勾股定理的逆定理的證明_第1頁
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1、用“勾股定理”證明“勾股定理的逆定理”反證法湛江市愛周中學(xué) 伍彩梅八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的勾股定理，是幾何學(xué)中幾個(gè)最重要的定理之一，它揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，內(nèi)容是：“如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為斜邊長(zhǎng)為，那么”。勾股定理的逆定理給出了一個(gè)用代數(shù)運(yùn)算判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法，內(nèi)容是：“如果三角形的三邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形”。這兩大定理都來源于實(shí)踐，并在實(shí)踐中得到廣泛的應(yīng)用。定理的證明，有助于加深對(duì)定理得理解，有助于實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍。教材中，勾股定理的證明采用了多種方法，學(xué)生容易理解。而課本里用三角形全等證明了該定理。勾股定理的逆定理，只用“三角

2、形全等”來證明，這種方法學(xué)生一時(shí)不易理解。實(shí)際上，我們也可以用“勾股定理”來證明“勾股定理的逆定理”反證法。表述如下：已知ABC的三邊長(zhǎng)滿足，求證：ABC是直角三角形。用反證法證明如下：由，可知邊最大，即ACB最大。只要證明了ACB=90°，即ABC是直角三角形。分兩種情況進(jìn)行。（一） 假設(shè)ABC不是直角三角形而是鈍角三角形，則C90°。如圖（1）圖（1）ABCacb圖（2）過B作BD垂直于AC的延長(zhǎng)線于D，垂足為D。如圖（2）ABCacbD 圖（2）在圖（2）中，ABD與CBD都是直角三角形，根據(jù)勾股定理有： （1） （2）由（1）得 （3）把（2）代入（3）得 （4）對(duì)比已知條件 可得 把代入（2）得，則因此點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，ACB=ADB=90°，結(jié)論與假設(shè)矛盾，所以ABC是直角三角形。（二） 假設(shè)ABC不是直角三角形而是銳角三角形，則C90°。如圖(3)圖（3）ABCcba過B作BD垂直于AC于D，垂足為D。如圖（4）圖（4）DABCcba其中BD=，AD=，DC=，在圖（4）中，ABD與CBD都是直角三角形，根據(jù)勾股定理有： （5） （6）把（5）-（6）得整理得 （7）對(duì)比已知條件 得 所以 則點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，ACB=ADB=90°，結(jié)

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