機械制圖第二章投影基礎(chǔ)

1、機械制圖第二章投影基礎(chǔ)機械制圖第二章投影基礎(chǔ)制圖基本知識與技能制圖基本知識與技能1投影基礎(chǔ)投影基礎(chǔ)2基本幾何體基本幾何體3組合體組合體4畫法幾何部分畫法幾何部分點的投影點的投影直線的投影直線的投影平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置正投影法與三視圖正投影法與三視圖投影基礎(chǔ)投影基礎(chǔ)正投影法正投影法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法投影法就是投射線通過物體，向選定的投影法就是投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。面投射，并在該面上得到圖形的方法。所有的投射線都通過投射中所有的投射線都通過投射中心的投影法。

2、心的投影法。投影中心距離投影面無窮投影中心距離投影面無窮遠時，可視為所有的投射遠時，可視為所有的投射線都相互平行。線都相互平行。正投影法正投影法中心投影法中心投影法投射線投射線投射中心投射中心物體物體投影面投影面投影投影物體位置改變，物體位置改變，投影大小也改變投影大小也改變投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。的大小有影響。度量性差度量性差投影三要素：空間物投影三要素：空間物體、投射線、投影面。體、投射線、投影面。斜投影法斜投影法投射線互相平行且投射線互相平行且垂直于投影面垂直于投影面投射線互相平行且投射線互相平行且傾斜于投

3、影面傾斜于投影面正投影法正投影法正投影法正投影法平行投影法平行投影法投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性好度量性好工程圖樣多數(shù)采用工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。正投影法繪制。正投影法正投影法平行投影的基本性質(zhì)平行投影的基本性質(zhì) 同素性同素性(類似性類似性)點的投影仍是點，直線的投影一般仍為直線。點的投影仍是點，直線的投影一般仍為直線。真實性真實性當(dāng)直線或平面與投影面平行時，則直線或平面在該投影面上當(dāng)直線或平面與投影面平行時，則直線或平面在該投影面上的投影反映實長或?qū)嵭?。的投影反映實長或?qū)嵭?。積聚性積聚性當(dāng)直線或平面與投影面垂直時，則直線或平面在該投

4、影面上當(dāng)直線或平面與投影面垂直時，則直線或平面在該投影面上的投影積聚成一點或一直線。的投影積聚成一點或一直線。正投影法正投影法正投影法的基本性質(zhì)正投影法的基本性質(zhì) 真實性真實性積聚性積聚性同素性同素性(類似性類似性)主視圖主視圖(front view)(front view)：在正投影面上的投影。在正投影面上的投影。俯視圖俯視圖(vertical view)(vertical view)：在水平投影面上的投影。在水平投影面上的投影。左視圖左視圖(left view)(left view)：在側(cè)投影面上的投影。在側(cè)投影面上的投影。VWH視圖：在由三個相互垂直的投影面所構(gòu)成的投影體視圖：在由三個相

5、互垂直的投影面所構(gòu)成的投影體 系中，用正投影法所繪制出的形體的圖形。系中，用正投影法所繪制出的形體的圖形。三視圖三視圖右視圖右視圖 主視圖主視圖俯視圖俯視圖 左視圖左視圖后視圖后視圖仰視圖仰視圖從右向左投射從右向左投射從下向上投射從下向上投射從后向前投射從后向前投射三視圖三視圖主視主視俯視俯視左視左視右視右視后視后視仰視仰視三視圖三視圖 以主視圖為基準以主視圖為基準,主視圖在中間，俯主視圖在中間，俯視圖位于主視圖的下方，左視圖在主視視圖位于主視圖的下方，左視圖在主視圖的正右方。圖的正右方。三視圖三視圖主視圖、俯視圖主視圖、俯視圖 長相等且對正。長相等且對正。主視圖、左視圖主視圖、左視圖 高相等

6、且平齊。高相等且平齊。俯視圖、左視圖俯視圖、左視圖 寬相等且對應(yīng)。寬相等且對應(yīng)。主視圖反映：上、下、左、右。主視圖反映：上、下、左、右。俯視圖反映：前、后、左、右。俯視圖反映：前、后、左、右。左視圖反映：上、下、前、后左視圖反映：上、下、前、后。長對正長對正高平齊高平齊寬相等寬相等這個特性就是多面體正投影的投影規(guī)律，形體整體結(jié)構(gòu)要這個特性就是多面體正投影的投影規(guī)律，形體整體結(jié)構(gòu)要符合投影規(guī)律，形體局部也要符合投影規(guī)律。三視圖的投符合投影規(guī)律，形體局部也要符合投影規(guī)律。三視圖的投影規(guī)律是指導(dǎo)畫圖和讀圖的最基本理論。影規(guī)律是指導(dǎo)畫圖和讀圖的最基本理論。三視圖三視圖點在三投影面體系中的投影點在三投影

7、面體系中的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律點的坐標點的坐標點點的的投投影影兩點的相對位置兩點的相對位置重影點重影點點的投影點的投影 Pb APB1B2B3a 已知空間點已知空間點A A和投影面和投影面P P，過點，過點A A作作P P面的投射線，其與面的投射線，其與P P面的交點面的交點aa即為即為A A在在H H面的投影。面的投影。一個空間點有其確定一個空間點有其確定的投影，但點的一個的投影，但點的一個投影不能確定該點的投影不能確定該點的空間位置?？臻g位置。點的投影點的投影點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影WHVoXa aa AY點點A A的水平投影

8、的水平投影點點A A的正面投影的正面投影點點A A的側(cè)面投影的側(cè)面投影WVHaaZaa yayaXYYO azx點的投影點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律(1)(1)點的正面和水平投影的連線垂直于點的正面和水平投影的連線垂直于OXOX軸，即軸，即aaOXaaOX軸。軸。WVHaaZaa yayaXYYO azx點的投影點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律(2)(2)點的正面投影到點的正面投影到OXOX軸的距離、軸的距離、 點的側(cè)面投影到點的側(cè)面投影到OYOY軸的距離，軸的距離， 反映空間點反映空間點A A到到H H面的距離面的距離; ;

9、WVHaaZaa yayaXYYO azx點的投影點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律點的水平投影到點的水平投影到OXOX軸的距離、軸的距離、點的側(cè)面投影到點的側(cè)面投影到OZOZ軸的距離，軸的距離，反映空間點反映空間點A A到到V V面的距離面的距離; ;WVHaaZaa yayaXYYO azx點的投影點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律點的正面投影到點的正面投影到OZOZ軸的距離、軸的距離、點的水平投影到點的水平投影到OYOY軸的距離，軸的距離，反映空間點反映空間點A A到到W W面的距離。面的距離。WVHaaZaa yayaXYYO

10、 azx點的投影點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律(3)(3)點的水平投影到點的水平投影到OXOX軸的距離等于軸的距離等于側(cè)面投影到側(cè)面投影到OZOZ軸的距離，即軸的距離，即aaaax x = aaaaz z。WVHaaZaa yayaXYYO azxa aaxa a aaxazaz解法一解法一: :通過作通過作4545線線使使a a a az z=aa=aax x解法二解法二: :用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a a a az z=aa=aax xa 點的投影例題點的投影例題已知點的兩個投影，求第三個投影。已知點的兩個投影，求第三個投影。點的投影點的投影點的坐標點

11、的坐標點的投影到投影軸的距離，反映該點在空間的一個坐標，點的投影到投影軸的距離，反映該點在空間的一個坐標，也就是該點到相應(yīng)投影面的距離。也就是該點到相應(yīng)投影面的距離。如點如點A A的空間位置可以的空間位置可以表示為表示為A(XA(XA A，Y YA A，Z ZA A) )其中其中: : X XA A=aa=aaZ Z=aa=aaY Y=Aa=Aa點點A A到到W W面的距離面的距離Y YA A=aa=aaX X=aa=aaZ Z=Aa=Aa點點A A到到V V面的距離面的距離 Z ZA A=aa=aaX X=aa=aaY Y=Aa=Aa點點A A到到H H面的距離面的距離 點的投影點的投影點的

12、坐標例題點的坐標例題已知空間點已知空間點A A的坐標為的坐標為A A（1515，2020，1010），求作點），求作點A A的三面投影圖。的三面投影圖。點的投影點的投影兩點的相對位置兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。兩點的正面投影和水平投影兩點的正面投影和水平投影反映出他們的左右位置反映出他們的左右位置兩點的正面投影和側(cè)面投影兩點的正面投影和側(cè)面投影反映出他們的上下位置反映出他們的上下位置兩點的水平投影和側(cè)面投影兩點的水平投影和側(cè)面投影反映出他們的前后位置反映出他們的前后位置b aa a b bXYHYWZ

13、點的投影點的投影兩點的相對位置練習(xí)兩點的相對位置練習(xí)判斷點判斷點A A、點、點B B的左右、上下、前后位置關(guān)系的左右、上下、前后位置關(guān)系點的投影點的投影重影點重影點位于同一條投射線上的兩點具有兩個相同的坐標，位于同一條投射線上的兩點具有兩個相同的坐標，在反映這兩個坐標的投影面上兩點投影重合，稱之在反映這兩個坐標的投影面上兩點投影重合，稱之為兩點對該投影面的重影點。為兩點對該投影面的重影點。A A點在點在B B點正前方，點正前方，故點故點A A可見，點可見，點B B不可見。不可見。規(guī)定把不可見點的投影規(guī)定把不可見點的投影打上括號打上括號點的投影作業(yè)點的投影作業(yè)練習(xí)冊：練習(xí)冊：P19P19、P20

14、P20、P21P21直線投影的畫法直線投影的畫法一般直線的投影特性一般直線的投影特性投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性直線上點的投影直線上點的投影直直線線的的投投影影兩直線的相對位置兩直線的相對位置直角投影定理直角投影定理直線的投影直線的投影直線投影的畫法直線投影的畫法 投影中，直線的投影一般仍未直線。根據(jù)幾何定理，投影中，直線的投影一般仍未直線。根據(jù)幾何定理，直線的空間位置可以由直線上的任意兩點來決定，而直線直線的空間位置可以由直線上的任意兩點來決定，而直線的投影，則可以由直線上兩點（通常取線段的兩個端點）的投影，則可以由直線上兩點（通常

15、取線段的兩個端點）的同面投影來確定。的同面投影來確定。ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=ABab=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosab=ABcosABabAMBa(b)(m)直線的投影直線的投影直線投影的畫法直線投影的畫法abb a b a 投影特性：投影特性：三個投影都與投影軸傾斜且三個投影都與投影軸傾斜且投影長度小于直線的實長。投影長度小于直線的實長。直線的投影直線的投影直線投影的畫法直線投影的畫法b a aba b

16、b aa b ba 水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線實長實長實長實長實長實長ba aa b b 投影特性：投影特性：在其平行的那個投影面上的投影反映實長。在其平行的那個投影面上的投影反映實長。另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。直線的投影直線的投影直線投影的畫法直線投影的畫法鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )投影特性：投影特性：在其垂直的投影面上，投影有積聚性。在其垂直的投影面上，投影有積聚性。另外兩個投影，反映線段實長。且垂直相應(yīng)的投影軸。另外兩個投影，反映線段實長。且垂

17、直相應(yīng)的投影軸。直線的投影直線的投影直線上點的投影直線上點的投影ABCVHbcc b a a直線上任意點的投影必在該直直線上任意點的投影必在該直線的同面投影上。線的同面投影上。直線上兩線段之比等于其投直線上兩線段之比等于其投影之比。影之比。AC:CB = ac:cb = ac:cb若點的投影有一個不在直線的同面投影上，則該點若點的投影有一個不在直線的同面投影上，則該點一定不在此直線上。一定不在此直線上。定比定理定比定理直線的投影例題直線的投影例題直線上點的投影直線上點的投影判斷點判斷點C C是否在線段是否在線段ABAB上。上。點點C C不在直不在直線線ABAB上上abca b c c abca

18、 b 點點C C在直在直線線ABAB上上例題：判斷點例題：判斷點K K是否在線段是否在線段ABAB上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故點故點K K不在不在ABAB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 還有其他的方還有其他的方法嗎？法嗎？直線的投影直線的投影兩直線的相對位置兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。 兩直線平行兩直線平行aVHc bcdABCDb d a 投影特性：投影特性：空間兩直線平行，則其空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，各同面投影必相互平行，反之亦然。反之亦然

19、。直線的投影直線的投影兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線平行例題兩直線平行例題abcdc a b d 判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直線，對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。平行，空間兩直線就平行。AB/CDAB/CD直線的投影直線的投影兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線平行例題兩直線平行例題判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。b d c a cbadd b a c 求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：ABAB與與CDCD不平行。不平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影 對于特殊位置直對于

20、特殊位置直線，只有兩個同面投線，只有兩個同面投影互相平行，空間直影互相平行，空間直線不一定平行。線不一定平行。直線的投影直線的投影兩直線的相對位置兩直線的相對位置2. 2. 兩直線相交兩直線相交HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 投影規(guī)律：投影規(guī)律：若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律?？臻g一點的投影規(guī)律。直線的投影直線的投影兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線相交例題兩直線相交例題cabb a c d k kd先作正面投影先作正面投影過過C C點作水平線點作水

21、平線CDCD與與ABAB相交。相交。直線的投影例題直線的投影例題兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線交叉兩直線交叉d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性：投影特性： 同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 交點交點 不符合空間一個不符合空間一個點的投影規(guī)律。點的投影規(guī)律。 交點交點 是兩直線上的是兩直線上的一對重影點的投影，用其一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間可幫助判斷兩直線的空間位置。位置。 1 1、2 2是面的重影點，是面的重影點，3 3、4 4是是H H面的重影點。面的重影點。123 4 既不平行又不相交的兩條直線，既不平行又不相交的兩條直線，稱為交叉直線。

22、交叉直線在空稱為交叉直線。交叉直線在空間不存在交點，然而他們的同間不存在交點，然而他們的同面投影卻可能出現(xiàn)相交的情況。面投影卻可能出現(xiàn)相交的情況。直線的投影直線的投影直角投影定理直角投影定理定理：定理： 垂直相交垂直相交(或交叉或交叉)的兩直線，的兩直線，若其中一直線平行于某投影面，若其中一直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影則兩直線在該投影面上的投影仍然反映直角關(guān)系。仍然反映直角關(guān)系。證明：證明：設(shè)設(shè) 直角邊直角邊BC/HBC/H面面因因 BCAB, BCAB, 同時同時BCBbBCBb所以所以 BCABba BCABba平面平面又因又因 BC/bc BC/bc故故 bcABba

23、bcABba平面平面因此因此 bcab bcab即即 abc abc為直角為直角 直線在直線在H H面上的投影面上的投影互相垂直互相垂直ABCabcHa c b abc.直線的投影直線的投影直角投影定理直角投影定理逆定理：逆定理： 若相交若相交(或交叉或交叉)兩直線在某兩直線在某一投影面上的投影為直角，且一投影面上的投影為直角，且其中一條直線平行于該投影面，其中一條直線平行于該投影面，則該兩直線在空間必相互垂直。則該兩直線在空間必相互垂直。ABCabcHa c b abc.直線的投影直線的投影直角投影定理練習(xí)直角投影定理練習(xí)d abca b c d過過C C點作直線點作直線CDCD與與ABAB

24、垂直相交。垂直相交。ABAB為正平線為正平線, , 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.直線的投影作業(yè)直線的投影作業(yè)練習(xí)冊：練習(xí)冊：P22P22、P23P23、P24P24、 P25P25、P26P26、P27P27一般平面的投影特性一般平面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性平面上的直線和點平面上的直線和點平平面面的的投投影影平面的表示方法平面的表示方法平面的投影平面的投影平面的表示方法平面的表示方法平面的投影平面的投影平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜投影特性投影特性平面平行投影面平面

25、平行投影面-投影就把實形現(xiàn)投影就把實形現(xiàn)平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實形性實形性類似性類似性積聚性積聚性平面的投影平面的投影一般平面的投影特性一般平面的投影特性a b c a c b abc三個投影都類似。三個投影都類似。投影特性：投影特性：平面的投影平面的投影投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性a b c a b c abc積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個投影面

26、上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。平面的投影平面的投影投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性abca c b c b a 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個投影面上的投影有類似性。平面的投影平面的投影平面上的直線和點平面上的直線和點平面上取任意直線平面上取任意直線判斷直線在平面判斷直線在平面內(nèi)的方法內(nèi)的方法 定理一定理一若一直線過平面若一直線過平面上的兩點，則此上的兩點，則此直線必在該平面直線必在該平面內(nèi)。內(nèi)。定理二定理二若

27、一直線過平面上的若一直線過平面上的一點，且平行于該平一點，且平行于該平面上的另一直線，則面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。此直線在該平面內(nèi)。平面的投影平面的投影平面上的直線和點平面上的直線和點平面上取任意直線練習(xí)平面上取任意直線練習(xí)abcb c a abcb c a d mnn m d解法一解法一解法二解法二已知平面由直線已知平面由直線ABAB、ACAC所確定，所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。試在平面內(nèi)任作一條直線。n m nm10c a b cab平面的投影平面的投影平面上的直線和點平面上的直線和點平面上取任意直線練習(xí)平面上取任意直線練習(xí)在平面在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使內(nèi)作一條水

28、平線，使其到其到H H面的距面的距 離為離為10mm10mm。平面的投影平面的投影平面上的直線和點平面上的直線和點平面上取點平面上取點平面上取點的方法：平面上取點的方法：先找出過此點，并在此平面內(nèi)的一條直線作為輔先找出過此點，并在此平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置助線，然后再在該直線上確定點的位置平面的投影平面的投影平面上的直線和點平面上的直線和點平面上取點練習(xí)平面上取點練習(xí)已知已知K K點在平面點在平面ABCABC上，求上，求K K點的水平投影。點的水平投影。bacc a k b kabcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線

29、求解通過在面內(nèi)作輔助線求解bckada d b c k 平面的投影平面的投影平面上的直線和點平面上的直線和點平面上取點練習(xí)平面上取點練習(xí) 已知已知ACAC為正平線，為正平線，補全平行四邊形補全平行四邊形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置平行平行相交相交直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置直線與平面平行直線與平面平行 若一直線平行于平面上的某一直線，若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平

30、行。則該直線與此平面必相互平行。過過M M點作直線點作直線MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。n a c b m abcmndd過過M M點作直線點作直線MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置直線與平面平行直線與平面平行c b a m abcmnn 平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置平面與平面平行平面與平面平行若一平面上的兩相若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相另一平面上的兩相交直線，則這兩平交直線，則這兩平面相互平行。面相互平行。c f b d e a abcde

31、f平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置直線與平面相交直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。求直線與平面的交點。求直線與平面的交點。判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。我們只討論直線與平面中至少有一個我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況處于特殊位置的情況平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置直線與平面相交直線與平面相交平面為特殊位置平面為特殊位置abcmnc n b a m 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC是一鉛垂面

32、，是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直線，該直線與線，該直線與mnmn的交點即的交點即為為K K點的水平投影。點的水平投影。 求交點求交點 判別可見性判別可見性由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 為可見。為可見。還可通過重影點判別可見性。還可通過重影點判別可見性。k 1 (2 )作圖作圖k21平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置直線與平面相交直線與平面相交直線為特殊位置直線為特殊位置km(n)bm n c b a ac空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MNMN為鉛垂線，其水平為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點投影積聚成一個點，故交點K K的的水平投影也積聚在該點上。水平投影也積聚在該點上。求交點求交點判別可見性判別可見性 點點1 1位于平面上，在前；位于平面上，在前；點點2 2位于位于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 為不可見。為不可見。1 (2 )k 21作圖作圖用面上取點法用面上取點法平面的投影平面的投影幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置平面與平面相交平面與平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共