記為記為 . S , , 稱(chēng)為稱(chēng)為的每個(gè)結(jié)果的每個(gè)結(jié)果即即樣本空間中的元素樣本空間中的元素E . 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) , 樣本空間樣本空間. S 現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具工具 .樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)e 實(shí)例實(shí)例1 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋

2、擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面、反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗(yàn)中必有在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn) .則樣本空間則樣本空間實(shí)例實(shí)例2 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).6, 5, 4, 3, 2, 12 S實(shí)例實(shí)例3 記錄某公共汽車(chē)站某日記錄某公共汽車(chē)站某日 上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù)上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù).30,1,2, 實(shí)例實(shí)例4 從一批燈泡中任取從一批燈泡中任取 一只一

3、只, 測(cè)試其壽命測(cè)試其壽命.40.t t .t的的壽壽命命為為燈燈其其中中泡泡實(shí)例實(shí)例5 記錄某城市記錄某城市120 急急 救電話臺(tái)一晝夜接救電話臺(tái)一晝夜接 到的呼喚次數(shù)到的呼喚次數(shù). .50,1, 2,. 2. 同一試驗(yàn)同一試驗(yàn) , 若試驗(yàn)?zāi)康牟煌粼囼?yàn)?zāi)康牟煌?則對(duì)應(yīng)的樣則對(duì)應(yīng)的樣 本空本空 間也不同間也不同. 例如例如 對(duì)于同一試驗(yàn)對(duì)于同一試驗(yàn): “將一枚硬幣拋擲三將一枚硬幣拋擲三次次”. 若觀察正面若觀察正面 H、反面、反面 T 出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為則樣本空間為. 3, 2, 1, 0 S.,TTTT

4、HTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS 說(shuō)明說(shuō)明 1. 試驗(yàn)不同試驗(yàn)不同, 對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.說(shuō)明說(shuō)明 3. 建立樣本空間建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn) 象的數(shù)學(xué)模型象的數(shù)學(xué)模型. 因此因此 , 一個(gè)樣本空間可以一個(gè)樣本空間可以 概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題.例如例如 只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面正面或出現(xiàn)或出現(xiàn)反面反面的的模型模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格合格與與不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中

5、又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)有人排隊(duì)與與無(wú)人排隊(duì)無(wú)人排隊(duì)的的模型等模型等.,THS 所以在具體問(wèn)題的研究所以在具體問(wèn)題的研究中中 , 描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間就是建立樣本空間. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 S 的的子集子集稱(chēng)稱(chēng) 為為 E 的隨機(jī)事件的隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱(chēng)事件簡(jiǎn)稱(chēng)事件.通常以通常以大寫(xiě)英文字母大寫(xiě)英文字母 A, B, C, 來(lái)表示事件。來(lái)表示事件。試驗(yàn)中試驗(yàn)中,骰子骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”, ,“出現(xiàn)出現(xiàn)6點(diǎn)點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于點(diǎn)數(shù)不大于4”, “點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機(jī)事件等都為隨機(jī)事件.

6、實(shí)例實(shí)例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).1. 基本概念基本概念二、隨機(jī)事件的概念二、隨機(jī)事件的概念實(shí)例實(shí)例 上述試驗(yàn)中上述試驗(yàn)中 “點(diǎn)數(shù)不大于點(diǎn)數(shù)不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果.不可能事件不可能事件 隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果. 實(shí)例實(shí)例 上述試驗(yàn)中上述試驗(yàn)中 “點(diǎn)數(shù)大于點(diǎn)數(shù)大于6” 就是不可能事件就是不可能事件.實(shí)例實(shí)例 “出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”, , “出現(xiàn)出現(xiàn)6點(diǎn)點(diǎn)”.基本事件基本事件: 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.(相

7、對(duì)于觀察目的不可再分解的事件相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件) （1）當(dāng)且僅當(dāng)集合）當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱(chēng)稱(chēng)事件事件A發(fā)生發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) . : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 事件事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn) 1,3,5 B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)中的某一個(gè)出現(xiàn)出現(xiàn).2. 幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明(2) (2) 隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間, 樣樣

8、本空間的子集就是隨機(jī)事件本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間樣本空間子集子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件兩個(gè)特殊事件兩個(gè)特殊事件.), 2 , 1( , , ,的的子子集集是是而而的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)SkABASEk 1. 包含關(guān)系包含關(guān)系若事件若事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn), 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) ,則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 B 包含事件包含事件 A,記作記作.BAAB 或或?qū)嵗龑?shí)例 “長(zhǎng)度不合格長(zhǎng)度不合格” 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”所以所以“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格” 包含包含“

9、長(zhǎng)度不合格長(zhǎng)度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A.SBA三、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算三、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算 2. A等于等于B 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B， 而且事件而且事件B 包含事件包含事件 A，則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A 與事件與事件 B 相等相等，記作記作 A=B.3. 事件事件 A 與與 B 的并的并(和事件和事件). 和和事事件件的的事事件件與與稱(chēng)稱(chēng)為為事事件件或或事事件件BABxAxxBA 實(shí)例實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定直徑是否合格所決定,因此因此 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”是是“長(zhǎng)度長(zhǎng)度不合格不合格”

10、與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.圖示事件圖示事件 A 與與 B 的并的并. SBABA; , , , 211的的和和事事件件個(gè)個(gè)事事件件為為稱(chēng)稱(chēng)推推廣廣nknkAAAnA 4. 事件事件 A 與與 B 的交的交 (積事件積事件).ABBA或或積事件也可記作積事件也可記作 . , ,211的和事件的和事件為可列個(gè)事件為可列個(gè)事件稱(chēng)稱(chēng)AAAkk . 積事件積事件的的與事件與事件稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件且且事件事件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B 的積的積事件事件.SABAB實(shí)例實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度 與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所

11、決定,因此因此“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“長(zhǎng)度合格長(zhǎng)度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件.和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì),AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A; , , ,211的的積積事事件件個(gè)個(gè)事事件件為為稱(chēng)稱(chēng)推推廣廣nnkkAAAnA . , ,211的積事件的積事件為可列個(gè)事件為可列個(gè)事件稱(chēng)稱(chēng)AAAkk 5. 事件事件 A 與與 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn), B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A與與B互不相互不相容容, 即

12、即. ABBA實(shí)例實(shí)例 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面出現(xiàn)花面” 與與 “出現(xiàn)字面出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個(gè)事件是互不相容的兩個(gè)事件.“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”圖示圖示 A 與與 B 互斥互斥.SAB互斥互斥實(shí)例實(shí)例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 6. 事件事件 A 與與 B 的差的差 由事件由事件 A 出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的不出現(xiàn)所組成的事件稱(chēng)為事件事件稱(chēng)為事件 A 與與 B 的差的差. 記作記作 A- - B.圖示圖示 A 與與 B 的差的差.SABSABAB AB BA BA 實(shí)例實(shí)例 “長(zhǎng)度合格但直

13、徑不合格長(zhǎng)度合格但直徑不合格” 是是 “長(zhǎng)度合長(zhǎng)度合格格” 與與 “直徑合格直徑合格” 的差的差.ABABABA 設(shè)設(shè) A 表示表示“事件事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn)”, 則則“事件事件 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn)”稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件 A 的的對(duì)立事件對(duì)立事件或或逆事件逆事件. 記作記作.A實(shí)例實(shí)例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立.SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆,則有則有. ABSBA且且A7. 事件事件 A 的對(duì)立事件的對(duì)立事件對(duì)立對(duì)立對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA A、B 對(duì)立對(duì)立A、B 互斥互斥 ABSBA且

14、且 AB互互 斥斥對(duì)對(duì) 立立事件間的運(yùn)算規(guī)律事件間的運(yùn)算規(guī)律.,)1(BAABABBA 交交換換律律),()()2(CBACBA 結(jié)合律結(jié)合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律.,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德則有則有為事件為事件設(shè)設(shè) ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 例例1 設(shè)設(shè)A,B,C 表示三個(gè)隨機(jī)事件表示三個(gè)隨機(jī)事件, ,試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來(lái)表示出來(lái). .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn)都出現(xiàn), C 不

15、出現(xiàn)不出現(xiàn);(3) 三個(gè)事件都出現(xiàn)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4) 三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);(7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(8) 三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9) A, B 至少有一個(gè)出現(xiàn)至少有一個(gè)出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(10) A, B, C 中恰好有兩個(gè)出現(xiàn)中恰好有兩個(gè)出現(xiàn).解解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBA

16、CABCBACBACBACBA (1)沒(méi)有一個(gè)是次品沒(méi)有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品恰好有三個(gè)是次品; (6)至多有一個(gè)是次品至多有一個(gè)是次品.解解;)1(4321AAAA:, )4, 3, 2, 1(,示示下下列列各各事事件件表表試試用用個(gè)個(gè)零零件件是是正正品品產(chǎn)產(chǎn)的的第第表表示示他他生生零零件件設(shè)設(shè)一一個(gè)個(gè)工工人人生生產(chǎn)產(chǎn)了了四四個(gè)個(gè)iiAiiA 2例例4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAA

17、AAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA ;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA ; )5(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA .)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 例例3 若用事件若用事件A表示表示“甲產(chǎn)品暢銷(xiāo)，乙產(chǎn)品滯甲產(chǎn)品暢銷(xiāo)，乙產(chǎn)品滯銷(xiāo)銷(xiāo)”，則事件，則事件

18、表示（表示（ ）。）。 A A甲產(chǎn)品滯銷(xiāo)，乙產(chǎn)品暢銷(xiāo)甲產(chǎn)品滯銷(xiāo)，乙產(chǎn)品暢銷(xiāo); B. 甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷(xiāo)甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷(xiāo); . 甲產(chǎn)品滯銷(xiāo)甲產(chǎn)品滯銷(xiāo); 甲產(chǎn)品滯銷(xiāo)或乙產(chǎn)品暢銷(xiāo)甲產(chǎn)品滯銷(xiāo)或乙產(chǎn)品暢銷(xiāo). ABABABABA BA B又又若若：A BA B故故即即：， ：由（由（1 1）（）（2 2）知：）知：A A與與B B互為對(duì)立事件?；閷?duì)立事件。 （2）例例4、若，則若，則A A與與B B互為對(duì)立事件。互為對(duì)立事件。 AB AB證明：如果證明：如果 AB ABx ABx AB且而而,xABxA x B,xABxA xBxA xB矛盾，從而：矛盾，從而： AB（1）隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間樣本空間子集子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件 基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件四、小結(jié)四、小結(jié)1. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系2. 概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記號(hào)記號(hào)概率論概率論集合論集合論S樣本空間，必然事件樣本空間，必