2018材料閱讀題與答案

1、重慶中考材料閱讀題分類講練(含答案)類型1代數(shù)型新定義問題例1【2017重慶AJ對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”.將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=213,對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,321,對調(diào)十位666+111=6,123,對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到與個位上的數(shù)字得到132,所以，F(xiàn)(123)=6.(1) 計算：F(243),F(617),其中s=100x+32,t=150+y(1x9,(2)

2、若s,t都是“相異數(shù)”F(S)都是正整數(shù))，規(guī)定：k=方).當(dāng)F(s)+F(t)=18時，求k的最大值.針對訓(xùn)練1 .對于一個兩位正整數(shù)xy(0yx9,且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方和叫做t的“平方和數(shù)”，把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方差叫做t的“平方差數(shù)”.例如：對數(shù)62來說，62+22=40,62-22=32,所以40和32就分別是62的“平方和數(shù)”與“平方差數(shù)”.(1) 75的“平方和數(shù)”是,5可以是的“平方差數(shù)”；若一個數(shù)的“平方和數(shù)”為10,它的平方差數(shù)”為8,則這個數(shù)是.求證：當(dāng)x9,y8時，t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果也是另一個數(shù)的“平方

3、差數(shù)”.將數(shù)t的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)交換得到數(shù)t,若t與t的“平方和數(shù)”之和等于t與t的“平方差數(shù)”之和，求t.2. 將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身).得到新三位數(shù)abc(avc),在所有重新排列中，當(dāng)|a+c-2b|最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F(n)=b2ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因為|1+52X2|=2,|1+22X5|=7,|2+52X1|=5,且2v5v7,所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215)=22-1X5=1.(1) F(236)=;(2) 如果在正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平

4、均數(shù)，求證：F(n)是一個完全平方數(shù)；(3) 設(shè)三位自然數(shù)t=100x+60+y(1x9,Ky9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t.若tt=693,那么我們稱t為“和順數(shù)”.求所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值.4. 我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pxq(p,q是正整數(shù)，且p62q4-3,所以3X4是12的最佳分解，所以F(12)=4.(1) 如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).求證：對任意一個完全平方數(shù)m總有F(m)=1.(2) 如果一個兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1xy9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)與

5、十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；(3) 在(2)所得的“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值.類型2函數(shù)型新定義問題例2已知一個大于1的正整數(shù)t可以分解成t=ac+b2的形式(其中a2X3-2X11X3-1X2,所以2X3+12是7的“等比中項分解”，P23.(1) 若一個正整數(shù)q=m+n2,其中mn為正整數(shù)，則稱q為偽完全平方數(shù)，證明：，一一，一一、，.,1對任怠一個偽元全平方數(shù)q都有P(q)=分.(2) 若一個兩位數(shù)s=10x+y(Kyx2b3c,x2=1,求點P(C,b)與原點O的距離OP的取值范圍.aa，+2(x+y)

6、+1.解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1)2.再將“A”還原，得原式=(x+y+1)2.上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1) 因式分解：1+2(xy)+(xy)2=;(2) 因式分解：(a+b)(a+b4)+4=;證明：若n為正整數(shù)，則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平3. 若三個非零實數(shù)x,y,z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)x,y,z構(gòu)成和諧三數(shù)組”.(1) 實數(shù)1,2,3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請說明理由；4 .若一個整數(shù)

7、能表示成a2+b2(a,b是整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.例如，99.9999一一5是完美數(shù)，因為5=2+1.再如，Mkx+2xy+2y=(x+y)+y(x,y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”.(1)請你再寫一個小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”.已知S=x2+4y2+4x12y+k(x,y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為完美數(shù)，試求出符合條件的一個k值，并說明理由.如果數(shù)m,n都是完美數(shù)”，試說明mn也是完美數(shù)”.5. 若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點稱為“3倍點”P,取任意的一個“3倍點P,到點P距離為1的點所對應(yīng)的數(shù)分別記為a,b.定義：若數(shù)K=a2+b2ab

8、,則稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示的數(shù)為3,則a=2,b=4,那么K=22+42-2X4=12;若P所表示的數(shù)為12,貝Ua=11,b=13,那么K=132+112-13X11=147,所以12,147是“尼爾數(shù)”.(1) 請直接判斷6和39是不是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3;(2) 已知兩個“尼爾數(shù)”的差是189,求這兩個“尼爾數(shù)”.類型3整除問題例3我們知道，任意一個大于1的正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p+q(p、q是正整數(shù)，且pq),在n的所有這種分解中，如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱p+q是n的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時：F(n)=pq.例如6可以

9、分解成1+5或2+4或3+3,因為1X52X43X3,所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3X3=9.求F(11)的值；(2)一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)被2除余1,前三位數(shù)被3除余2,前四位數(shù)被4除余3,，一直到前N位數(shù)被N除余(N-1)，我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù)”.如：236的第一位數(shù)“2”能被1整除，前兩位數(shù)“23”被2除余1,“236”被3除余2,則236是一個“多余數(shù)”.若把一個小于200的三位“多余數(shù)”記為t,它的各位數(shù)字之和再加1為一個完全平方數(shù)，請求出所有“多余數(shù)”中F(t)的最大值.針對訓(xùn)練1. 一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若

10、從左向右它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”.如：123的第一位數(shù)“T可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，貝U123是一個“精巧數(shù)”.若四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，求k的值；(2)若一個三位“精巧數(shù)”2ab各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”.2. 人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關(guān)系.若兩個不同的自然數(shù)的所有真因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱這兩個數(shù)為“親和數(shù)”.例如：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18,

11、它的真因數(shù)之和為1+2+3+6+9=21;51的正因數(shù)有1、3、17、51，它的真因數(shù)之和為1+3+17=21，所以稱18和51為“親和數(shù)”.數(shù)還可以與動物形象地聯(lián)系起來，我們稱一個兩頭(首位與末位)都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”.例如：121、1351等.(1) 8的真因數(shù)之和為;求證：一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍的差，能被7整除；(2) 一個百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”能被16的“親和數(shù)”整除，若這個五位“兩頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)”xx+3.3. 材料1:將分式一丁一拆分成一個整式與一個分式(分子為整數(shù))的和的形式.x+1

12、-x2x+3x(x+1)2(x+1)+5x(x+1)2(x+1)55解：=TT=+-7=x2,x+1x+1x+1x+1x+1x+1xx+35這樣，分式x+1就拆分成一個整式x2與一個分式xq的和的形式.材料2:已知一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數(shù)100x+10y+x,且1Vx4,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.-101x+10y99x+11y+2xy2xy解：二=專=9x+y+11x+11111又Kx4,0y9,.7V2x-y1且n為整數(shù))位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做K的“順數(shù)”，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”.若K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔

13、數(shù)”.比如1324的“順數(shù)”為16324,1324的“逆數(shù)”為13264,1324的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為1632413264=3060,3060+17=180,所以1324是“最佳拍檔數(shù)”.(1)請根據(jù)以上方法判斷31568(填是”或“不是”)“最佳拍檔數(shù)”；若一個首位是5的四位“最佳拍檔數(shù)”N,其個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8,且百位數(shù)字不小于十位數(shù)字，求所有符合條件的N的值；證明：任意三位或三位以上的正整數(shù)K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差一定能被30整除.a5. 右整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一正存在整數(shù)n,使礙-=n,即a=bn.例如：右整數(shù)a能被整數(shù)7整除，則一定存在整數(shù)n,使得a=7n.(1)

14、 將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)減去個位數(shù)的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數(shù)一定能被7整除.例如：將數(shù)字1078分解為8和107,1078X2=91,因為91能被7整除，所以1078能被7整除，請你證明任意一個三位數(shù)都滿足上述規(guī)律.(2) 若將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)加上個位數(shù)的k(k為正整數(shù)，1vk5)倍，所得之和能被13整除，求當(dāng)k為何值時使得原多位自然數(shù)一定能被13整除.參考答案例1.解：(1)F(243)=(423+342+234)+111=9,F(617)=(167+716+671)+111=14.s,t都是“相異數(shù)”

15、，F(xiàn)(s)=(302+10X+230+x+100X+23)+111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)+111=y+6,-x+y=7,-1xv9,1y0,2x20,-x=y=0.故t=0.2. 解：(1)F(236)=3(2)證明：設(shè)這個正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字分別為：x+yF(n)=b2ac=x,2,y.|a+c2b|最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，x2+y2xyx-y2xy_5=2；F(n)為一個完全平方數(shù)；t=100x+60+y,t=100y+60+x,.tt=99x99y=693,.99(xy)=693,x-y=7,x=y+7,.1Vx9,1y9

16、,1y+79,.1y2,y=1,y=2,.或t=861或t=962,x=8x=9,當(dāng)t=861時，可以重新排列為168,186,618.|1+82X6|=3,|1+6-2X8|=9,|6+82X1|=12,二168為861的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(861)=6X6-1X8=28;當(dāng)t=962時，可以重新排列為269,296,629,-|2+9-2X6|=1,|2+6-2X9|=10,|6+9-2X2|=11,.269為962的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(962)=6X6-2X9=18.所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值為28.3. 解：(1)43;50;140(2) b+4X51+aX52+4+ax8+bX

17、82=33a+65b+24=13(2a+5b+1)+7a+11,13整除7a+11,15.而1va5,1b5,-187a+1146,二7a+11=26或39.解礙a=3(舍去)或4,-a=4.(3) (mm)6+(nn5)8=1+636”5+8n+64n=6+42河72n.若互為“如意數(shù)”，貝U6+4272n=666,7RH12n=110,此時m必為偶數(shù),經(jīng)檢驗，當(dāng)昨2,n=8時，712n=110,.這兩個數(shù)為85和581.4. (1)證明：對任意一個完全平方數(shù)m設(shè)嚀a2(a為正整數(shù))，|a-a|=0,axa是m的最佳分解，a.對任怠一個元全平萬數(shù)m總有f(m=-=1.a設(shè)交換t的個位上的數(shù)與

18、十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t，則t=10y+x,t是“吉祥數(shù)”，tt=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=36,-y=x+4,.1xvyM&,5 1337845945133759一3所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是宇類型二例2解：(1)證明：a0.又q=n2+n2=mmn2,令n=b,vm-a=c,則此時bcba最小為0,故m時n2是q的等比中項分解”，n+m1q).q2(nn)2(2)由題意，得2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k為整數(shù)),即：142x+34y=8k+4./8(18x+4y)+2y-2x-4=8k,2(yx-2)是8的倍數(shù)，y-x2是4的倍數(shù).又-1yx5

19、且x,y均為自然數(shù)，-6yx-2V2,-y-x-2=4,x=y+2,s=31,42,53.bcba=b(c-a)，且a,b,c為正整數(shù)，a衫2，Rs)max=糧.針對訓(xùn)練1. 2. 解：(1)1+2(xy)+(xy)2=(x-y+1)2;22(2)令A(yù)=a+b,則原式變?yōu)锳(A4)+4=A-4A+4=(A2),故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；證明：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)(n+1)(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+12一2=(n+3n+1),n為正整數(shù)，n2+3n+1也為正整數(shù)，代數(shù)式(n+

20、1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.3. 解：(1).1,2,3的倒數(shù)分別為1,1,且1!23231 11,.1,2,3不可以構(gòu)成和諧三數(shù)組.2 3kkkkkkMt,-),Nt+1,E)，叫+3,序)，且,頃，命構(gòu)成“和偕三數(shù)組”tt+1t+3 若，得2t+4=t,得t=4;kkk_t+1tt+3 右一=r+-，得2t+3=t+1,得t=2;kkkt+3tt+1 若中=+中，得2t+1=t+3,得t=2.kkk綜上，t的值為4或2或2.（3）證明：a,b,c均不為0,.IX1,X2,X3都不為c0,令y=2bx+2c=0,貝UX1=一匚,b整理得:ax2+bx+c=0.

21、y=2bx+2c,2y=ax+3bx+3c,.,bc乂2+乂3=一一,x2,x3=aa.1,1x2+x3bab-+=-=一-x2x3x2-x3accA,B,C三點的橫坐標(biāo)x1,x2,x3構(gòu)成和諧三數(shù)組a2b,5b-3a,2)-x2=1,a+b+c=0,c=a-b.a2b3c,.a2b3(a-b)，且a0,整理得3b1且0.R%b),5a2aaa，12,2c2b2a-b2b2b12op=(+項)=t)+偵)=2偵+2)+2人b312一1,21令ma，則一5m0,3 1313.1.當(dāng)一-m-時，OP隨m的增大而減小，當(dāng)m-時，OP有取大值次，當(dāng)m-時,5252521oP有最小值成；1121211當(dāng)

22、一2m2且mO時，OP隨m的增大而增大，當(dāng)n-成時，OP有最小值芬，當(dāng)n成時,OP有最大值|,；vOF2|且OP乒1,乎OP?10且。序1.4. 解：（1）（答案不唯一）0,1,2,4,8,9均可.因為29=52+22,所以29是“完美數(shù)”；(2)當(dāng)k=13時，S=x2+4y2+4x12y+13=x2+4x+4+4y212y+9=(x+2)2+(2y-3)2,.x,y是整數(shù)，x+2,2y-3也是整數(shù)，二S是一個“完美數(shù)”.響n都是完美數(shù)”，.設(shè)誥a2+b2,n=c2+d2(a,b,c,d都是整數(shù))，貝U222222222222mr(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd22222222II

23、IIIII=ac+2abcd+bd+bc2abcd+ad=(ac+bd)2+(bc-ad)2.a,b,c,d是整數(shù)，ac+bd與bcad都是整數(shù)，mn也是“完美數(shù)”.5. 解：(1)6不是“尼爾數(shù)”；39是“尼爾數(shù)”；設(shè)a=3n+1,b=3n-1(其中n為自然數(shù))，K=(3n+1)2+(3n-1)2(3n+1)(3n-1)=2X9n2+2X1-(9n21)=9n2+3,所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3.設(shè)這兩個“尼爾數(shù)”分別為9希+3,9n2+3,其中mn為整數(shù)，貝U(9n2+3)(9n2+3)=189,mn2=21.(時n)(mrn)=1x21或3x7.nn=21,vm-n=7,w11,mu5,

24、.或解得或nvn=1vm-n=3.n=10n=2.當(dāng)m11,n=10時，9希+3=9X112+3=1092,9n2+3=9X102+3=903.當(dāng)m5,n=2時，9m2+3=9X52+3=228,229n+3=9X2+3=39.答：這兩個“尼爾數(shù)”分別是1092和903或228和39.類型3.整除問題例3.解：(1)11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,且1X102X93X84X75X6,所以F(11)=5X6=30.(2)設(shè)此數(shù)為1bc,由題可得10+b=2m1，由得：10+b為奇數(shù)，所以b為奇數(shù)；100+10b+c=3n+2，由得：1+b+c+1是3的倍數(shù);1+b+c+1=k2.

25、(其中mn,k為整數(shù))又因為1vb9,Kc9,所以41+b+c+120,所以1+b+c+1只能等于9,即b+c=7.所以當(dāng)b=1時，c=6,此數(shù)為116.當(dāng)b=3時，c=4,此數(shù)為134；當(dāng)b=5時，c=2,此數(shù)為152;當(dāng)b=7時，c=0,此數(shù)為170;當(dāng)b=9時，舍去；所以Rt)max=F(170)=85X85=7225.針對訓(xùn)練1.解：（1）四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，1230+k是4的倍數(shù)；即1230+k=4n,當(dāng)n=308時，k=2；當(dāng)n=309時，k=6,-k=2或6;2ab是“精巧數(shù)”，a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，.av10,bv10,.2+a+bv22,各位數(shù)字之和為

26、一個完全平方數(shù)，2+a+b=32=9,.當(dāng)a=0時，b=7；當(dāng)a=2時，b=5；當(dāng)a=4時，b=3；當(dāng)a=6時，b=1,.所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有：207,225,243,261.2.解：（1）證明：設(shè)這個四位“兩頭蛇數(shù)”為1ab1,由題意，得1ab13ab=1001+100a+10b30a3b=1001+70a+7b=7（143+10a+b）.a、b為整數(shù)，143+10a+b為整數(shù)，一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍能被7整除.16的真因數(shù)有：1,2,4,8,.1+2+4+8=15.15=1+3+11,.16的“親和數(shù)”為33.設(shè)這個五位“兩頭蛇數(shù)”為1x4y1,由

27、題意，得蘭警為整數(shù)，33.315+30x+10x+10y+633為整數(shù)，故10x+10y+6=66,.x+y=6.-0x9,0y9,且x,y為整數(shù)，xy,x=2,y=4,.這個五位“兩頭蛇數(shù)”為：10461或11451或12441.20xy17200017+100xyxy+43. 解：(3)33=33=6061+3xy+3，故xy+4為33的倍數(shù)，因為10Vxy99,所以14Vxy+4103,即xy+4=33,66,99,x=2,x=6,x=9,所以xy=29,62,95,即或或y=9y=2y=5.4. 解：(1)是；設(shè)N=5xy(8y),其中0vyx9,y8,x,y為整數(shù)，則N的順數(shù)”為：56xy(8y),N的逆數(shù)”為：5xy6(8y),由題意，得56xy(8-y)1嚴(yán)(8-y)為整數(shù)，7+x5y、，*s_-17為整數(shù)，0vyvx9,y1,1x9,0vy9,x,y為整數(shù)，則K的順數(shù)”為：x6Ay=1。2x+6X10m+1+10A+y,K的逆數(shù)”為:xA6y=10訴2x+100A+60+y,x6AyxA6y=60(10m1)90A,-x6AyxA5y能被30整除，即結(jié)論成立.5. 解：(1)證明：設(shè)某三位數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字分別是x、v、z,則原三位數(shù)為：100x+10y+z,根據(jù)題意，存在整數(shù)n,使得10x+y2z=7n,10x+