二、二重積分的計(jì)算法(1)直角坐標(biāo)

1、二、二重積分的計(jì)算法(1)1 1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分區(qū)域的類型積分區(qū)域的類型 12:,Dxyxaxb 1. X- -型區(qū)域型區(qū)域axo 2yx y 1yx Db 1yx xoyab 2yx D特點(diǎn)：穿過特點(diǎn)：穿過D內(nèi)部且平行于內(nèi)部且平行于y軸的直線與軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)的邊界相交不多于兩點(diǎn). 12:,Dyxycyd 2.2.Y-Y-型區(qū)域型區(qū)域cd1( )xy 2( )xy xOyD1( )xy 2( )xy yxODdc特點(diǎn)：穿過特點(diǎn)：穿過D內(nèi)部且平行于內(nèi)部且平行于x軸的直線與軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)的邊界相交不多于兩點(diǎn). 若若D為為（

2、Y型）型）： 12,yxycyd 21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx 則則 xy先先對對 后后 積積分分 21()()( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 則則 12,xyxaxb 若若D（X型）型）：()yx先先 后后 積積分分求二重積分的方法：求二重積分的方法：將二重積分化為兩個(gè)定積分（二次積分）將二重積分化為兩個(gè)定積分（二次積分） 若若D不是不是X-型型(或或Y-型型),則將則將D分為幾個(gè)分為幾個(gè) ,Df x y d 1D2D的積分之和就是所給二重積分的值。的積分之和就是所給二重積分的值。區(qū)域，使它們?yōu)?/p>

3、區(qū)域，使它們?yōu)閄-型型(或或Y-型型),幾個(gè)區(qū)域上幾個(gè)區(qū)域上123+DDDDxyo 123,DDDfx y dfx y dfx y d 3D由區(qū)域可加性，得由區(qū)域可加性，得例例1 1 計(jì)算計(jì)算 其中其中D是由直線是由直線Dxyd 解法解法1 1 把把D看成看成X-型域型域, ,則則211xDxyddxxydy :1,12,Dyxx y=1, x=2 及及 y=x 所圍區(qū)域所圍區(qū)域.321()22xxdx 22112xyxdx 42219848xxxy211xy o2x解法解法2 2 把把D D看成看成Y-型域，則型域，則221ydyxydx Dxyd xy211xy o2y22212yxydy

4、 321(2)2yydy 4221988yy:2,12,Dyxy 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中D是由拋物線是由拋物線Dxyd 2=yx解解2:2,12,D yxyy (4,2)(1, 1)Dxy221oyxy把把D看作看作Y-型域型域所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 及直線及直線2 xy2221yyDxyddyxydx 2yx 先先 x 后后 y 2xy 2xy 2222222112yyyyxdyxydxydy 2251( (2)y yydy 2221yyDxyddyxydx 4632211422436yyyy 558 Dxy2214oyx下邊界的表達(dá)式不同，下邊界的表達(dá)式不同，所以所以要

5、用直線要用直線 x=1若把若把D看作看作X-型域型域, ,由于在由于在 0,1 和和 1,4 上上.21DD 和和將將D分成兩個(gè)區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域1D2D它們分別用以下不等式表示：它們分別用以下不等式表示：2:2,Dxyx 14x 01x 1:,Dxyx Dxyd 12DDxydxyd 2yx 14012xxxxdxxydydxxydyDxyd 12DDxydxyd 計(jì)算比較麻煩計(jì)算比較麻煩例例3 3 求求221,DIyxy d 112211xIdxyxy dy D1110yx:1, 11D xyx 解解 D既可看作既可看作X-型也可型也可Y-型型若若X型型312221112133xydxx :

6、,1,1Dyx xy 所所圍圍. .若若Y型型: 1, 11Dxyy 122111yIdyyxy dx 則積分較繁則積分較繁由以上例題可知，在化二重積分為二次由以上例題可知，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)姆e分時(shí)，為了計(jì)算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序二次積分的次序. 既要考慮積分區(qū)域既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性考慮被積函數(shù)的特性. Yxy先先 后后 積積分分，解解型型:0,01Dxyy22110000yyyyIdye dxex dy 11yx0D2,:,1,0.yDIe dD yx yx 求求所所圍圍成成例例4 2110yxIdxe

7、dy 分析分析 若先若先y后后x積分，則積分，則 無法積分無法積分 221120011122yyye dye dye 例例5 5 改變下列積分次序改變下列積分次序解解(1)積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?21( , ).xxdxf x y dy D :12,x2 .xyx 即即D由四條直線由四條直線所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. .,yx2 ,yx1,x 2x xyOyx2yx12D( (從給出的積分限知從給出的積分限知) )若改為先對若改為先對x后對后對y積分積分, ,221( , )xxdxf x y dy211( , )ydyf x y dx 4222( , ).ydyf x y dx xyOyx2y

8、x121241D2D2yx xyD21,1:1 yyxD2:2, 242yDxy 解解(2)積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?00( , )xdxf x y dy 1:D01,x 0;yx2210( , ).xdxf x y dy 12.DDD2:D12,x02.yxxyo2yx yx12(1,1)21D2D0y 0 x 1x2x0y 100( , )xdxf x y dy 若改為先對若改為先對 x 后對后對 y 積分積分,2210( , )xdxf x y dy 120( , ).yydyf x y dx xyo2yx yx12(1,1)21D2D1x1y2xy xyD例例6 6 求兩個(gè)底面半徑相同的直

9、交求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍圓柱所圍解解立體的體積立體的體積. .設(shè)圓柱底面半徑為設(shè)圓柱底面半徑為.R兩個(gè)圓柱兩個(gè)圓柱面方程面方程分別為分別為222,xyR 222.xzR 只需求出只需求出利用利用對稱性對稱性,乘以乘以8 8即可即可. .yxz222x +z =R222x + y = Ro第一卦限部分的體積第一卦限部分的體積 , ,1Vyxz222xzR 222xyR o立體的體積立體的體積: :1( , )8xyDVf x y dV 1DVzdxdy 22.xyDRx dxdy 曲頂曲頂22( , )zf x yRx xyD221xyDVRx dxdy 222200.RRxdxRx

10、dy yxz222xzR222xyRoRx22yRxxyo222()xyRRR22220( )0RRxRxydx 220()RRx dx 231()30RR xx 32.3R 所求立體的體積為所求立體的體積為31168.3VVR 221xyDVRx dxdy 222200.RRxdxRx dy 000( )() ( )cycdyf x dxcx f x dx 0,7fxc 設(shè)設(shè)在在上上連連例例續(xù)續(xù)，證證明明證證 由等式左邊，得由等式左邊，得:0,0Dxyyc改變積分順序，得改變積分順序，得:,0D xycxc00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx 左左邊邊右右邊邊所以

11、，所以，xyocxy yx 小結(jié)小結(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算21()()( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 則則 12,xyxaxb 若若D（X型）型）：()yx先先 后后 積積分分計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分-化為二次積分化為二次積分axo 2yx y 1yx Db若若D為為（Y型）型）： 12,yxycyd 21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx 則則 xy先先對對 后后 積積分分1( )xy 2( )xy yxODdc對于一般區(qū)域可利用對于一般區(qū)域可利用區(qū)域可加性，將重積分區(qū)域可加性，將重積分化為若干個(gè)重積分之和化為若干個(gè)重積分之