高等代數(shù)題目

1、一、多項(xiàng)式習(xí)題課例1 設(shè)與是實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式.證明:若則.分析 只要證,用反證法.證明 由于非零實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的平方的首項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),假設(shè)不全為零,則,從而在上面這個(gè)等式中,左邊的次數(shù)為偶數(shù),右邊的次數(shù)為奇數(shù),矛盾.注 對(duì)于復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式來說本題的結(jié)論不成立.例如,設(shè)則,而與不全為零.例2 證明:如果,，且為與的一個(gè)組合，那么是與的一個(gè)最大公因式.分析 用最大公因式的定義.證明 由題設(shè),是與的一個(gè)公因式,且有多項(xiàng)式使由上式知與的任一公因式必為的因式,因此, 是與的一個(gè)最大公因式.注 關(guān)于最大公因式的證明常用本題的結(jié)論.例3 證明:,(首項(xiàng)系數(shù)是1).分析 設(shè),根據(jù)例2,只要證是與的一個(gè)公因式,

2、且為與的一個(gè)組合.證明 設(shè),則,且有多項(xiàng)式使得于是,且即是與的一個(gè)公因式,且為與的一個(gè)組合.因而.例4 設(shè),且,證明:.分析 只要證的公因式與的公因式完全相同.證明 因?yàn)?#160;           (1)且,所以       (2)由(1)知的公因式必為的公因式,由(2)知的公因式必為的公因式.故的公因式與的公因式完全相同,從而.例5 如果不全為零,證明: .分析 只要證有多項(xiàng)式使得證明 有多項(xiàng)式使得于是故.例6 證明: 如果,那

3、么.分析 由已知條件得到兩個(gè)等式,利用它們來證.證明 因?yàn)?所以有多項(xiàng)式使得于是即因此.例7 設(shè)都是多項(xiàng)式,而且,求證:.分析 根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式不互素必有不可約公因式這一事實(shí),用反證法來證明.證明 假設(shè),則有不可約多項(xiàng)式使得,故對(duì)某個(gè)與某個(gè)有,這與,矛盾.注 本題是例6的推廣,還可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明.例8 證明當(dāng)且僅當(dāng)分析 考慮標(biāo)準(zhǔn)分解式.證明 若,則顯然.反過來,設(shè),來證.若,則,這時(shí)結(jié)論成立;若,則,設(shè)，其中分別為的首項(xiàng)系數(shù),為互不相同的首項(xiàng)系數(shù)是1的不可約多項(xiàng)式,.則，因?yàn)?所以,從而,故.例9 設(shè)是次數(shù)的多項(xiàng)式,如果對(duì)于任何多項(xiàng)式,由可以推出或,那么是不可約多項(xiàng)式.分析 本題要證具有“

4、對(duì)于任何多項(xiàng)式,由可以推出或” 這種性質(zhì)的次數(shù)的多項(xiàng)式不可約.假設(shè)可約,證明存在多項(xiàng)式滿足而不能推出或,就導(dǎo)致矛盾.證明 假設(shè)可約,則存在次數(shù)比底的兩個(gè)多項(xiàng)式使顯然,但是既不整除也不整除.矛盾.例10 證明: 次數(shù)且首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式是一個(gè)不可約多項(xiàng)式方冪的充分必要條件是:對(duì)任意的多項(xiàng)式必有,或者對(duì)某一正整數(shù),.分析 證必要性用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì),證充分性用反證法.證明 必要性. 設(shè),其中是不可約多項(xiàng)式, 是正整數(shù),則對(duì)任意的多項(xiàng)式必有,或者.因此有, ,或者.充分性. 假設(shè)不是不可約多項(xiàng)式方冪,則它必有兩個(gè)不同的首項(xiàng)系數(shù)為的不可約因式.取,則,且對(duì)任一正整數(shù),不整除. 例11 求多

5、項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解.分析 求出在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的全部根,并確定哪些是實(shí)根,哪些是兩兩共軛的虛根.解 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根全部根就是個(gè)次單位根，它們是,其中在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)  在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因?yàn)?且,所以,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)例12 求值使有重根.分析 的重根是與的公共根.解 .設(shè)是的重根,則解出, 例13 求多項(xiàng)式有重根的條件.分析 有重根的條件是.解 用去除余式為于是當(dāng),即時(shí),有重根.當(dāng)時(shí),用去除余式為當(dāng),即時(shí),有重根.綜上可知,有重根的充分必要條件是.例14 如果,求.分析 是的重根.解 因?yàn)槭堑闹馗?所以是與的公共根,即解出.注 此題也可用帶余除法或綜合除法求解.例15

6、證明:不能有重根.分析 若,則無重根.證明 設(shè)則故,從,無重根. 例16 如果是的一個(gè)重根,證明是的一個(gè)重根.分析 求,就可以用上已知條件證明 ,易見.因?yàn)槭堑囊粋€(gè)重根,所以是的重根,從而是的重根,是的重根.例17 證明:如果,那么分析 用余式定理.證明   有多項(xiàng)式使例18 證明:如果,那么,.分析 只要證.證明 因?yàn)?所以的兩個(gè)根,都是的根,于是,即,以上二式相減得,因此,.例19 設(shè)是大于的整數(shù),是次數(shù)大于零的多項(xiàng)式,證明:如果,那么的根只能是零或單位根.分析 的根必為的根.證明 設(shè)是的任一非零根,因?yàn)?所以也是的根,從而,故是的任意一個(gè)根.依次類推可知,都是的根.由

7、于的次數(shù)有限,必有使,故,因此是單位根.例20 如果,證明:有重根，其中.分析 考慮.證明 因?yàn)?所以是的最大公因式,因此是次多項(xiàng)式,而是次多項(xiàng)式,故只有一個(gè)單根.但是與有完全相同的根,而沒有重根，所以是的根,且為重根.例21 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,證明:若,都是奇數(shù),則無整數(shù)根.分析 用反證法.證明 假設(shè)有整數(shù)根,則其中,是整系數(shù)的,于是因?yàn)?與之中至少有一個(gè)是偶數(shù),所以,與之中至少有一個(gè)是偶數(shù).這與與都是奇數(shù)矛盾.注 本題可推廣為:設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,若有一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù),使與都是奇數(shù),則無整數(shù)根.例22 設(shè)是數(shù)域上的多項(xiàng)式,對(duì)任意有,證明存在使.分析 在中,令得,故欲證之結(jié)論即為.證

8、明 令,則,假定,則                  由此知,一切自然數(shù)都是的根,故,從而,其中為常數(shù).二、行列式習(xí)題課計(jì)算行列式常用以下方法:()三角形法 將行列式化為三角形,從而求出它的值.()降階法 選適當(dāng)?shù)男?列)將行列式展開,化高階行列式為低階行列式.()遞推法 行列式降階后得遞推公式,根據(jù)遞推公式,求出行列式的值.這些方法不是彼此孤立的,我們應(yīng)該根據(jù)行列式的特點(diǎn)選擇計(jì)算的方法,并且注意將各種方法結(jié)合起來應(yīng)用.例1

9、 計(jì)算行列式.分析 將第1行的-1倍加到其余各行,可使行列式中出現(xiàn)較多的零.解 將第1行的-1倍加到其余各行.       (將第2列加到第1列)例2 計(jì)算行列式.解 按第1行展開                  例3 計(jì)算行列式(級(jí)).解 按第1列展開.例4 計(jì)算行列式.解 依次將第2n列加到第1列;第3n列加到第2列;最后,將第n列加到第列例5 計(jì)算行列式.解

10、依次將第2列的倍,第3列的倍,第列的倍,第列的倍都加到第1列,則例6 計(jì)算行列式.解 按第1列展開得到遞推公式,即,類推下去可得于是即,從而.附注 一般地,若遞推公式可以寫成則                                    &

11、#160;            從而得到與之間的遞推關(guān)系.例7 計(jì)算行列式.解  最后一列加到前邊各列注意到關(guān)于與對(duì)稱,有若,顯然;若,解出.無論哪種情況均有.三、線性方和組習(xí)題課例1單項(xiàng)選擇 非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩為r，增廣矩陣的秩為，則r與的關(guān)系為（      ）。         A     

12、; B.      C.      D.分析：本題主要考察一般線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的結(jié)構(gòu)，因只比A多一列，所以用矩陣的行初等變換化為階梯形矩陣的同時(shí)，把A也化成了階梯形矩陣，且此時(shí)比至多多一個(gè)非零行，所以.觀察四個(gè)供選擇答案，知D最適合，故答案為D.    設(shè)A是矩陣，則是齊次線性方程組有非零解的（      ）.A充分必要條件    B.充分非必要條件  

13、  C.必要非充分條件    D.無關(guān)條件分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)充分條件與必要條件的理解。因如果，則齊次線性方程組必有非零解，而反之，有非零解的齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)不一定小于未知量的個(gè)數(shù)，所以是齊次線性方程組有非零解的充分條件，而非必要條件。故答案為B. 設(shè)方程組有非零解，則（      ）。        A    B.    C.    D

14、.分析：本題主要考察齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為.所以時(shí)，故答案為B.例2填空題：當(dāng)        時(shí)，下面方程組有無窮多解。              分析：本題主要考察以下三個(gè)方面。第一，一般線性方程組有解的充分必要條件為；第二，一般線性方程組有無窮多解的充分必要條件為；第三，如何求矩陣的秩。  ，要使，必須，故答案為3.  線性方程組有解的充分必要條件為

15、0;        .分析：本題主要考察線性方程組有解的判定定理.方程組的增廣矩陣為，將第1，2，3行都加到第4行，得.由此可見，方程組有解的充要條件為系數(shù)矩陣A的秩等于的秩=3，亦即.例3多項(xiàng)選擇： （      ），下面方程組有唯一解。                     

16、;    A0      B.1      C.2      D.3      E.4分析：本題主要考察線性方程組有唯一解的充分必要條件為.從而有或時(shí)，故答案為B，D.例4計(jì)算題或應(yīng)用題。 用消元法求方程組的一般解。分析：本題主要考察用消元法解線性方程組的步驟?；癁殡A梯形，求出；進(jìn)一步化為簡化階梯形，確定出個(gè)自由未知量；用自由未知量把其它未知量表示出來，求出一般解。解

17、：    ，于是方程組的一般解為 ，其中為自由未知量。 討論l取什么值時(shí)，方程組無解，有解，有唯一解，有無窮多解？在有解的情況下，有唯一解時(shí)，求出唯一解；有無窮多解時(shí)，求出一般解。分析：這是一個(gè)未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都含有參數(shù)l的方程組。在解這類方程組時(shí)，可以暫時(shí)把l看作一個(gè)常數(shù)，象通常的方程組一樣求解，但是l畢竟不是一個(gè)固定的常數(shù)，必須在求解的過程中，根據(jù)l可取不同值的情況加以討論。此外，這是一個(gè)三個(gè)方程三個(gè)未知量的線性方程組，可利用其系數(shù)行列式是否為零討論解的情形，即應(yīng)用克萊姆法則可討論有唯一解的情形。解法一：對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等變換。由此可知： 當(dāng)且時(shí)，

18、方程組有唯一解，唯一解為，. 當(dāng)時(shí)，原方程組與方程組同解。所以，此時(shí)原方程組有無窮多解，其一般解為，其中為自由未知量。 當(dāng)時(shí)，因,此時(shí)原方程組無解。解法二：方程組的系數(shù)行列式，由克萊姆法則知：當(dāng)且時(shí)，.此時(shí)方程組有唯一解。又因，所以，方程組的唯一解為，.當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有無窮多解，其一般解為，其中為自由未知量。當(dāng)時(shí)，將方程組的三個(gè)方程兩邊相加得0 = 3，故此時(shí)方程組無解。例5證明題：  證明線性方程組有解的充分必要條件是.分析：關(guān)于線性方程組的解的存在性問題，一般來說，主要依據(jù)線性方程組解的定義及有解判別定理進(jìn)行證明。證明：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行行初等變換由知，的

19、充分必要條件為.又方程組有解的充分必要條件為，所以原方程組有解的充分必要條件為. 設(shè)方程組                                            &

20、#160;                      其中為元素在的系數(shù)行列式中的代數(shù)余子式。若方程組有唯一解，則方程組也有唯一解。分析：這是有關(guān)方程組解的個(gè)數(shù)的命題。很自然地會(huì)考慮用方程組解的個(gè)數(shù)判別定理。觀察方程組和方程組，若設(shè)的系數(shù)矩陣為A，則的系數(shù)矩陣為，因，要證有唯一解，只須證，即證。證明：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為A，則方程組的系數(shù)矩陣為。因方程組有唯一解，因此，即。又因

21、，所以。從而，即方程組有唯一解。例6 單項(xiàng)選擇 齊次線性方程組x1+x2+x3+x4+x5=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是（    ）A.      4    B. 3    C. 2    D. 1分析：因?yàn)榉匠探Mx1+x2+x3+x4+x5=0的一般解x1=-x2-x3-x4-x5中含有4個(gè)自由未知量，由齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)等于其一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)，可知答案為A。 一個(gè)三元線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系

22、中含有一個(gè)解向量，則這個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩等于（   ）A.      0    B. 1    C. 2    D. 3分析：本題主要要求學(xué)員知道齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)n-秩(A)。所以3-秩(A)=1即秩(A)=2，故答案選C。 已知n維向量組a1,a2,an和b1,b2,bm的秩分別為s和t(s>t)，那么向量組a1,a2,an ,b1,b2,bm的秩r是（  

23、; ）A. r=s-t   B. rs+t   C. r>s+t    D. r=分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)替換定理的應(yīng)用。我們不妨設(shè)a1,a2,as是向量組a1,a2,an的極大無關(guān)組，b1,b2,bt是向量組b1,b2,bm的極大無關(guān)組，則向量組a1,a2,an ,b1,b2,bm可由向量組a1,a2,as ,b1,b2,bt線性表出。由替換定理：秩a1,a2,an ,b1,b2,bm秩a1,a2,as ,b1,b2,bt ，而秩a1,a2,as ,b1,b2,bt s+t，所以rs+t，故答案為B。 設(shè)1,2,3是

24、齊次線性方程組AX=0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則（   ）A.  1,2,3一定是AX=0的基礎(chǔ)解系。B.  k11+k22+k33一定不是AX=0的解。C.  k11-k22-k33不一定是AX=0的解。D.  1,2,3有可能是AX=0的基礎(chǔ)解系。分析：本題主要考察以下兩方面的內(nèi)容：齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的定義。齊次線性方程組AX=0的解的線性組合一定是AX=0的解。因不知道秩(A)和未知量的個(gè)數(shù)，所以不知道AX=0的任一解是否都能由1,2,3線性表出，故答案A不正確。由可知答案B和C不正確。故本題答

25、案為D。 設(shè)向量組(a+1, 2, -6)，(1, a, -3)，(1, 1, a-4)線性無關(guān)，則a的取值為（   ）A. a=0   B. a¹0   C. a=1    D. a¹1分析：本題主要考察n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充要條件是以這n個(gè)向量為行向量構(gòu)成的矩陣的行列式不等于0。因所以a¹1時(shí)這三個(gè)向量線性無關(guān)，故答案為D。例7. 填空題 設(shè)有向量組a1=(1, 0, -1)，a2=(x, 1, 0)，a3=(-1, 2, 0)則當(dāng)x=   

26、; 時(shí)，a1, a2, a3線性相關(guān)。分析：本題主要考察n個(gè)n維向量a1,a2,an線性相關(guān)的充要條件是以a1,a2,an為行向量的矩陣的行列式等于零。a1, a2, a3線性相關(guān)的充要條件為行列式=(2x+1)=0，所以有x=-，故答案為-。 設(shè)有向量組a1, a2, a3線性無關(guān)，則2a1 -a2 -a3     0。分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)線性無關(guān)定義的理解。因?yàn)閍1, a2, a3線性無關(guān)，且k1a1+k2a2+k3a3=0的充要條件為k1=k2=k3=0，所以2a1 -a2 -a3¹0，故答案為¹。 若向量組a1=(1, a

27、, -1, 2)，a2=(1, -1, a, 2)，a3=(1, 0,-1, 2)的秩為2，則a的值為    。分析：本題主要考察向量組的秩的求法轉(zhuǎn)化為矩陣，利用初等變換求秩。以a1, a2, a3為行向量組的矩陣為A=，A®®，而秩a1, a2, a3=秩(A)=2，a=0或a=-1，故答案為0或-1。 若向量組e1=(1, 0, 0)，e2=(0, 1, 0)，e3=(0, 0, 1)能由向量組a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)，g=(c1, c2, c3)線性表出，則向量組a, b, g的秩為  

28、;  。分析：本題主要考察等價(jià)向量秩相等這一重要概念。因?yàn)閍, b, g可由e1, e2, e3線性表出，所以a, b, g與e1, e2, e3等價(jià)，從而有相同的秩。而向量組e1, e2, e3的秩為3，故a, b, g秩也是3，故答案為3。設(shè)b=(4, 5, 6)，a1=(3, -3, 2)，a2=(-2, 1, 2)，a3=(1, 2, -1)，則b表成a1, a2, a3的線性組合為    。分析：b表示成的線性組合的組合系數(shù)就是一般線性方程組的解。所以只需求方程組的解。因=所以方程組有唯一解x1=2，x2=3，x3=4。則答案為。例8. 多項(xiàng)選

29、擇： 有向量組a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 0, 1)，b=(    )時(shí)，b是a1, a2的線性組合。A.      (2, 0, 0)   B. (-3, 0, 4)   C. (1, 1, 0)   D. (0, -1, 0)   E. (0, 0, 0)分析：因a1和a2的第2個(gè)分量都是0，故C和D不能由a1和a2線性表出，易知(2, 0, 0)= 2a1+0a2，(-3, 0, 4)= -3a1+4a2，(0, 0,

30、 0)= 0a1+0a2，從而答案為A,B,E。 向量組a1,a2,ar(r>1)的秩為r的充分條件為（   ）A. 不含零向量    B. 沒有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例   C. 有一個(gè)向量不能由其余向量線性表示   D. 每一個(gè)向量不能由其余向量線性表示  E. 線性無關(guān)分析：因a1=(1, 1)，a2=(2, 2)中不含零向量，但秩a1,a2=1，故A不正確。因a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(1, 1, 0)中沒有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例，但秩a1,a2,

31、a3=2，故B不正確。因a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 0)中a1不能由a2,a3線性表示，但秩a1,a2,a3=2，故C不正確。由已有的結(jié)論易知D，E是正確的，故答案為D，E。例9計(jì)算題或應(yīng)用題： 求向量組，         的一個(gè)極大無關(guān)組。分析：向量組，的極大無關(guān)組的求法為：設(shè)A是以，為行向量組的矩陣，用行初等變換化A為階梯矩陣B，則B的非零行向量組成的向量組所對(duì)應(yīng)的，的部分組，即為，的極大無關(guān)組。解：令因，所以，是，的一個(gè)極大無關(guān)組。 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

32、分析：本題主要考察齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法。解：對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換，化為簡化階梯形矩陣。      ，于是方程組的一般解為，其中，為自由未知量。    令，得一個(gè)解；    令，得一個(gè)解    則，為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。    求方程組的全部解（要求解為向量表達(dá)式）。    分析：本題要先求方程組的一般解，從而可求出一個(gè)特解，進(jìn)而可求出其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，最后可寫出方程組的全部解的向

33、量表達(dá)式。    解：對(duì)方程組的增廣矩陣施行行初等變換       因秩(A) = 秩，所以方程組有無窮多解。    又，所以方程組的一般解為    ，其中，為自由未知量。    令，得方程組的一個(gè)特解為，易知原方程組的導(dǎo)出組的一般解為，其中，為自由未知量。    令，得導(dǎo)出組的一個(gè)解為，    令，得導(dǎo)出組的一個(gè)解為，故導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，。 故原方程組的

34、全部解為，其中，為任意數(shù)。    設(shè)4元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知，是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的全部解。    分析：設(shè)4元非齊次線性方程組為，因秩(A) = 秩，所以的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量。這樣只要找到的一個(gè)非零解即可。因，是的解，所以和都是的解，則為的一個(gè)解，且易知是非零解。    解：設(shè)4元非齊次線性方程組為，因有解且秩(A) =3，所以的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量。因和是的解，所以 =為的基礎(chǔ)解系。又為的一個(gè)特解，所以的全部解，其中k是任意數(shù)。   

35、; 已知向量，試求用，線性表出的一個(gè)表出式。    分析：用，線性表出的表出系數(shù)就是方程組的解，從而求出該方程組的一個(gè)解即可。    解：作線性方程組，即                          解這個(gè)線性方程組，得一般解，其中為自由未知量。取，得到一個(gè)解為，從而可得一個(gè)表出式。

36、    例10證明題    設(shè)，是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，求證：， +2，+2也是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。    分析：本題主要考察以下兩個(gè)方面內(nèi)容：基礎(chǔ)解系的定義。要證， +2，+2是基礎(chǔ)解系，首先要證，+2，+2是解，；再證所有的解都可由，+2，+2線性表出，即證，+2，+2是線性無關(guān)的。如何證明一個(gè)向量組是無關(guān)組。通常利用線性無關(guān)性的定義來證明一個(gè)向量組是無關(guān)組。    證明：因?yàn)?，所以。即是的解，同理+2，+2也是的解。    因的

37、基礎(chǔ)解系中含有三個(gè)解向量，所以只需證明，+2，+2線性無關(guān)。令，則                 因，線性無關(guān)，所以                           

38、;      (*)因齊次線性方程組(*)的系數(shù)行列式，所以方程組(*)只有零解。從而，故，+2，+2線性無關(guān)。    綜上所述，可知，+2，+2是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。    設(shè)A，B為兩個(gè)n階方陣，且，求證：秩(A) + 秩(B).    分析：這是一個(gè)矩陣與方程組內(nèi)容的綜合題，主要考察以下三個(gè)方面的內(nèi)容：表示矩陣B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組的解，從而B的列向量組可由的基礎(chǔ)解系線性表出。的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n-秩(A)個(gè)。替換定理。若

39、向量組可由向量組線性表出，則.    證明：因?yàn)?，所以B的列向量組中的每一個(gè)向量都是齊次線性方程組的解，所以向量組可由的基礎(chǔ)解系線性表出。    令秩，且為的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則秩 ，而秩=秩(B)，所以，從而，秩(A) + 秩(B).    設(shè)是m個(gè)方程n個(gè)未知量的一般線性方程組，是的一個(gè)特解，是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。求證：，為的個(gè)線性無關(guān)的解向量。的任一個(gè)解向量可表為，其中.分析：本題主要考察以下三個(gè)方面內(nèi)容：線性無關(guān)性的證明。的基礎(chǔ)解系。的解的結(jié)構(gòu)。本題也給出了的解集的一個(gè)極大無關(guān)組的求法。證明： 因?yàn)闉榈囊?/p>

40、個(gè)特解，是的解，由一般線性方程組的解與它的導(dǎo)出組的解之間的關(guān)系可知，都是的解。下面證明線性無關(guān)。設(shè)，把，代入上式得.顯然有，假若不然，則可由線性表出，從而是的解，這與是的解且矛盾。因此有成立，又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，由，可知，從而，故線性無關(guān)。 設(shè)是的任一解。因?yàn)槭堑囊粋€(gè)解，所以可由，線性表出，即=，則            令，則有，其中. 四、矩陣習(xí)題課例1單項(xiàng)選擇： 對(duì)任意兩個(gè)n階方陣A，B，總有（      ）.  &#

41、160;     A              B.         C        D. .分析：本題考察三個(gè)內(nèi)容。第一是n階方陣的行列式的定義及性質(zhì)；當(dāng)A，B都是n階方陣時(shí)，有成立，而是不成立的，于是 是正確的。第二是n階方陣方冪的定義及矩陣的運(yùn)算規(guī)律；據(jù)此有成立，又由于矩陣的乘法不

42、滿足交換律，即AB不一定等于BA，所以是錯(cuò)誤的。第三是矩陣的定義及性質(zhì)，由此可知是錯(cuò)誤的。綜上可知，該題的正確答案是D。 設(shè)A是任一奇數(shù)階方陣，則下列結(jié)論一定成立的是（      ）. A    B.     C.     D. .分析：本題考察兩個(gè)內(nèi)容。第一是，若A為方陣，則為對(duì)稱矩陣，而奇數(shù)階對(duì)稱矩陣的行列式可能等于0，也可能不等于0。第二是，若A為方陣，則為反對(duì)稱矩陣，而奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣的行列式等于0。綜上可知，該題的正確答案為C

43、。 設(shè)A是一個(gè)3階矩陣，是A的伴隨矩陣，若，則等于（      ）。      A-8          B. 4          C. 4        D. 8分析：本題考察四個(gè)內(nèi)容。第一是，方陣A可逆的充分必要條件為，由，知A可逆。第二是，若

44、方陣A可逆，則，即。第三是，若A為n階方陣，k是一個(gè)數(shù)，則。第四是，若方陣A可逆，由可知。綜上所述，可知，故答案為C.例2多項(xiàng)選擇： 設(shè)A，C是兩個(gè)矩陣，B是矩陣，那么它們可作乘法運(yùn)算（      ）。    A           B.           C.     

45、60; D.          E. 分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)矩陣加法、乘法、轉(zhuǎn)置運(yùn)算的定義的理解。因是的，B是的，故結(jié)論A成立。因是矩陣，所以是矩陣，但C是矩陣，故結(jié)論B不成立，這因?yàn)閙不一定等于n. 同理可知結(jié)論C成立，結(jié)論D和E不成立。故答案為A，C. 設(shè)A，B，C是滿足下列加法、乘法運(yùn)算的矩陣，那么下列運(yùn)算中（      ）是正確的。A  如果AB = BA，那么B   C  如果AB = AC，那

46、么B = CD  E   .分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)矩陣乘法運(yùn)算性質(zhì)的理解。對(duì)結(jié)論A，由A與B可交換，可知成立。由矩陣乘法對(duì)加法的分配律及數(shù)乘矩陣的運(yùn)算性質(zhì)可知結(jié)論B成立。由矩陣乘法不滿足消去律，可知結(jié)論C不成立。因矩陣乘法不滿足交換律，故結(jié)論D，E不成立。所以答案為A，B。 （      ）是可逆矩陣。       A對(duì)稱矩陣    B. 矩陣A滿足    C. 三角形矩陣  

47、;     D非奇異矩陣      E. 單位矩陣分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)可逆矩陣判定定理的應(yīng)用及非奇異矩陣的定義。因?qū)ΨQ矩陣和三角形矩陣的行列式可能為0，所以結(jié)論A，C不正確。因方陣A可逆的充要條件是其行列式不等于0，所以結(jié)論B，E正確。又非奇異矩陣就是可逆矩陣，故答案為B，D，E。例3填空題 可逆矩陣A滿足條件，則           .分析：本題主要考察兩個(gè)內(nèi)容。第一是矩陣乘法對(duì)加法的分配律，由，知。

48、第二是可逆矩陣的定義，由，可知。故答案為。事實(shí)上，我們由，且存在，等式兩邊同時(shí)左乘，也可得出答案。 設(shè)A，B是兩個(gè)三階矩陣，且，那么       .分析：本題主要考察三個(gè)公式：第一，若A為n階矩陣，k為常數(shù)，則。第二，若A，B為n階方陣，則。第三，。所以，故答案為-1. 矩陣的逆矩陣是         .分析：本題主要考察學(xué)員應(yīng)用公式求逆矩陣的能力。因，故答案為.例4計(jì)算題或應(yīng)用題 設(shè)，求.分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)于矩陣加法、乘法、轉(zhuǎn)置及數(shù)與矩陣乘法這些基

49、本定義的理解。解：因   ，所以    . 已知矩陣，又X為可逆矩陣，并滿足矩陣方程，求X。分析：本題主要考察三個(gè)內(nèi)容。第一，如何判定一個(gè)矩陣是否可逆，n階矩陣可逆的充分必要條件為。第二，利用公式化簡矩陣方程。第三，如何求可逆矩陣的逆矩陣，即。解：因?yàn)?，所以A和B是可逆矩陣。又因X是可逆矩陣，則，從而，故。又因，所以，故.例5證明題。 設(shè)A與B都是n階矩陣，如果，則A，B都是可逆矩陣，并且，.分析：本題主要考察學(xué)員對(duì)公式的應(yīng)用及熟悉可逆矩陣的判定方法。證明：因?yàn)?，所以，即，從而，因此A和B都是可逆矩陣。在等式兩邊左乘，得，所以，從而，即。這樣。 設(shè)A為n階矩陣，證明：若對(duì)任意n元向量都有，則.分析：本題主要考察三方面內(nèi)容。第一，要證A為零矩陣，只須證明A中每一個(gè)元素全為0。第二，矩陣乘法與矩陣相等的有關(guān)概念。第三如何從滿足條件的任意多個(gè)n元向量中選出一些比較有用的特殊向量。證明：設(shè)，取，由知，從而. 設(shè)A為奇數(shù)階的反對(duì)稱矩陣，求證：.分析：本題主要考察三方面內(nèi)容。第一，反對(duì)