第23講銳角三角函數

1、第二十三講銳角三角函數一、特殊角的三角函數值一、特殊角的三角函數值: :303045456060sinsin_coscos_tantan_122232322212331 13二、直角三角形中的邊角關系二、直角三角形中的邊角關系(1)(1)三邊之間的關系三邊之間的關系:_.:_.(2)(2)兩銳角之間的關系兩銳角之間的關系:_.:_.(3)(3)邊角之間的關邊角之間的關系系:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_,tanA=_,tanB=_.:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_,tanA=_,tanB=_.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2A+B=90A+B=90acb

2、cabba三、解直角三角形的應用三、解直角三角形的應用1.1.仰角和俯角仰角和俯角: :如圖如圖1,1,在同一鉛垂面內視線和水平線間的夾角在同一鉛垂面內視線和水平線間的夾角, ,視線在水平線視線在水平線_的叫做仰角的叫做仰角, ,在水平線在水平線_的叫做俯角的叫做俯角. .圖圖1 1上方上方下方下方2.2.坡度坡度( (坡比坡比) )和坡角和坡角: :如圖如圖2,2,通常把坡面的鉛直高度通常把坡面的鉛直高度h h和和_之比叫做坡度之比叫做坡度( (或叫做坡比或叫做坡比),),用字母用字母_表示表示, ,即即i=_;i=_;坡面與坡面與_的夾角叫做坡角的夾角叫做坡角, ,記作記作.所以所以i=_

3、=tan.i=_=tan.3.3.方位角方位角: :指北或指南的方向線與目標方向所成的小于指北或指南的方向線與目標方向所成的小于9090的角叫做方位角的角叫做方位角. .圖圖2 2水平水平寬度寬度li ihl水平面水平面hl【思維診斷思維診斷】( (打打“”“”或或“”)”)1 1銳角三角函數是一個比值銳角三角函數是一個比值.( ).( )2 2銳角三角函數中，角度是自變量銳角三角函數中，角度是自變量.( ).( )3 3直角三角形各邊長擴大直角三角形各邊長擴大3 3倍，其正弦值也擴大倍，其正弦值也擴大3 3倍倍.( ).( )4 4由由cos cos 得銳角得銳角6060. ( ). ( )

4、12，5 5銳角銳角的正弦值隨角度的增大而增大的正弦值隨角度的增大而增大.( ).( )6 6銳角銳角的余弦值隨角度的增大而增大的余弦值隨角度的增大而增大.( ).( )7 7坡比是坡面的水平寬度與鉛直高度之比坡比是坡面的水平寬度與鉛直高度之比.( ).( )8 8解直角三角形時，必須有一個條件是邊解直角三角形時，必須有一個條件是邊.( ).( )熱點考向一熱點考向一 銳角三角函數概念銳角三角函數概念【例例1 1】(2014(2014巴中中考巴中中考) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,sin A= ,sin A= 則則tan Btan B的值為的值為( )( )513，12

5、51312A.B.C.D.1312125【思路點撥思路點撥】先由先由sin Asin A 表示出表示出RtRtABCABC中中A A的對邊與斜的對邊與斜邊長，再由勾股定理求出另一條直角邊長，利用銳角三角函數邊長，再由勾股定理求出另一條直角邊長，利用銳角三角函數的定義求解的定義求解. .513【自主解答自主解答】選選D.sin A= D.sin A= 設設BC=5xBC=5x，AB=13xAB=13x，513，22AC12ACABAC12xtan B.BC5則，故【規(guī)律方法規(guī)律方法】根據定義求三角函數值的方法根據定義求三角函數值的方法1.1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊分清直角三角形中的斜邊與

6、直角邊. .2.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k(k(有時也可以設為有時也可以設為1)1)，在求三角函數值的過程中約去，在求三角函數值的過程中約去k.k.3.3.正確應用勾股定理求第三條邊長正確應用勾股定理求第三條邊長4.4.應用銳角三角函數定義，求出三角函數值應用銳角三角函數定義，求出三角函數值 【真題專練真題專練】1.(20141.(2014湖州中考湖州中考) )如圖，已知如圖，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=AC=4 4，tan A= tan A= 則則BCBC的長是的長是( )( )A A

7、2 B2 B8 8C C2 D.42 D.412，55【解析解析】選選A.A.因為因為所以所以 解得解得BC=2.BC=2.BCBC1tan A,tan A,AC42BC142，2.(20142.(2014威海中考威海中考) )如圖，在下列網格中，如圖，在下列網格中，小正方形的邊長均為小正方形的邊長均為1 1，點，點A A，B B，O O都在格都在格點上，則點上，則AOBAOB的正弦值是的正弦值是( )( )3 101110ABCD102310【解析解析】選選D.D.作作ACOBACOB于點于點C C，22AC2AO24則，AC210202 5,sin AOB.AO102 5則【變式訓練變式訓

8、練】如圖如圖,AOB,AOB是放置在正方形網格中的一個角是放置在正方形網格中的一個角, ,則則cosAOBcosAOB的值是的值是. . 【解析解析】連接連接ACAC由網格圖知由網格圖知AOCAOC是是等腰直角三角形，設小正方形的邊長等腰直角三角形，設小正方形的邊長為為1 1，則，則cos AOBcos AOB答案：答案：OC5OA10，OC52OA210223.(20143.(2014汕尾中考汕尾中考) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，若，若則則cos Bcos B的值是的值是( )( )3sin A5，4334A.B.C.D.5543【解析解析】選選B.B.在在RtRt

9、ABCABC中，中，C=90C=90, , 所以所以BC3sin A,AB5BC3cos B.AB5熱點考向二熱點考向二 特殊角三角函數值的計算特殊角三角函數值的計算【例例2 2】(2013(2013重慶中考重慶中考) )計算計算6tan 456tan 45-2cos 60-2cos 60的結果的結果是是( )( )A.4 B.4 C.5 D.5A.4 B.4 C.5 D.5【思路點撥思路點撥】將將cos 60cos 60，tan 45tan 45的值分別代入計算，即可的值分別代入計算，即可得出答案得出答案33【自主解答自主解答】選選D.6tan 45D.6tan 45-2cos 60-2co

10、s 60=6=61-21-2 =6-1=5. =6-1=5.12【規(guī)律方法規(guī)律方法】熟記特殊角的三角函數值的兩種方法熟記特殊角的三角函數值的兩種方法1.1.按值的變化：按值的變化：3030，4545,60,60角的正余弦的分母都是角的正余弦的分母都是2,2,正正弦的分子分別是弦的分子分別是 余弦的分子分別是余弦的分子分別是 正切分別正切分別是是2.2.特殊值法：特殊值法：(1)(1)在直角三角形中，設在直角三角形中，設3030角所對的直角邊為角所對的直角邊為1,1,那么三邊長分別為那么三邊長分別為1, 2.(2)1, 2.(2)在直角三角形中，設在直角三角形中，設4545角所對角所對的直角邊為

11、的直角邊為1,1,那么三邊長分別為那么三邊長分別為 再根據銳角三角函數的再根據銳角三角函數的定義推導即可定義推導即可. .1, 2, 3,3, 2,1,3,1, 3.33,1,1, 2,【真題專練真題專練】1.(20141.(2014天津中考天津中考)cos 60)cos 60的值等于的值等于( )( )【解析解析】選選A.cos 60A.cos 60= =133A.B.C.D. 32321.22.(20142.(2014涼山州中考涼山州中考) )在在ABCABC中，若中，若|cos A- |+(1-tan B)|cos A- |+(1-tan B)2 2=0,=0,則則C C的度數是的度數是

12、( )( )A.45A.45 B.60 B.60 C.75 C.75 D.105 D.105【解析解析】選選C.C.由題意得，由題意得，cos A- =0,1-tan B=0cos A- =0,1-tan B=0，cos A= ,cos A= ,tan B=1,A=60tan B=1,A=60,B=45,B=45, ,故故C=180C=180-A-B=75-A-B=75. .121212【方法技巧方法技巧】銳角三角函數值的應用銳角三角函數值的應用(1)(1)已知特殊角，求相應角的三角函數值已知特殊角，求相應角的三角函數值. .(2)(2)根據特殊角的三角函數值，求相應銳角的度數根據特殊角的三角

13、函數值，求相應銳角的度數(3)15(3)15，7575角的三角函數值，可通過構造含角的三角函數值，可通過構造含3030角或角或4545角的直角三角形求出角的直角三角形求出3.(20143.(2014白銀中考白銀中考) )ABCABC中，中，A A，B B都是銳角，若都是銳角，若sin Asin A 則則C=_.C=_.【解析解析】因為因為 所以所以A=60A=60，B=60B=60，所以所以C=60C=60. .答案：答案：606031cos B22，31sin A,cos B22，4.(20134.(2013齊齊哈爾中考齊齊哈爾中考) )請運用你喜歡的方法求請運用你喜歡的方法求tan 75t

14、an 75_【解析解析】如圖，作如圖，作BCDBCD，使，使C C9090，DBCDBC3030，延長延長CBCB到到A A，使，使ABABBDBD，連接，連接ADADABABBDBD，A AADBADBDBCDBC30302A2A，A A1515，ADCADC7575設設CDCDx(x0)x(x0)，則，則ABABBDBD2CD2CD2x2x，答案：答案：2 2BC3CD3x，ACACABBC23 xtan ADCtan 75CD23 x23x ， 35.(20145.(2014賀州中考賀州中考) )計算：計算：【解析解析】原式原式= =2 01401( 32)1sin 45 .2 221

15、12.22 熱點考向三熱點考向三 解直角三角形解直角三角形【例例3 3】(2013(2013常德中考常德中考) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC邊上的高，邊上的高，AEAE是是BCBC邊上的中線，邊上的中線，C C4545，sin Bsin BADAD1 1(1)(1)求求BCBC的長的長. .(2)(2)求求tan DAEtan DAE的值的值13，【解題探究解題探究】(1)(1)求求BCBC的長的兩個思考的長的兩個思考: :圖中有直角三角形嗎圖中有直角三角形嗎? ?若有若有, ,請寫出來請寫出來. .提示提示: :圖中的直角三角形分別是圖中的直角三角形分別是RtR

16、tABD,RtABD,RtADC,RtADC,RtADE.ADE.能求出能求出BD,DCBD,DC的長嗎的長嗎? ?提示提示: :分別在分別在RtRtABD,RtABD,RtADCADC中中, ,求求BD,DCBD,DC的長的長. .(2)(2)求求tanDAEtanDAE值的兩個思考值的兩個思考: :DAEDAE在哪個直角三角形中在哪個直角三角形中? ?提示提示: :在在RtRtAEDAED中中. . 如何求如何求DAEDAE的對邊的對邊DEDE的長的長? ?提示提示: :先由先由AEAE是是BCBC邊上的中線求出邊上的中線求出CECE的長的長, ,再由再由DE=CE-CDDE=CE-CD求

17、得求得DEDE的長的長. . 【嘗試解答嘗試解答】(1)AD(1)AD是是BCBC邊上的高，邊上的高，ADBADBADCADC9090在在RtRtABDABD中，中，sin Bsin B ADAD1 1，ABAB3 3BDBD在在RtRtADCADC中，中，C C4545，CDCDADAD1 1BCBCBDBDCDCDAD1AB3 ，2222ABAD312 2 2 2 1(2)AE(2)AE是是BCBC邊上的中線，邊上的中線，112 2 1DEBCDC2 2 112222 2 1DE2 2 12Rt ADEtan DAEAD12在中，【規(guī)律方法規(guī)律方法】解直角三角形的三點注意解直角三角形的三點

18、注意1.1.解直角三角形時解直角三角形時, ,要盡量用到已知條件的數據要盡量用到已知條件的數據, ,防止防止“積累誤積累誤差差”. .2.2.遵守遵守“有弦有弦( (斜邊斜邊) )用弦用弦( (正弦、余弦正弦、余弦),),無弦用切無弦用切( (正切正切),),寧乘寧乘勿除勿除”的原則的原則, ,提高解題的正確性提高解題的正確性. .3.3.必要時必要時, ,畫出圖形幫助分析畫出圖形幫助分析. .【真題專練真題專練】1.(20141.(2014孝感中考孝感中考) )如圖如圖, ,在在 ABCDABCD中中, ,對角線對角線AC,BDAC,BD相交成的銳相交成的銳角為角為,若若AC=a,BD=b,

19、AC=a,BD=b,則則 ABCDABCD的面積是的面積是( () )A. absinA. absin B.absinB.absinC.abcos D. abcosC.abcos D. abcos1212【解析解析】選選A.A.作作DEACDEAC，垂足為，垂足為E E，四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，BD=bBD=b，ODCODC11ODbDEOD sin bsin 2211a11SOC DEbsin absin ,222281ABCD4Sabsin .2 ，的面積2.(20142.(2014蘇州中考蘇州中考) )如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC=5,A

20、B=AC=5,BC=8.BC=8.若若BPC= BAC,BPC= BAC,則則tanBPC=tanBPC=. .12【解析解析】如圖所示，過點如圖所示，過點A A作作AEBCAEBC于點于點E.E.AB=AC=5,AB=AC=5,BE= BC= BE= BC= 8=4,8=4,BAE= BAC,BAE= BAC,BPC= BAC,BPC=BAE.BPC= BAC,BPC=BAE.在在RtRtBAEBAE中，由勾股定理得中，由勾股定理得答案：答案：121212122222AEABBE543,BE4tan BPCtan BAE.AE3433.(20133.(2013荊門中考荊門中考) )如圖如圖,

21、 ,在在RtRtABCABC中中, ,ACB=90ACB=90,D,D是是ABAB的中點的中點, ,過過D D點作點作ABAB的垂線的垂線交交ACAC于點于點E,BC=6,sinA= ,E,BC=6,sinA= ,則則DE=DE=. .35【解析解析】在在RtRtABCABC中，中，C C9090，BCBC6 6，ABAB1010，D D是是ABAB的中點，的中點，ADAD ABAB5 5ADEADEACBACB，答案：答案：3sin A5 ，2222ACABBC1068 12DEADDE515DEBCAC684，即，解得1544.(20144.(2014重慶中考重慶中考) )如圖，如圖，AB

22、CABC中，中，ADBCADBC，垂足為點垂足為點D D，若，若BC=14BC=14，AD=12AD=12，tanBAD=tanBAD=求求sin Csin C的值的值34，【解析解析】ADBC,tanBAD=ADBC,tanBAD=tanBAD= AD=12,tanBAD= AD=12,BD=9,CD=BC-BD=14-9=5.BD=9,CD=BC-BD=14-9=5.在在RtRtADCADC中，由勾股定理中，由勾股定理, ,得得BD.AD3,42222ACADCD12513,AD12sin C.AC13熱點考向四熱點考向四 解直角三角形的應用解直角三角形的應用【例例4 4】(2014(20

23、14南充中考南充中考) )馬航馬航MH370MH370失聯后失聯后, ,我國政府積極參與我國政府積極參與搜救搜救. .某日某日, ,我兩艘專業(yè)救助船我兩艘專業(yè)救助船A A，B B同時收到有關可疑漂浮物的同時收到有關可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物訊息，可疑漂浮物P P在救助船在救助船A A的北偏東的北偏東53.5053.50方向上，在救助方向上，在救助船船B B的西北方向上，船的西北方向上，船B B在船在船A A正東方向正東方向140140海里處海里處.(.(參考數據：參考數據：sin 36.5sin 36.50.6,cos 36.50.6,cos 36.50.8,tan 36.50.8,tan

24、36.50.75).0.75).(1)(1)求可疑漂浮物求可疑漂浮物P P到到A A，B B兩船所在直線的距離兩船所在直線的距離. .(2)(2)若救助船若救助船A A、救助船、救助船B B分別以分別以4040海里海里/ /時，時，3030海里海里/ /時的速度時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達同時出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達P P處處. .【思路點撥思路點撥】(1)(1)過點過點P P作作PEABPEAB于點于點E,E,在在RtRtAPEAPE中求中求PEPE即可即可. .(2)(2)在在RtRtBPEBPE中中, ,求出求出BP,BP,分別

25、計算出兩艘船需要的時間分別計算出兩艘船需要的時間, ,即可即可作出判斷作出判斷. .【自主解答自主解答】(1)(1)如圖所示，過點如圖所示，過點P P作作PEABPEAB于點于點E.E.由題意，得由題意，得PAE=36.5PAE=36.5，PBA=45PBA=45，設設PE=xPE=x海里，則海里，則BE=PE=xBE=PE=x海里海里. .AB=140AB=140海里，海里，AE=(140-x)AE=(140-x)海里海里. .在在RtRtPAEPAE中，中，解得解得x=60 x=60海里海里. .所以可疑漂浮物所以可疑漂浮物P P到到A A，B B兩船所在直線的距離為兩船所在直線的距離為6

26、060海里海里. .PExtan PAE0.75,AE140 x，即(2)(2)在在RtRtPBEPBE中，中，PE=60PE=60海里，海里，PBE=45PBE=45, ,則則BP= 84.8(BP= 84.8(海里海里),),B B船需要的時間為：船需要的時間為： 2.83(2.83(小時小時),),在在RtRtPAEPAE中，中， =sinPAE=sinPAE，AP=PEAP=PEsinPAE=60sinPAE=600.6=100(0.6=100(海里海里),),AA船需要的時間為船需要的時間為:100:10040=2.5.2.8340=2.5.2.832.5,A2.5,A船先到達船先到

27、達. .2PE60 284.830PEAP【規(guī)律方法規(guī)律方法】直角三角形解決實際問題的方法直角三角形解決實際問題的方法1.1.利用直角三角形或構造直角三角形解決實際問題利用直角三角形或構造直角三角形解決實際問題, ,一般先把一般先把實際問題轉化為數學問題實際問題轉化為數學問題, ,若題中無直角三角形若題中無直角三角形, ,需要添加輔助需要添加輔助線線( (如作三角形的高等如作三角形的高等) )構造直角三角形構造直角三角形, ,再利用解直角三角形再利用解直角三角形的知識求解的知識求解. .2.2.解直角三角形時結合圖形分清圖形中哪個三角形是直角三角解直角三角形時結合圖形分清圖形中哪個三角形是直角

28、三角形形, ,哪條邊是角的對邊、鄰邊、斜邊哪條邊是角的對邊、鄰邊、斜邊. .此外正確理解俯角、仰角此外正確理解俯角、仰角等名詞術語是解答此類題目的前提等名詞術語是解答此類題目的前提. .【真題專練真題專練】1.(20141.(2014臺州中考臺州中考) )如圖如圖, ,某翼裝飛行運動員從離水平地面高某翼裝飛行運動員從離水平地面高AC=500mAC=500m的的A A處出發(fā)處出發(fā), ,沿著俯角為沿著俯角為1515的方向的方向, ,直線滑行直線滑行16001600米到米到達達D D點點, ,然后打開降落傘以然后打開降落傘以7575的俯角降落到地面上的的俯角降落到地面上的B B點點, ,求他求他飛行

29、的水平距離飛行的水平距離BC(BC(結果精確到結果精確到1m).(1m).(參考數據參考數據:sin15:sin15 0.26,cos150.26,cos150.97,tan150.97,tan150.27)0.27)【解析解析】過點過點D D作作DEACDEAC，作，作DFBCDFBC，垂足分別為，垂足分別為E E，F.F.ACBCACBC，四邊形四邊形ECFDECFD為矩形，為矩形，EC=DF.EC=DF.在在RtRtADEADE中，中，ADE=15ADE=15，AD=1 600AD=1 600，AE=ADsinADE=1 600sin 15AE=ADsinADE=1 600sin 15，

30、DE=ADcosADE=1 600cos 15DE=ADcosADE=1 600cos 15. .EC=AC-AEEC=AC-AE，DF=500-1 600sin 15DF=500-1 600sin 15. .在在RtRtDBFDBF中，中，BF=DFtanFDB=ECtan 15BF=DFtanFDB=ECtan 15. .BC=CF+BF=1 600cos 15BC=CF+BF=1 600cos 15+(500-1 600sin 15+(500-1 600sin 15)tan 15)tan 151 575.1 575.答：運動員水平飛行的距離為答：運動員水平飛行的距離為1 5751 575

31、米米. .2.(20142.(2014聊城中考聊城中考) )美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過, ,沿沿河兩岸的濱河大道和風景帶成為我市的一道新景觀河兩岸的濱河大道和風景帶成為我市的一道新景觀. .在數學課在數學課外實踐活動中外實踐活動中, ,小亮在河西岸濱河大道一段小亮在河西岸濱河大道一段ACAC上的上的A,BA,B兩點處兩點處, ,利用測角儀分別對東岸的觀景臺利用測角儀分別對東岸的觀景臺D D進行了測量進行了測量, ,分別測得分別測得DAC=60DAC=60,DBC=75,DBC=75, ,又已知又已知AB=100AB=100米米, ,求觀景臺求觀景臺D D到

32、徒駭河到徒駭河西岸西岸ACAC的距離約為多少米的距離約為多少米( (精確到精確到1 1米米).(tan60).(tan601.73, 1.73, tan75tan753.73)3.73)【解析解析】作作DFACDFAC，垂足為點，垂足為點F F，設，設DF=h.DF=h.在在RtRtDFADFA中，中，即觀景臺即觀景臺D D到徒駭河西岸到徒駭河西岸ACAC的距離約為的距離約為323323米米. .DFtan DAF.FAhhhFA.tan DAFtan 601.73DFRt DFBtan DBF,FBhhhhhFB.FAFB100.tan DBFtan 753.731.733.731.73 3

33、.73 100h323.2在中，解得米命題新視角命題新視角銳角三角函數的閱讀理解題銳角三角函數的閱讀理解題【例例】(2014(2014遂寧中考遂寧中考) )如圖如圖, ,根據圖中數據完成填空根據圖中數據完成填空, ,再按再按要求答題要求答題: :sinsin2 2A A1 1+sin+sin2 2B B1 1= =;sin;sin2 2A A2 2+sin+sin2 2B B2 2= =; ;sinsin2 2A A3 3+sin+sin2 2B B3 3= =. .(1)(1)觀察上述等式觀察上述等式, ,猜想猜想: :在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, ,都有都有sinsi

34、n2 2A+ A+ sinsin2 2B=B=. .(2)(2)如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C的對邊分別的對邊分別是是a,b,c,a,b,c,利用三角函數的定義和勾股定理利用三角函數的定義和勾股定理, ,證明你的猜想證明你的猜想. .(3)(3)已知已知:A+B=90:A+B=90, ,且且sinA= sinA= 求求sinB.sinB.513，【審題視點審題視點】創(chuàng)創(chuàng)新新點點(1)(1)以閱讀理解題的形式出現以閱讀理解題的形式出現(2)(2)綜合運用銳角三角函數概念、特殊角的三角函綜合運用銳角三角函數概念、特殊角的三角函數值、解直角三角

35、形等知識數值、解直角三角形等知識切切入入點點第第(1)(1)題通過類比得到題通過類比得到sinsin2 2A+sinA+sin2 2B=1.B=1.第第(2)(2)題題, ,銳角三角函數的定義銳角三角函數的定義求求sinA,cosAsinA,cosA計計算算sinsin2 2A+cosA+cos2 2AA結論結論. .第第(3)(3)題題,sin,sin2 2A+sinA+sin2 2B=1sinB= B=1sinB= 計算得出結果計算得出結果21sin A【自主解答自主解答】(1)1.(1)1.(2)(2)在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90. . sinsin2 2A+sinA

36、+sin2 2B=B=ADB=90ADB=90，BDBD2 2+AD+AD2 2=AB=AB2 2，sinsin2 2A+cosA+cos2 2A=1.A=1.(3) sin(3) sin2 2A+sinA+sin2 2B=1B=1，absin Asin Bcc，222abc，5sin A13，2512sin B1 ().1313【規(guī)律方法規(guī)律方法】銳角三角函數中的幾個重要關系式銳角三角函數中的幾個重要關系式1.1.若若A A為銳角，則有為銳角，則有sin(90sin(90A)=cos AA)=cos A，cos(90cos(90A)A) =sin A. =sin A.2.2.平方關系：同一個

37、角的正弦和余弦的平方和等于平方關系：同一個角的正弦和余弦的平方和等于1 1，即，即sinsin2 2A+cosA+cos2 2A=1. A=1. 3.3.正余弦與正切之間的關系：一個角的正切值等于這個角的正余弦與正切之間的關系：一個角的正切值等于這個角的正弦值與余弦值的比，即正弦值與余弦值的比，即 或或sin A=tan Acos A.sin A=tan Acos A.4.4.正切之間的關系：正切之間的關系：tan Atan B=1(A+B=90tan Atan B=1(A+B=90).).sin Atan Acos A【真題專練真題專練】1.(20141.(2014宜賓中考宜賓中考) )規(guī)定

38、規(guī)定sin(-x)=-sinxsin(-x)=-sinx，cos(-x)=cos xcos(-x)=cos x，sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin ysin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y，據此判斷下列等式成，據此判斷下列等式成立的是立的是_(_(寫出所有正確的序號寫出所有正確的序號).).cos(-60cos(-60)= )= sin 75sin 75= = sin 2x=sin 2x=2sin xcos x2sin xcos x；sin(x-y)=sin xcos y-cos xsin y.sin(x-y)=sin xcos y-cos xsin

39、 y.12 ；624；【解析解析】cos(-60cos(-60)=cos 60)=cos 60= = 命題錯誤；命題錯誤；sin 75sin 75=sin(30=sin(30+45+45)=sin 30)=sin 30cos45cos45+cos 30+cos 30sin 45sin 45= = 故命題正確故命題正確. .sin 2x=sin xcos x+cos xsin x=2sin xcos xsin 2x=sin xcos x+cos xsin x=2sin xcos x，故命題正確；故命題正確；sin(x-y)=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)=sinxcos ysin

40、(x-y)=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)=sinxcos y-cos xsin y-cos xsin y，故命題正確，故命題正確答案：答案：12，12326222224，2.(20132.(2013湛江中考湛江中考) )閱讀下面的材料：閱讀下面的材料：先完成閱讀填空，再按要求答題：先完成閱讀填空，再按要求答題： 則則sin sin 2 23030cos cos 2 23030=_=_； 則則sin sin 2 24545cos cos 2 24545=_=_； 則則sin sin 2 26060cos cos 2 26060=_=_觀察上述等式，猜想：對任意銳角觀察上述等式，猜想：對任意銳角A A，都有，都有si