教學(xué)目標(biāo)掌握三角網(wǎng)條件評差方法和程序

1、.土木工程測量學(xué)教程（下）教案 3-9第3講教學(xué)目標(biāo)：掌握三角網(wǎng)條件評差方法和程序。重點(diǎn)難點(diǎn)：條件方程列立，閉合差檢核 第3章 控制網(wǎng)平差31 概述在測量工作中，常要確定某些幾何量的大小。由幾何量組成的模型稱為幾何模型。為了確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通過它們來確定。能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，簡稱必要元素；必要元素的個(gè)數(shù)用t來表示。必要元素不僅要考慮其個(gè)數(shù)，而且要考慮它的類型。由此可知，當(dāng)某個(gè)幾何模型給定之后，能夠唯一確定該模型的必要元素的個(gè)數(shù)t及其類型，t只與幾何模型有關(guān)，與實(shí)際觀測無關(guān)。約定：真值，平

2、差值，觀測值在一個(gè)幾何模型中，除了t個(gè)獨(dú)立量以外，若再增加一個(gè)量，則必然產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式。例，必要量選為、，若增加一個(gè)量，則存在 ，若再增加一個(gè)量，則有 由此可知，一個(gè)幾何模型的獨(dú)立量個(gè)數(shù)最多為t個(gè)，除此之外，增加一個(gè)量必然要產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，這種函數(shù)關(guān)系式，在測量平差中稱為條件方程。在測量工程中，為了求得一個(gè)幾何模型中各量的大小就必須進(jìn)行觀測。如果總共觀測了該模型中n個(gè)量的大小，若觀測個(gè)數(shù)少于必要元素的個(gè)數(shù)，即nt，顯然它無法確定該模型，即出現(xiàn)了數(shù)據(jù)不足的情況；若觀測了t個(gè)獨(dú)立量，n=t，則可唯一地確定該模型。由于它們都是獨(dú)立量，故不存在任何條件方程，在這種情況下，如果觀測結(jié)果

3、中含有粗差甚至錯(cuò)誤，都將無法發(fā)現(xiàn)，在測量工作中是不允許這樣做的。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)粗差和錯(cuò)誤，并提高測量成果的精度，就必須使nt，若令r=nt （3-1）式中n為觀測值的個(gè)數(shù)，t稱為必要觀測數(shù)，r稱為多余觀測數(shù)。多余觀測數(shù)在測量中又稱“自由度”。一個(gè)幾何模型如果有r個(gè)多余觀測，就產(chǎn)生r個(gè)條件方程。由于觀測下不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)nt時(shí)，幾何模型中應(yīng)該滿足r=n-t個(gè)條件方程，實(shí)際存在閉合差而并不滿足，如何調(diào)整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數(shù)，使其達(dá)到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務(wù)。一個(gè)測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然后采用一定的平差原則對待求量進(jìn)行估計(jì)，這種估

4、計(jì)要求是最優(yōu)的，最后計(jì)算和分析成果的精度。32 測量平差的數(shù)學(xué)模型在測量工程中，涉及的是通過觀測量來確定某些幾何量或物理量大小等有關(guān)的數(shù)量問題，因而考慮的模型總是數(shù)學(xué)模型。平差的數(shù)學(xué)模型與一般數(shù)學(xué)只考慮函數(shù)模型不同，它還要考慮隨機(jī)模型，因?yàn)橛^測量是一種隨機(jī)變量。所以平差的數(shù)學(xué)模型同時(shí)包含函數(shù)模型和隨機(jī)模型兩種，在研究任何平差方法時(shí)必須予以考慮。函數(shù)模型是由描述觀測量和待求量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型，是確定客觀實(shí)際的本質(zhì)或特征的模型。隨機(jī)模型是描述觀測量及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)的模型。對于一個(gè)實(shí)際平差問題，可建立不同形式的函數(shù)模型，與此相應(yīng)，就產(chǎn)生了不同的平差方法。一、 條件平差法以條件方程為函數(shù)模

5、型的平差方法，稱為條件平差法 。一般而言，如果有n個(gè)觀測值，t個(gè)必要觀測，則應(yīng)列出r=nt個(gè)條件方程， （3-8）為常數(shù)向量， 將代入，并令 （3-9）則（3-8）式為 （3-10）（3-8）或（3-10）式為條件平差的函數(shù)模型。條件平差的自由度極為多余觀測數(shù)r，即條件方程的個(gè)數(shù)。二、 間接平差法在一個(gè)幾何模型中，最多只能選出t個(gè)獨(dú)立量，如果在進(jìn)行平差就選定t個(gè)獨(dú)立量為參數(shù)，那么通過這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)就能唯一地確定幾何模型了。換言之，模型中的所有量都一定是這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即每個(gè)觀測量都可表達(dá)成所選t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即

6、列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法，又稱參數(shù)平差法。盡管間接平差法是選了t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，但多余觀測數(shù)不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t。33 條件平差原理某一平差問題，如必要觀測數(shù)為t，則只能選出t個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)，每增加一個(gè)未知數(shù)，就會產(chǎn)生一個(gè)應(yīng)滿足的條件方程。在條件平差法中選n個(gè)觀測量的平差值作為未知數(shù)，由于多選了r=nt個(gè)未知數(shù)，因而就產(chǎn)生了r個(gè)條件方程。條件平差法就是在滿足r個(gè)條件方程的需求下，求函數(shù)VTPV=min的V值，在數(shù)學(xué)中是求函數(shù)的條件極值問題。 一. 基礎(chǔ)方程和它的解設(shè)有r個(gè)平差值線性條件方程： （3-23）式中ai、bi、ri（i=1,2,n）

7、為條件方程系數(shù)，a0、b0、r0為條件方程常數(shù)項(xiàng)。將（3-22）式代入上式，得條件方程為 （3-24）式中、稱為條件方程的閉合差，或稱不符值，其值為 （3-25）設(shè) ，則（3-24）、（3-25）式的矩陣表達(dá)式為 （3-26） （3-27）按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù) 將對求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得即 將上式兩邊左乘權(quán)逆陣P-1，得改正數(shù)V的計(jì)算公式為 （3-28）上式稱為改正數(shù)方程將n個(gè)改正數(shù)方程（3-28）和r個(gè)條件方程（3-26）聯(lián)立求解，就可以得一組唯一的解：n個(gè)改正數(shù)和r個(gè)聯(lián)系數(shù)。將（3-26）和（3-28）式合稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。顯然，由基

8、礎(chǔ)方程解出的一組改正數(shù)V不僅能消除閉合差，也必能滿足的要求。解算基礎(chǔ)方程式，是先將（3-28）式代入（3-26）式，得令 （3-30）則有 （3-31）上式稱為聯(lián)系數(shù)法方程，簡稱法方程。法方程系數(shù)陣N的秩，即N是一個(gè)r階的滿秩方陣，且可逆。由此可得聯(lián)系數(shù)K的唯一解。解出聯(lián)系K后，將K值代入改正數(shù)方程式，求出改正數(shù)V值，再求平差值，這樣就完成了按條件平差求平差值的工作。三、 三角網(wǎng)的條件方程式三角網(wǎng)有獨(dú)立三角網(wǎng)（網(wǎng)中僅有必要的起算數(shù)據(jù)）和非獨(dú)立三角網(wǎng)（網(wǎng)中具有多余的起算數(shù)據(jù)）之分。三角網(wǎng)平差有按角度平差和按方向平差兩種方法。以下僅討論獨(dú)立三角網(wǎng)的條件和條件方程式。1. 圖形條件圖3-4所示的三角

9、網(wǎng)中，有五個(gè)獨(dú)立的三角形圖形條件，每個(gè)三角形都應(yīng)列出其圖形條件方程式。對于第i個(gè)三角形而言，設(shè)、為各三角形內(nèi)角的平差值，則其圖形條件方程為。 (333)設(shè)各三角形內(nèi)角的觀測值為ai、bi、ci ，則有 (334)上式代入(333)式，整理后可得 （3-35）式中wi是三角形圖性條件的閉合差，簡稱三角形閉合差。圖34 圖35大地四邊形每個(gè)三角形都可以組成一個(gè)圖形條件方程式。但是，大地四邊形中獨(dú)立的圖形條件方程式只有三個(gè)，第四個(gè)圖形條件方程式可由三個(gè)獨(dú)立的圖形條件方程式導(dǎo)出。圖形條件閉合差的限值：設(shè)各角度觀測中誤差為m，對式（3-35）應(yīng)用誤差傳播定律可得閉合差w的中誤差為取閉合差中誤差的兩倍作為

10、閉合差的限值，即 （3-36） 同理可得，n條邊的多邊形圖形條件閉合差的限值為 (3-37) 2. 圓周角條件在中點(diǎn)多邊形中，盡管所有三角形的圖形條件都滿足，還必須使角度滿足下列條件 (3-38) 這種條件就稱為圓周角條件。以改正數(shù)表示的圓周角條件方程式的一般形式為 （3-39）式中w是圓周角條件方程式的閉合差。當(dāng)三角網(wǎng)按方向平差，即以方向觀測值作為平差元素時(shí)，就不會產(chǎn)生圓周角條件。這是因?yàn)槊總€(gè)角度是由兩個(gè)方向組成，當(dāng)組成圓周角條件方程式時(shí)，在方程中每個(gè)方向都出現(xiàn)兩次，并且一次為正，一次為負(fù)，正好抵消。3. 極條件對于中點(diǎn)多邊形，若從OA邊出發(fā)，依次解算三角形、，最后解算得的邊長應(yīng)與出發(fā)邊OA

11、相等。這種條件的數(shù)學(xué)形式為 （12-40）或 （12-41）依次解算的三角形有共同頂點(diǎn)O，這個(gè)共同頂點(diǎn)O成為極點(diǎn)，故這種條件稱為極條件。上式是一個(gè)非線性的條件方程式，為能按最小二乘法原理進(jìn)行平差，必須把它化為線性形式。按泰勒級數(shù)直接展開（僅取至一次項(xiàng)），分別求得以角度改正數(shù)表達(dá)的極條件方程的線性形式，線性化的過程可表達(dá)為令（3-42） ai = ctg ai bi = ctg bi 則上式可化簡為 （3-43）其中 （344）對于大地四邊形可以任一點(diǎn)為極列立條件方程式；有時(shí)也可以對角線交點(diǎn)為極點(diǎn)列出極條件方程式，有如下形式 （3-45）極條件閉合差的限值：由（3-44）式，按一般函數(shù)應(yīng)用誤差傳

12、播定律可得極條件閉合差的中誤差為或 取兩倍閉合差的中誤差作為閉合差的限值，則 （3-47）4. 基線條件如圖3-8，設(shè)SAB、SCD為起算邊長，圖中虛線為由AB邊長到CD邊長的推算路線，則基線條件可寫為 （3-48）顧及（3-34）式，仿前面的討論，可得用改正數(shù)表達(dá)的基線條件方程式 （3-49）式中wB0為基線條件閉合差。一個(gè)三角鎖中，只要有一條起算邊，即可推算所有的邊長，如果有二條起算邊，就有一個(gè)多余的觀測，因而就產(chǎn)生一個(gè)基線條件?；€條件閉合差的限值：基線條件閉合差的中誤差為 取兩倍閉合差的中誤差作為閉合差的限值，即 （3-50）例3-1 四、 水準(zhǔn)網(wǎng)的條件方程式水準(zhǔn)網(wǎng)平差的主要目的，是確

13、定網(wǎng)中未知點(diǎn)的最或然高程。例如圖3-11的水準(zhǔn)網(wǎng)中，四個(gè)已知水準(zhǔn)點(diǎn)（圖中以“”表示的點(diǎn)），兩個(gè)未知點(diǎn)（圖中以“o”表示的點(diǎn)），并有六個(gè)觀測值。從圖中可以看出，要確定E和F點(diǎn)的高程，必須觀測兩個(gè)觀測值，如h1和h6，或h4和h3等等。可見，在已知點(diǎn)的水準(zhǔn)網(wǎng)中，必要觀測的個(gè)數(shù)就等于未知點(diǎn)的個(gè)數(shù)。圖3-11中，必要觀測個(gè)數(shù)t=2，而條件方程個(gè)數(shù)r=nt=6-2=4。五、 精度評定在條件平差中，精度評定包括給出單位權(quán)方差的估值和平差函數(shù)的中誤差。1. 單位權(quán)方差估值計(jì)算任何平差方法中的單位權(quán)方差估值，都是用VTPV除以該平差方法的自由度r，即 （3-51）因?yàn)?故有 （3-53）即二次型VTPV可以用聯(lián)系系數(shù)K的具體方陣Naa 的二次型來進(jìn)行計(jì)算。VTPV也可用聯(lián)系數(shù)K和閉合差W進(jìn)行計(jì)算： （3-54）2. 平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)設(shè)有平差值函數(shù)為 （3-60）平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)公式為 （3-66）由此可見，當(dāng)列出平差函