勾股定理逆定理及綜合應(yīng)用

1、勾股定理逆定理及綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：掌握勾股定理逆定理，并能結(jié)合勾股定理進(jìn)行綜合應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容解析：1勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形2. 滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)常用的勾股數(shù) 有3、4、5；6、8、10；5、12、13等.3. 應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，先計(jì)算較小兩邊的平方和，再把它和最大邊的平方比較.4. 判定一個(gè)直角三角形，除了可根據(jù)定義去證明它有一個(gè)直角外，還可以采用勾股定理的逆定理，即 去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長(zhǎng)邊的平方，這是代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用.例題解析：【例1】

2、如圖，已知四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.分析：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)特征，聯(lián)想勾股數(shù)，連接AC，可實(shí)現(xiàn)四邊形向三角形轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用勾股定理的逆定理可判定ACD是直角三角形.解：連接AC，在RtABC中，AC2=AB2BC2=3242=25， AC=5.在ACD中， AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169， AC2CD2=AD2， ACD=90°故S四邊形ABCD=SABCSACD=AB·BCAC·CD=×3×4×5×12=630=36

3、.答：四邊形ABCD的面積為：36.【例2】如下圖，南北向MN為我國(guó)領(lǐng)域，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海.上午9時(shí)50分，我反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知正在MN線(xiàn)上巡邏的我國(guó)反走私艇B.已知A、C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇測(cè)得離B艇的距離是12海里.若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？分析：為減小思考問(wèn)題的“跨度”，可將原問(wèn)題分解成下述“子問(wèn)題”：（1）ABC是什么類(lèi)型的三角形？（2）走私艇C進(jìn)入我領(lǐng)海的最近距離是多少？（3）走私艇C最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入？這樣問(wèn)題就可迎刃而解.解：設(shè)MN交AC

4、于E，則BEC=900.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，ABC是直角三角形，ABC=900.又MNCE，走私艇C進(jìn)入我領(lǐng)海的最近距離是線(xiàn)段CE的長(zhǎng)，則CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，CE=， ÷13=0.85（小時(shí)）， 0.85×60=51（分）.9時(shí)50分+51分=10時(shí)41分.答：走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海.【例3】如圖，AB為一棵大樹(shù)，在樹(shù)上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹(shù)頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地

5、面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹(shù)高AB.解：設(shè)AD=x米，則AB為（10+x）米，AC為（15-x）米，BC為5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，AB=10+x=12（米）答：樹(shù)高AB為12米?！纠?】如圖所示，有一塊塑料模板ABCD，長(zhǎng)為10，寬為4，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)并在AD上平行移動(dòng)：能否使你的三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q，與BC交

6、于點(diǎn)E，能否使CE=2？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：設(shè)AP=x，則根據(jù)題意可得化簡(jiǎn)可得解得x=2或8答：存在，AP=2或8.過(guò)點(diǎn)E作BC邊的垂線(xiàn)可轉(zhuǎn)化為，解得AP=4.【例5】如圖，E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點(diǎn)，且AB=4，CE=BC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AF、AE，問(wèn)AEF是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF是直角三角形.【例6】如圖，已知等腰ABC的底邊BC=20cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD=16cm，BD=12cm，求ABC的周長(zhǎng).解：由BD2+DC2=122+162=202=BC2，得CDAB，又AC=AB=BD+AD=12+AD，在RtADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故ABC的周長(zhǎng)為：2AB+BC=cm【例7】如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù)解：如下圖，將APC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合