行列式的解法技巧及應(yīng)用 論文

1、線 性 代 數(shù) 論 文 題目： 行列式的解法技巧及應(yīng)用 學(xué) 院：資源與環(huán)境學(xué)院 專 業(yè)：土木工程（巖土及地下建筑方向） 姓 名：梁 俊 龍 學(xué) 號(hào)：201100611 指導(dǎo)教師：程 鵬華北水利水電大學(xué)2012年 10月 20 日目 錄1 行列式的定義和性質(zhì).31.1 行列式的定義.41.2 行列式的性質(zhì).42 求解行列式的技巧.62.1 定義法.62.2 化三角形法.72.3 析因法.82.4 連加法.102.5 按行按列展開（降階法）.112.6 遞推法.122.7 數(shù)學(xué)歸納法.132.8 加邊法（升階法）.142.9 拆項(xiàng)法.162.10 拉普拉斯法.182.11 利用范德蒙行列式法.19

2、3 行列式的應(yīng)用.203.1 行列式在線性方程組中的應(yīng)用.213.2 行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用.223.2.1 用行列式分解因式.223.2.2 用行列式證明不等式和恒等式.234 參考文獻(xiàn).245 致謝.25摘 要：行列式是線性代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，懂得如何計(jì)算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本性質(zhì)，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識(shí)的聯(lián)系介紹其它幾種方法。通過(guò)這一系列的方法進(jìn)一步提高我們對(duì)行列式的認(rèn)識(shí)，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)帶來(lái)十分有益的幫助。關(guān)鍵詞:行列式 ； 矩陣； 范德蒙行列式 ； 遞推法 The calculation method

3、of determinantAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other deter

4、minant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant； recurrence method 行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對(duì)行列式進(jìn)行較深入

5、的認(rèn)識(shí)，本文對(duì)行列式的解題技巧進(jìn)行總結(jié)歸納。 作為行列式本身而言，我們可以發(fā)現(xiàn)它的兩個(gè)基本特征：當(dāng)行列式是一個(gè)三角形行列式時(shí)，計(jì)算將變得十分簡(jiǎn)單，于是將一個(gè)行列式化為三角形行列式便是行列式計(jì)算的一個(gè)基本思想；行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個(gè)行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對(duì)行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個(gè)基本想法，即遞推法。這兩種方法也經(jīng)常一起使用，而其它方法如：加邊法、降階法、數(shù)學(xué)歸納法、拆行（列）法、因式分解法等可以看成是它們衍生出的具體方法。1 行列式的定義和性質(zhì)1.1行列式定義定義 行列式與矩陣不同，行列式是一個(gè)值，它是所有不同行不同列的數(shù)的積的和，那些數(shù)的

6、乘積符號(hào)由他們的逆序數(shù)之和有關(guān)，逆序數(shù)為偶數(shù),符號(hào)為正，逆序數(shù)為奇數(shù)，符號(hào)為負(fù)。例1 .解：不為零的項(xiàng)一般表示為,故. 1.2行列式的性質(zhì) 按照行列式的值可分為以下幾類：性質(zhì)1 行列式值為01) 如果行列式有兩行(列)相同，則行列式值為0;2) 如果行列式有兩行(列)成比例，則行列式值為0;3) 行列式中有一行(列)為0，則行列式的值為0。性質(zhì)2 行列式值不變1) 把一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)，行列式值不變, 即 （6）其中。2) 行列互換，行列式值不變, 即= （7）3) 如果行列式的某一行(列)是兩組數(shù)的和，那么它就等于兩個(gè)行列式的和, 這兩個(gè)行列式除這一行(列)外其余與原來(lái)行列式對(duì)

7、應(yīng)相同,即 （8）性質(zhì)3 行列式的值改變 一行(列)的公因子可以提出去，或者說(shuō)用一數(shù)乘以行列式的一行(列)就等于用該數(shù)乘以此行列式 （9）性質(zhì)4 行列式反號(hào)對(duì)換行列式兩行(列)的位置，行列式反號(hào) （10）例2 一個(gè)階行列式 的元素滿足則稱反對(duì)稱行列式，證明：奇階數(shù)行列式為零.證明： 由知，即.故行列式可表示為,由行列式的性質(zhì)，.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得因而得.2 求解行列式的技巧2.1 定義法當(dāng)行列式中含零元較多時(shí)，定義法可行。例3 計(jì)算n級(jí)行列式 解：按定義，易見=1， 2，=n，或=2，=3，=n， =1.得 D=+2.2 三角形行列式法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺?/p>

8、計(jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例4：計(jì)算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。解：2.3 析因

9、法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，然后對(duì)行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個(gè)常數(shù)因子C，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)a1時(shí)，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0。那么x a1便是一個(gè)一次因式，再找其他的互異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。例5：蘭州大學(xué)2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第

10、四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。分析 根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有。但大家認(rèn)真看一下，該行列式Dn+1是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式，而這時(shí)我們只找出了n個(gè)一次因式,那么能否用析因法呢？我們?cè)僮屑?xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。解：令：顯然當(dāng)：時(shí)，。又為n次多項(xiàng)式。又中的最高次項(xiàng)為，系數(shù)為1，C=1因此得：2. 4 連加法若行列式中某加上其余各列（行），使該列（行）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡(jiǎn)化行列式計(jì)算的方法稱為連加法。 解：它的特點(diǎn)是各列元素之和為 （n-1）a+x ,因此把

11、各行都加到第一行，然而第一行再提出（n-1）a+x ,得將第一行乘以（-a）分別加到其余各行，化為三角形行列式，則25按行按列展開（降階法）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是根據(jù)行列式的特點(diǎn)，先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例7 計(jì)算行列式 .解： 按第1行展開： .2. 6遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行

12、列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。例8，證明如下行列式等式：分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同

13、樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：2. 7數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。例9證明：證：當(dāng)時(shí)，有：結(jié)論顯然成立。現(xiàn)假定結(jié)論對(duì)小于等于時(shí)成立。即有：將按第1列展開，得： 故當(dāng)對(duì)時(shí)，等式也成立。得證。2. 8加邊法（升階法）有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法

14、適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 例10、計(jì)算n 階行列式：分析 我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法。解：2. 9拆項(xiàng)法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之積，計(jì)算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成

15、兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式的值。例11、 計(jì)算下列行列式的值：設(shè)n階行列式：且滿足對(duì)任意數(shù)b，求n階行列式 分析該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是b，顯然用拆行（列）法。解： 也為反對(duì)稱矩陣又為的元素從而知：2.10拉普拉斯法拉普拉斯定理的四種特殊情形：1） 2）3） 4）例12 計(jì)算n階行列式：解：2.11利用范德蒙行列式法范德蒙行列式：例13 計(jì)算n階行列式9解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的

16、性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過(guò)（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 3 行列式的應(yīng)用行列式是研究數(shù)學(xué)的重要工具之一. 例如線性方程組、多元一次方程組的解、三維空間中多個(gè)平面組或多個(gè)點(diǎn)組的相關(guān)位置、初等代數(shù)、解析幾何、維空間的投影變換、線性微分方程組等, 用行列式來(lái)進(jìn)行計(jì)算是很便利的. 本文進(jìn)一步研究探討了行列式在線性方程組

17、、初等代數(shù)、解析幾何三個(gè)方面的應(yīng)用.3.1 行列式在線性方程組中的應(yīng)用 設(shè)含有個(gè)變?cè)膫€(gè)一次線性方程的方程組為 （1） 設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的階行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩陣中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它們的原有位置排列. 我們把看作是未知數(shù), 是已知數(shù), 解方程組(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素?fù)Q以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右邊的行列式用表示, 行列式是矩陣中去掉第列剩余下的元素所組成. 故.代入（2）式, 得, 或.結(jié)論2: 方程組（1）中的與成比例, 式中 是從矩陣中去掉第列剩余下的元素

18、做成的行列式.3.2 行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用3.2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的關(guān)鍵, 是把所給的多項(xiàng)式寫成行列式的形式, 并注意行列式的排列規(guī)則. 下面列舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.例14分解因式：. 解 . 例15 分解因式: . 解 原式 .3.2.2 用行列式證明不等式和恒等式我們知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上, 行列式不變; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么這個(gè)行列式等于零. 利用行列式的這些性質(zhì), 我們可以構(gòu)造行列式來(lái)證明等式和不等式.例16 已知, 求證.證明 令, 則.命題得證.例17 已知 求證.證明 令, 則命題得證.例18 已知, 求證.證明 令, 則 而, 則, 命題得證.計(jì)算行列式的方法很多，也