工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第六版第一章PPT課件

1、第一章第一章 行列式行列式一一. . 二（三）階行列式二（三）階行列式二二. 排列與逆序排列與逆序三三. n 階行列式的定義階行列式的定義四四. 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)五五. 行列式按一行（列）展開行列式按一行（列）展開六六. Cramer 法則法則 行列式概念的形成行列式概念的形成 行列式的基本性質(zhì)及計(jì)算方法行列式的基本性質(zhì)及計(jì)算方法（定義）（定義） 利用行列式求解線性方程組利用行列式求解線性方程組線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析

2、幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。線性代數(shù)是理工類、經(jīng)管類數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容 由于費(fèi)馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維向量空間的過渡 矩陣論始于凱萊，在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中線性映射的概念在大多數(shù)情況下能夠擺脫矩陣計(jì)算而引導(dǎo)到固有的推

3、理，即是說不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環(huán)作為算子之定義域，這就引向模的概念，這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀(jì)所研究過的情況。 “代數(shù)”這一個(gè)詞在我國出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，一直沿用至今。 線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。 主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)）。 線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在

4、各種代數(shù)分支中占居首要地位； 在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；。 該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的； 隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問題又可以計(jì)算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。 課程的性質(zhì)與任務(wù) 線性代數(shù)課程是高等學(xué)校理工科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基

5、礎(chǔ)理論課，它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。尤其是計(jì)算機(jī)日益發(fā)展和普及的今天，使線性代數(shù)成為工科學(xué)生所必備的基礎(chǔ)理論知識和重要的數(shù)學(xué)工具。線性代數(shù)是為培養(yǎng)我國社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專門人才服務(wù)的。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得： 、行列式 、矩陣 、向量組的相關(guān)性、矩陣的秩 、線性方程組 、相似矩陣與二次型 等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 在傳授知識的同時(shí)，要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析和解決問題的能

6、力。 本章主要討論以上三個(gè)問題。本章主要討論以上三個(gè)問題。首先來看行列式概念的形成首先來看行列式概念的形成問題的提出：問題的提出：求解二、三元線性方程組求解二、三元線性方程組 二階、三階行列式二階、三階行列式引出引出一一. 二階與三階行列式二階與三階行列式1. 二階行列式二階行列式二元線性方程組：二元線性方程組： 22221211212111bxaxabxaxa由消元法，得由消元法，得 21122211121112112211212111baxaaxaaabxaaxaa得得211211221122211)(abbaxaaaa 同理，得同理，得212221121122211)(baabxaaaa

7、 于是，當(dāng)于是，當(dāng)021122211 aaaa時(shí)，方程組有唯一解時(shí)，方程組有唯一解211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 為便于記憶，引進(jìn)為便于記憶，引進(jìn)記號記號22211211aaaaD 21122211aaaa 稱記號稱記號22211211aaaaD 為為二階行列式二階行列式其中其中 ，數(shù)，數(shù))2 , 1; 2 , 1( jiaij稱為元素稱為元素 為行標(biāo)，表明元素位于第為行標(biāo)，表明元素位于第 行行ii 為列標(biāo)，表明元素位于第為列標(biāo)，表明元素位于第 列列jj注：注：(1) 二階行列式二階行列式 算出來是一個(gè)數(shù)。算出來是一個(gè)數(shù)。22

8、211211aaaa(2) 記憶方法：對角線法則記憶方法：對角線法則主對角線上兩元素之積主對角線上兩元素之積 副對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積因此，上述二元線性方程組的解可表示為因此，上述二元線性方程組的解可表示為211222112122211aaaabaabx 2221211ababD 211222112112112aaaaabbax 2211111babaD 綜上，令綜上，令22211211aaaaD 2221211ababD 2211112babaD 則，則，DDx11 DDx22 稱稱 D 為方程組的系數(shù)行列式。為方程組的系數(shù)行列式。例例1： 解方程組解方程組 12122321

9、21xxxx解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以, 271411 DDx372122 DDx2. 三階行列式三階行列式類似地，為討論三元線性方程組類似地，為討論三元線性方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa引進(jìn)引進(jìn)記號記號333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 稱之為稱之為三階行列式三階行列式其中其中 ，數(shù)，數(shù))3 , 2 ,

10、 1; 3 , 2 , 1( jiaij稱為元素稱為元素 為行標(biāo)，為行標(biāo)，i 為列標(biāo)。為列標(biāo)。j注：注：(1) 三階行列式三階行列式 算出來也是一個(gè)數(shù)。算出來也是一個(gè)數(shù)。(2) 記憶方法：對角線法則記憶方法：對角線法則例：例：381141102 41648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(2 對于三元線性方程組，若其系數(shù)行列式對于三元線性方程組，若其系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 0 可以可以驗(yàn)證驗(yàn)證，方程組有唯一解，方程組有唯一解，DDx11 DDx22 DDx33 其中，其中，3332323222131211aabaabaab

11、D 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 二二. 排列與逆序排列與逆序定義定義1：由自然數(shù)由自然數(shù)1，2，n 組成的一個(gè)有序數(shù)組組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)稱為一個(gè)n 元元排列排列。例如：例如： 1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是數(shù)都是數(shù)1，2，3，4，5的一個(gè)排列。的一個(gè)排列。 考慮：考慮：n個(gè)數(shù)的不同排列有個(gè)數(shù)的不同排列有 個(gè)。個(gè)。n !自然排列：自然排列： 按數(shù)的大小次序，由小到大排列。按數(shù)的大小次序，由小到大排列?？紤]：考慮：n元排列中，自然排列只有一種元排列中，自然排列只有一種除此之外，任一除

12、此之外，任一n元排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼元排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小數(shù)碼之前的情況。排在較小數(shù)碼之前的情況。定義定義2： 在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序逆序。一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的奇排列：奇排列： 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：偶排列： 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。),(21niii 通常記為通常記為逆序數(shù)逆序數(shù)計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法：計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法：法法1：n個(gè)數(shù)的任一個(gè)數(shù)的任一n元

13、排列，先看數(shù)元排列，先看數(shù)1，看有多少個(gè)比，看有多少個(gè)比1大的數(shù)大的數(shù)排在排在1前面，記為前面，記為; 1m再看有多少個(gè)比再看有多少個(gè)比2大的數(shù)排在大的數(shù)排在2前面，記為前面，記為; 2m繼續(xù)下去，最后至數(shù)繼續(xù)下去，最后至數(shù)n，前面比前面比n大的數(shù)顯然沒有，大的數(shù)顯然沒有，; 0 nm記為記為則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為nmmm 21 法法2： n 元排列元排列niii,21的逆序數(shù)的逆序數(shù) ),(21niii 小小的的數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)后后面面比比數(shù)數(shù) 11ii小小的的數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)后后面面比比數(shù)數(shù) 22ii 小小的的數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)后后面面比比數(shù)數(shù) 11 nnii法法3： ),(2

14、1niii 大大的的數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)前前面面比比數(shù)數(shù) nnii大大的的數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)前前面面比比數(shù)數(shù) 11 nnii 大大的的數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)前前面面比比數(shù)數(shù) 22ii 例例1：求排列求排列 3，2，5，1，4 的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。解：解：（法（法1）, 31 m, 12 m, 03 m, 14 m05 m5113)32514( （法（法2）500212)32514( 后后前前 （法（法3）前前后后 501031)32514( 例例2：求排列求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。9 考慮，在考慮，在 1，2，3 的全排列中的全排列中有有 個(gè)偶排列：個(gè)偶排列：有有 個(gè)奇排列：個(gè)奇

15、排列：123，231，312132，213，32133一般說來，在一般說來，在n個(gè)數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半個(gè)數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半定義定義3： 把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼不動(dòng)，叫做對該排列作一次對換，簡稱不動(dòng)，叫做對該排列作一次對換，簡稱對換對換。將相鄰的兩個(gè)數(shù)對換，稱為將相鄰的兩個(gè)數(shù)對換，稱為相鄰對換相鄰對換。定理定理1：對換改變排列的奇偶性。對換改變排列的奇偶性。證明思路：證明思路： 先證相鄰變換，再證一般對換。先證相鄰變換，再證一般對換。定理定理2：2 n時(shí)，時(shí)，n個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占個(gè)數(shù)的所有排列中，

16、奇偶排列各占一半，各為一半，各為2!n個(gè)。個(gè)。證明：證明： 設(shè)設(shè)n個(gè)數(shù)的排列中，個(gè)數(shù)的排列中，奇排列有奇排列有 p 個(gè)，偶排列有個(gè)，偶排列有 q 個(gè)，個(gè)，則則 pqn！對對 p 個(gè)奇排列，施行同一對換，個(gè)奇排列，施行同一對換，則由定理則由定理1得到得到 p 個(gè)偶排列。個(gè)偶排列。（而且是（而且是p個(gè)不同的偶排列）個(gè)不同的偶排列）因?yàn)榭偣灿幸驗(yàn)榭偣灿?q 個(gè)偶排列，所以個(gè)偶排列，所以qp 同理同理pq 所以所以2!nqp 三三. n階行列式的定義階行列式的定義觀察三階行列式觀察三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312

17、312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 尋找尋找規(guī)律規(guī)律：1. 三階行列式是三階行列式是 3！ 項(xiàng)的代數(shù)和。項(xiàng)的代數(shù)和。2. 每一項(xiàng)都是每一項(xiàng)都是 元素的乘積。元素的乘積。3.（每項(xiàng)的符號規(guī)律）（每項(xiàng)的符號規(guī)律）取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的 3 個(gè)個(gè)其任一項(xiàng)可寫成：其任一項(xiàng)可寫成：321321jjjaaa其中其中321jjj是是123的一個(gè)排列的一個(gè)排列當(dāng)當(dāng)321jjj是偶排列時(shí)，項(xiàng)是偶排列時(shí)，項(xiàng)321321jjjaaa取正號取正號當(dāng)當(dāng)321jjj是奇排列時(shí)，項(xiàng)是奇排列時(shí)，項(xiàng)321321jjjaaa取負(fù)號取負(fù)號二階行列式有類似規(guī)律。二階行列式有類似規(guī)律。根據(jù)二、三階

18、行列式的構(gòu)造規(guī)律，我們來定義根據(jù)二、三階行列式的構(gòu)造規(guī)律，我們來定義n階行列式階行列式定義定義1：n 階行列式階行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211指的是指的是n！項(xiàng)的代數(shù)和，項(xiàng)的代數(shù)和，其中每一項(xiàng)都是取自不同行、不同列的其中每一項(xiàng)都是取自不同行、不同列的 n 個(gè)元素的乘積，個(gè)元素的乘積，其一般項(xiàng)為其一般項(xiàng)為,2121nnjjjaaa這里這里njjj21是是12n的一個(gè)排列的一個(gè)排列當(dāng)當(dāng)是偶排列時(shí)，項(xiàng)前面帶正號是偶排列時(shí)，項(xiàng)前面帶正號njjj21當(dāng)當(dāng)是奇排列時(shí)，項(xiàng)前面帶負(fù)號是奇排列時(shí)，項(xiàng)前面帶負(fù)號njjj21即即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 n

19、nnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( 其中其中 njjj21表示對所有表示對所有n元排列取和元排列取和注：注：(1) 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式時(shí)，一階行列式aa 此處此處a不是不是a的絕對值，的絕對值， 例如行列式例如行列式11 (2) 定義表明，計(jì)算定義表明，計(jì)算n階行列式，首先必須作出所有的階行列式，首先必須作出所有的可能的位于不同行、不同列的可能的位于不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積，把這些個(gè)元素的乘積，把這些乘積的元素的第一個(gè)下標(biāo)（行標(biāo)）按自然順序排列，乘積的元素的第一個(gè)下標(biāo)（行標(biāo)）按自然順序排列，然后看第二個(gè)下標(biāo)（列標(biāo)）所成的奇偶性來決定這一然后看第二個(gè)下標(biāo)（列標(biāo)）

20、所成的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號。項(xiàng)的符號。例例1：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子2311aa的項(xiàng)。的項(xiàng)。例例2：若若443312432211432213 , ,kikikiaaaaaaaaaaaa為四階行列式的項(xiàng)，試確定為四階行列式的項(xiàng)，試確定i與與k，使前兩項(xiàng)帶正號，使前兩項(xiàng)帶正號，后一項(xiàng)帶負(fù)號。后一項(xiàng)帶負(fù)號。例例4： 計(jì)算四階行列式計(jì)算四階行列式hgfedcbaD00000000 例例3： 計(jì)算行列式計(jì)算行列式0004003002001000 D四個(gè)結(jié)論：四個(gè)結(jié)論：(1)上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為（主對角線下側(cè)元素都為0）nnnnaaaaaaD0

21、0022211211 nnaaa2211 (2)下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為（主對角線上側(cè)元素都為0）nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 (3)nnaaaD2211 nnaaa2211 （顯然）（顯然）(4)11, 21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 符號定理：符號定理：令令nnjijijiaaa2211是是n階行列式中的任一項(xiàng)，階行列式中的任一項(xiàng)，則項(xiàng)則項(xiàng)nnjijijiaaa2211的符號等于的符號等于)()(2121)1(nnjjjiii 證明：證明： 由行列式定義可知，確定項(xiàng)由行列式定義可知，確定項(xiàng))1(2

22、211nnjijijiaaa的符號，的符號，需要把各元素的次序進(jìn)行調(diào)動(dòng)，使其行標(biāo)成自然排列。需要把各元素的次序進(jìn)行調(diào)動(dòng)，使其行標(biāo)成自然排列。為此，我們先來研究若交換項(xiàng)（為此，我們先來研究若交換項(xiàng)（1）中某兩個(gè)元素的）中某兩個(gè)元素的位置時(shí)，其行標(biāo)和列標(biāo)排列的奇偶性如何變化。位置時(shí)，其行標(biāo)和列標(biāo)排列的奇偶性如何變化。對換任意兩元素，相當(dāng)于項(xiàng)（對換任意兩元素，相當(dāng)于項(xiàng)（1）的元素行標(biāo)排列及）的元素行標(biāo)排列及列標(biāo)排列同時(shí)經(jīng)過一次對換。列標(biāo)排列同時(shí)經(jīng)過一次對換。設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為s，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t。設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)經(jīng)過一次對換

23、后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為s 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t 由定理，對換改變排列的奇偶性由定理，對換改變排列的奇偶性所以，所以，ss 是奇數(shù)是奇數(shù)tt 也是奇數(shù)也是奇數(shù)所以所以)()(ttss 是偶數(shù)，是偶數(shù)，即即)()(tsts 是偶數(shù)，是偶數(shù)，所以所以ts 與與ts 同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù)。同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù)。即，交換項(xiàng)（即，交換項(xiàng)（1）中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)和列標(biāo)）中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)和列標(biāo)所構(gòu)成的排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。所構(gòu)成的排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。另一方面，經(jīng)過若干次對換項(xiàng)（另一方面，經(jīng)過若干次對換項(xiàng)（1）中元素的次序，總可以）中元素的次序，總

24、可以把項(xiàng)（把項(xiàng)（1）變?yōu)椋┳優(yōu)?2121nnkkkaaa所以所以tsts )1()1()()12(21)1(nkkkn )(21)1(nkkk 得證。得證。由此，得行列式的等價(jià)定義由此，得行列式的等價(jià)定義nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnnnnniiijjjjijijijjjiiiaaa212122112121)()()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1( 四四. 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。nnnnnnaaaaaaa

25、aaD212222111211 nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111 稱為稱為D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式證明：證明：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211 設(shè)設(shè)則則jiijab ), 2 , 1,(nji 由行列式定義由行列式定義 nnnjjjnjjjjjjTbbbD21212121)()1( Daaannnjjjnjjjjjj 21212121)()1( 說明說明：行列式中行與列地位相同，對行成立的性質(zhì)：行列式中行與列地位相同，對行成立的性質(zhì) 對列也成立，反之亦然。對列也成立，反之亦然。性質(zhì)性

26、質(zhì)2： 互換行列式的兩行（列），行列式的值變號?；Q行列式的兩行（列），行列式的值變號。證明：證明：設(shè)設(shè)nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 交換交換s、t 兩行，得兩行，得nnnnsnsstnttnaaaaaaaaaaaaD212121112111 s行行t行行由行列式定義可知，由行列式定義可知，D中任一項(xiàng)中任一項(xiàng)可以寫成可以寫成ntsntsnjtjsjjjjjjaaaa111)()1( 因?yàn)橐驗(yàn)閚stntsnjsjtjjnjtjsjjaaaaaaaa1111 （2）（1）顯然這是顯然這是1D中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積，而

27、且個(gè)元素的乘積，而且（2）式右端的）式右端的n個(gè)元素是按它們在個(gè)元素是按它們在1D中所處的行標(biāo)為自然順序中所處的行標(biāo)為自然順序排好的。因此排好的。因此nstnstnjsjtjjjjjjaaaa111)()1( 是是1D中的一項(xiàng)。中的一項(xiàng)。（3）因?yàn)?，排列因?yàn)?，排列ntsjjjj1與排列與排列nstjjjj1的的奇偶性相反，所以項(xiàng)（奇偶性相反，所以項(xiàng)（1）與項(xiàng)（）與項(xiàng)（3）相差一符號，這就證明）相差一符號，這就證明了了D的任一項(xiàng)的反號是的任一項(xiàng)的反號是1D中的項(xiàng)，同樣可以證明中的項(xiàng)，同樣可以證明1D中的中的任一項(xiàng)的反號也是任一項(xiàng)的反號也是D中的項(xiàng)。中的項(xiàng)。因此，因此，DD記法記法行列式的第行列式

28、的第s行：行：sr行列式的第行列式的第s列：列：sc交換交換s、t兩行：兩行：tsrr 交換交換s、t兩列：兩列：tscc 推論：推論：如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為 0 。證明：證明： 把相同的兩行互換，有把相同的兩行互換，有DD，所以所以 D0性質(zhì)性質(zhì)3：用數(shù)用數(shù) k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)等于用數(shù) k 乘此行列式。乘此行列式。推論：推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面記法記法第第s行乘以行乘以k：skr第第s列乘以列乘以k:skcnnn