求函數(shù)極限方法和技巧匯總

1、求函數(shù)極限方法和技巧匯總【26種技巧】求函數(shù)極限的方法u運(yùn)用極限的定夏例：用極限定義證明:卄L 3x + 2.nm-二I宀x 2證:由Vf0啦心BJgO|x-2|5時(shí)，就有由朗數(shù)極限占_$定義有:lim? -Sx + 2x-2 1 Ox) 4 (2J2- 6x - 20)十4 5十4 6國(guó) + (卅 +10 x + 12)S+2)(x* 3* -10)人亠2(龍+2)(=2 +5. +6)解：4 J + x+ YfY.CJ例：求曲乍;2、十2* + 7x2+ 16x+ 123、約去零因式解潢式專四r(x1-3-10) .A-)(X+R)= lim ；-=lim-KT 2(x1十5x十6)* (

2、x +y)(x +r)二lim _- = -YL通分法(適用于 g-8 型例：求lirn( . - )大一S YX Vlim- =-iY* t5.利用無(wú)窮小雖性廟丈(將別足利用無(wú)窮小杲與仃界星Z乘積仍為無(wú)窮小雖的性應(yīng)) 設(shè)函數(shù)F(x)、gbc)滿足：lim/(x)= / r-ir.(IT) |g(x)|s(bl為正整數(shù))yy. lim g(r)/(x) = 0例：求limxsin丄,Tx解：由=0而sin-X解:c+x)-r-x)Cx)C-x)故原式=limr sin- = 0EX若飛心“則皿芮）若：怖.心2。 口 “力知?jiǎng)t曲帀例;求下列極限lim1 1-lim -1區(qū)+ Q【7x-解：由li

3、mtv + 5） = 8射、lim- = 由lim（j：-1） = 0故lim! =8t r- 17、等價(jià)無(wú)窮小代換法議久00都足同一極砒過(guò)程中的無(wú)窮小量.Mfra1*-7存在.旳P則lim 也存在，且冇lim= lim務(wù)1 cos r例:求極限lim嚴(yán)7 x sin f解：sinx、W.1-COSX - . lim- =21宀r sin r TT = 7cos JA .V2注在利用零價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí).一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以換.若以利. 差出現(xiàn)時(shí),不嚶輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后,往往改變了它的無(wú)窮小4U比的：階8、利用兩個(gè)重嚶的極限。(/)liir|4n* = |4-) = eXf X

4、(H我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(J)limSln0)g)(B)Iim(l +丄尸=e,igM t 8)0(0例：求下列函數(shù)極限、.In cosax(2)vlim-e In cosAxAr. 八、 卜 19、利用函數(shù)的連續(xù)件（適用于求函數(shù)連續(xù)點(diǎn)處的極限）e(/)liir|4n* = |()lim(l 4-) = eTO xf x(H我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(J)limSln0)g)+ 丄尸=e9(pM too)卩(x)例，求下列函數(shù)極限、.In cosax(2)vlim-e In cosAxAr. 八、 卜 1叭n、k I為正整XY+ T例，求下列|曲上攣=lim( +/)z/-lim(l

5、 1Ylim(l4*)2 =e = e f-tO)IK利用函數(shù)極限的存祀牡定理定理：計(jì)在兀的某空心鄰域內(nèi)恒冇(x)Wfh) Wh(Q H.冇:lim g(x) = lim h(x) = AFWoATE則極限!帆,/(*)存柱，且右lim f(x) = AJCTX*.例；求lim (al, n0)斛： 當(dāng)X左1時(shí),存在唯-的正整數(shù)k,使k WxWk+1于是當(dāng)n0時(shí)有:乂曲當(dāng)XT十 8 時(shí)kT2有kn1= /a0丄令:則lim哼二亦笛工xwC(l+T及l(fā)im*T4=012.用A右極限&極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分啟點(diǎn)處的極限.以及用定義求極限等情形定理：函數(shù)極限凹丿4【1.等于人的充分必烷

6、條件壯左極限匕:/及右極 限!凹力祁存在且都呼于A。即冇：lim f(x) = 1 o lim f(x) Jim f(x)=A由lim f(x) = lim /(x) = -化litn /(x) = -rT 乂lim /(.v) = Km -= limVx -) = 13、羅比塔法則(適用于未定式極限) 定理土若lim/(x) ulim /(.v)一廿T,X0,x0)ln(14-A2)n 才解：令f(x=ex_(+)%，g(x)= I n(l十/(“)=宀(+燈%,gW=TA-i K/ (x) = /十(十w倉(cāng)=：( + x )山于 /() = / ()= %(e) =g ()= 但/() =

7、TH從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到.屮一(1 + 2刃%Il m-:- = lini一(1 + 2x)丁 +(1 + 2x)-%-=lim-r-=-=1z ln(l + A2)z2vz 2(l-x2)1 +于(1 + x2)222由lim lnx = c, lim xu=Mf 8X OO=00故此例幅于二型|仃羅比塔法則冇：lim巴lim= S HC4XCLV14.利用泰勒公式對(duì)于求茨些不定代的極限水說(shuō)，應(yīng)用泰勒公匕便用羅比塔法則更為方便，下列為 常用的展開式：Ix ln( + x) = - 十十(一、) 十o(xn)丫n5、(、f+av十込2宀宀曲) 丫！刃！6、 -= 1 + x + x2+

8、.+ xv+tCr)1-x上述展開式中的符號(hào)o(F)都有：泰初公式，當(dāng)XT冇于是 1 x、+ ()+ (耳)一、-o(x)nY c15、利用抄格朗H中值定理 定理:若病足如F條件:（I F在閃區(qū)間上連續(xù)仃1）在 SR內(nèi)可導(dǎo)則在（赳丄）內(nèi)至少存在一點(diǎn)？ 使得此式受形可為:/（“-./（“=八Q+e（”Q）（V、）x _ sin x0U：求lim-；、Tx-sinx解:令f(x)=對(duì)它應(yīng)用中值定理得 = /(A)_ /(sin x)=(耳 _sin x)f (sin x + O(X _ $in x) ( V # V )即x _ sini;=f (sinx4-0(x-sinx)( v0 v) x-s

9、inx1 f(x)二連續(xù)lim/ (sin.r +0(x-sin x) = f (0) = 1 r-iOX _從而彳j: lim-二x-sinjf16求代數(shù)兩數(shù)的極限方法有理式的情況.即若:仃）當(dāng)片一8 時(shí)，有a.xm十a(chǎn)x十.+ am&疋+方才一、+.+億仃I）當(dāng)時(shí)冇:若。 （兒）工0 Px)P(x)Jig)0(.vo)若6（0）=P(j(rfu則lim=l Q(x)若Q(x.) = tP(-v.) = 則分別考慮若為P(x)= 的s盍根,H|I :P(x) =(X-x.yRCO也為QM= 的r重根，即:Q(x) = (x-x.y Q(x)可得結(jié)論如下;(x-x. rrp)_,s r

10、R()1QMQb.)8,s rlimP(x)= imQ(x) WTR(x) =PMQM+兀朋“十.+ am(a0*O,6o*0)a.V00lim-= limE例，*下列函數(shù)的極限解:分子.分母的最高次方根同,故r(_廣(斥+工廣八.lim-=-i (S + )LA P(x)=F口十J. P0)= A t?(.v) = AJ一 +,0()= ?P(x),Q(x)必含有(x-1)Z因子.即有1的幣根故有:(2)無(wú)理式的惜況。雖然無(wú)理式惜況不同于冇理式.但求極限方法完全類I從 這里就 不再一 i 詳述.在這里我生鑒舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。僧b求lim (/i +Jx +頁(yè)-Vx)r+斛：lim

11、(Jx + 7坂-Vv)tn. x + Jx +- X=hmf=-眼+五+長(zhǎng)二、多種方法的綜合運(yùn)用上述介紹求解極隈的堆本方法.然而.每一道題冃并非只有一種方法因此我們 在解燈V要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技乃，使得計(jì)算人為簡(jiǎn)化elim(2尤-3)如(女+2廣(2x +l)-ZT一”丫心(X-)(X+ +)_W一才+亍二limj牙+心+亍如卜! I-COSX例：求lim；5 X siZ解法一:r1 - COS A-2呵rZ x sin.vsinxlim-rm E 2 sin 2cosx +注:此法采用羅比塔法則配介便用兩個(gè)亟要極限法解法二:x2 22sin sin 二lim；-= lim-sinx

12、，亠x注,此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)臣要極限法.斛法三:.x-cosxr-COSJTxxsinAJ.vx sinx Inn- =Inn-=lim-； = lim-Tj(sinxKTX.X ixxf x x注;此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合便用無(wú)夯小代換法以及羅比培法則2.vsinx= lim、.2xACOS AA+ 2x sin xsin L cos /+sinx2-COSThmr y xsin + x sin22解仏四: -COSA：. -COSJTF十Yxli m- - = lim-=】im:-r=Ex sinxexsinx宀sinx注:此解法利用了無(wú)窮小代換法剋合便用兩個(gè)車浚極琨的方法。解法九:i22sin2.1 cos.vlim-廠-lim ,2e Lsinxjr sinx2(?)2異I-lim /=lim ,=i jr2(x2)e *2注:此解沬利用“三角和養(yǎng)化枳法粗介便用無(wú)另小代換法。. -cos.r1-COSM.sin w lirn-