多元函數(shù)微分學(xué)題目+簡析

1、暑期培訓(xùn)（多元函數(shù)微分學(xué)）一、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 1. f(x,y)可微，f(0,0)=0, ，求。知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：理清函數(shù)結(jié)構(gòu)答案：難度：易2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所確定，f對各變量的二階偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，求，。知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：理清函數(shù)結(jié)構(gòu)答案： 難度：易3. ，求知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：3個變量，1個方程在一定條件下可確定一個2元函數(shù)，該2元函數(shù)的因變量可以是，也可以是或者答案：難度：易4. z=f(x,y)在（0,1）的某鄰域內(nèi)可微，且，一元函數(shù)y(x)由f(x,y)=1所確定，求知識點：多元函數(shù)全微分的定義關(guān)鍵：找

2、到兩個已知條件：“z=f(x,y)在（0,1）的某鄰域內(nèi)可微”與 “ ”之間的聯(lián)系，從而從已知條件中發(fā)現(xiàn)求所需要的東西。答案：難度：中5. 求知識點：3元的抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：理清函數(shù)結(jié)構(gòu)+耐心答案：難度：易6. 知識點：隱函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：求出的表達式，明確時答案：難度：易7. f二階可微，求.知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：處理好答案：難度：易8. 可微，求知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：理清函數(shù)結(jié)構(gòu)、處理好答案：難度：易9. 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由 所確定，求知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：等號左邊的有3個中間變量；。答案：難度：易10. 確定和，使得滿足方程：知識點：抽象的復(fù)合

3、函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：求偏導(dǎo)要正確。答案：難度：易11. f(t)的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，求知識點：抽象的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：計算量大，需仔細整理；遇到寫成；使用輪換對稱性可減少一半的工作量。答案：難度：中12. z=z(x,y)由所確定，F(xiàn)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，且 ，證明：（1）；（2）知識點：隱函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：用表示及答案：證明略 難度：中。13. 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且求知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：對偏導(dǎo)符號的理解；需明白對于一個抽象函數(shù) ，顯然， 的函數(shù)結(jié)構(gòu)與的相同。答案：難度：中14. 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是由所確定的函數(shù)，求知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵： 1. 三個變量，1個方程在一定條件下可確定一個2

4、元函數(shù)，該2元函數(shù)的因變量可以是，也可以是或者此題選擇為因變量，因此在求過程中視為常數(shù)；2. 對偏導(dǎo)符號的理解；3.對于一個抽象函數(shù) ，顯然的函數(shù)結(jié)構(gòu)與的相同;4. 注意到有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以答案：難度：中15. 已知均成立，證明：（1）（2）知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)關(guān)鍵：對偏導(dǎo)符號的理解提示：（1）已知條件中令 （2）已知等式兩邊對求導(dǎo)，再令即可。難度：中。二、偏導(dǎo)數(shù)恒等式的坐標變換1. z=z(x,y) 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， u=x-2y , v=x+3y且，求。知識點：隱函數(shù)組求偏導(dǎo)關(guān)鍵：要求的是，所以z=z(x,y)=z(x(u,v)，v(x,y)答案：0難度：易。2. z=z(x,y)

5、，設(shè)，,對，證明：知識點：隱函數(shù)求偏導(dǎo)，方程組的情形關(guān)鍵：證明略難度：中3. 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明可經(jīng)過變量替換化為等式知識點：隱函數(shù)組求偏導(dǎo)關(guān)鍵：證明略難度：中4. 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以改變方程的形式.知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，鏈式法則關(guān)鍵：1. 是關(guān)于和的函數(shù)，而，由此求出，在進一步求出 2. 的函數(shù)結(jié)構(gòu)與的相同。答案：難度：難5. 將Laplace方程 化為極坐標的形式.知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，鏈式法則關(guān)鍵：1. 2. 是關(guān)于和的函數(shù)，而由此求出，在進一步求出 3. 的函數(shù)結(jié)構(gòu)與的相同。答案：（同濟第六版81頁有此題）難度：難（計算量較大）三、已知偏導(dǎo)數(shù)恒等式，求函數(shù)表達式此類題一般分兩

6、個步驟：第一步 由已知條件得到一個關(guān)于未知函數(shù)的一個微分方程；第二步 求解微分方程?？梢姷谝徊绞顷P(guān)鍵，第二步要算對。1. u>0時，連續(xù)，且f(1)=0，滿足），求f(u).知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，鏈式法則關(guān)鍵：代入可得關(guān)于f(u)的微分方程。答案：難度：較易2. 可導(dǎo)，滿足：求。知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，鏈式法則關(guān)鍵：令整理可得關(guān)于的微分方程。答案：略 難度：較易3. 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且求所滿足的一階微分方程，并求其通解。知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，鏈式法則，一元隱函數(shù)求導(dǎo)，微分方程關(guān)鍵：如何處理的函數(shù)結(jié)構(gòu)？答案：整理而得關(guān)于的微分方程： 難度：易4. u=f(ln) ，u滿足，求f(x,y)

7、知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，微分方程關(guān)鍵：將 u=f(ln)代入后可整理得到相應(yīng)的微分方程；使用輪換對稱性可減少計算量。答案： 難度：中5. f(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，滿足，且在極坐標系下可表為f(x,y)=h(r), ，求f(x,y)。知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，微分方程關(guān)鍵：f(x,y)=h(r)=h()答案：整理得到的微分方程：難度：中6. 二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，微分方程關(guān)鍵：令答案：整理得到的微分方程：難度：中7. 時的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，滿足：，求知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，微分方程關(guān)鍵：令；使用輪換對稱性可減少計算量。答案：整理得到的微分方程：難度：中8. ，求知識點：抽象函數(shù)

8、求偏導(dǎo)，微分方程關(guān)鍵：令。答案：整理得到的微分方程：難度：中9. 在求連續(xù)，f(1)=0, 滿足：,求f在的最大值。知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，微分方程，一元函數(shù)的最值。關(guān)鍵：令。答案：整理得到的微分方程：難度：中*10. 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 求知識點：如何使用一元的不定積分求解簡單的偏微分方程關(guān)鍵：在處理 時，視為常數(shù)，反之一樣；注意每求出一個不定積分要加上一個常數(shù)，這里的常數(shù)該如何表示？答案： 難度：易11. 時時，求知識點：如何使用一元的不定積分求解簡單的偏微分方程關(guān)鍵：在處理 時，視為常數(shù)，反之一樣；注意每求出一個不定積分要加上一個常數(shù)，這里的常數(shù)該如何表示？答案： 難度：易12. ，求z

9、=z(x,y)知識點：如何使用一元的不定積分求解簡單的偏微分方程關(guān)鍵：在處理 時，視為常數(shù)，反之一樣；注意每求出一個不定積分要加上一個常數(shù)，這里的常數(shù)該如何表示？答案： 難度：中13. 滿足，求知識點：如何使用一元的不定積分求解簡單的偏微分方程關(guān)鍵：在處理 時，視為常數(shù)，反之一樣；注意每求出一個不定積分要加上一個常數(shù)，各步的常數(shù)該如何表示？答案： 難度：中*14. u(x,y,z)可微，且求u(x,y,z)知識點：三元函數(shù)全微分的逆運算關(guān)鍵： 答案： 難度：較易15. 可微，.（1）若存在，使得求（2）若求使得知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，積分與路徑無關(guān)的充要條件關(guān)鍵： （1）存在，使得說明了什么？

10、 （2）由（1）的結(jié)論用表示，代回到中,可湊出。答案：(1) (2).難度：中16. 可微，求知識點：偏導(dǎo)數(shù)+微分方程關(guān)鍵：若令 ，則；若令，視為常數(shù)，則如何處理？答案： 難度：難。17. u=f(x,y,z)，f可微，若=，證明：u僅為r的函數(shù)，知識點：三元函數(shù)的球面坐標變換關(guān)鍵： u僅為r的函數(shù)意味著；如何利用=。證明略難度：難。四、中值定理1.證明：存在，使得知識點：二元函數(shù)的中值定理關(guān)鍵：確定是什么函數(shù)在哪一點處使用中值定理，證明略難度：易。五、方向?qū)?shù)與梯度1. 可微，在點處求知識點：方向?qū)?shù)的定義；全微分的定義關(guān)鍵：細化求出點P處的，就能求出答案：略難度：較易。2. 求使得在點處沿

11、軸正向的方向?qū)?shù)最大，其值為64.知識點：方向?qū)?shù)的定義關(guān)鍵：沿梯度的方向方向?qū)?shù)取得最大值答案：難度：較易。3. 確定，使得在右半平面上，向量為某二元函數(shù)的梯度，并求出。知識點：梯度的定義；二元初等函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，從而兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等。關(guān)鍵：求偏導(dǎo)要正確；一階偏微分方程的求解答案：難度：中。4. 某房頂?shù)捻敳渴莻€半橢球面，方程為求下雨時過房頂上處的雨水流下的路線方程（不計摩擦力）。知識點：梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系；空間曲線的投影柱面與投影曲線。關(guān)鍵：利用梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系找到所求曲線在xoy坐標面上的投影曲線所滿足的方程。答案： 難度：中。5. 設(shè)某座山的底面所在平面為

12、坐標面，占據(jù)的區(qū)域為 山的高度函數(shù)為 （1）設(shè)為上一點，問在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最大值為寫出的表達式。 （2）若要在山腳尋找上山坡度最大的點作為攀巖比賽的起點，請確定起點的坐標。知識點：梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系；條件極值。關(guān)鍵：沿梯度的方向方向?qū)?shù)取得最大值答案：（2）點（5，-5）或點（-5,5）。難度：中。6. 在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 證明：，為的邊界的單位外法向量。知識點：平面曲線的單位切向量、單位法向量；方向?qū)?shù)；兩類曲線積分之間的關(guān)系； 格林公式。關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵步驟就含在知識點里。證明：略難度：難（是個綜合題）。六、幾何應(yīng)用1. 求曲面平行于平面的切平

13、面方程。知識點：曲面的切平面。關(guān)鍵：兩個平行平面，它們的法向量也平行。答案：略難度：較易。2曲面可導(dǎo)，討論曲面上任一點處的切平面與向量（1,1,1,）的位置關(guān)系。知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)；曲面的切平面。關(guān)鍵：兩個向量垂直它們的內(nèi)積為0。答案：平行難度：較易。3. z=f(x,y)在（0,1）的某鄰域內(nèi)可微，且，求z在（0,1，1）處的切平面。知識點：全微分的定義；曲面的切平面。關(guān)鍵：找到在對應(yīng)點處的答案：難度：中。4. f(x,y)對任意x,y,t滿足：，點P（1，-2,2）在z=f(x,y)上，且，求曲面z=f(x,y)在點P處的切平面。 知識點：隱函數(shù)求偏導(dǎo)；曲面的切平面。關(guān)鍵：對偏導(dǎo)符號的

14、理解；等式兩邊對求偏導(dǎo)。答案：難度：中。5. 為可微函數(shù)，滿足 ，點（1，-2,2）在曲面上，求曲面在點（1，-2,2）處的切平面。知識點：隱函數(shù)求偏導(dǎo)；曲面的切平面。關(guān)鍵：對偏導(dǎo)符號的理解；等式兩邊對求偏導(dǎo)。答案：難度：中。6. 過直線 作曲面的切平面，求此切平面。 知識點：平面束；曲面的切平面,兩個平面平行的充要條件。關(guān)鍵：找到所求平面所對應(yīng)的。答案：難度：難。7. 曲面上任意點處切平面在OZ軸上的截距與切點到坐標原點的距離之比為常數(shù)C，求C。知識點：抽象函數(shù)求偏導(dǎo)；曲面的切平面；平面的截距式方程。關(guān)鍵：求出曲面的切平面的截距式方程，記。答案：難度：難。8. 求曲面與平面的交線在處的切線與

15、軸的交角。知識點：已知一般方程的空間曲線的切線；兩條直線的夾角。關(guān)鍵：求出空間曲線的在處的切線的方向向量。答案：難度：較易。9. 設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 過點，記在面上的投影曲線為，求上過點的切線。知識點：已知一般方程的空間曲線的切線，隱函數(shù)組求偏導(dǎo)，空間曲線的投影曲線。關(guān)鍵：空間曲線在處的切線的投影 是的投影曲線在處的切線答案：難度：中。七、極值問題1.，a,b滿足什么條件時，（1）f(x,y)有唯一的極大值；（2）f(x,y)有唯一的極小值。知識點：極值的必要條件與充分條件。關(guān)鍵：極值的必要條件與充分條件。答案：（1） （2） 難度：易。2. f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，證明：g(x,y)

16、在（0,0）處取得極值，并求出此極值。知識點：全微分的定義；極值的充分條件。關(guān)鍵：是什么關(guān)系？ 答案：0難度：中3. 求>0的最大值點。知識點：最值問題關(guān)鍵：先化簡答案：難度：中4. 已知平面上個點的坐標分別是求一點，使得它與這個點距離的平方和最小。知識點：極值的必要條件與充分條件。關(guān)鍵：極值的必要條件與充分條件。答案： 難度：易。5. 設(shè)通過實驗得到一列點，它們大體在一條直線上，請確定一條直線，使得這條直線與這個點的偏差平方和最小。知識點：極值的必要條件與充分條件；平面上點到直線的距離：點，直線：。關(guān)鍵：極值的必要條件與充分條件。答案： 難度：中。6. 證明：在約束條件：下有最大值與最

17、小值，且它們是方程的根。知識點：有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；條件極值問題；線性方程組關(guān)鍵：只是要求證明有最值，不要求求出最值。證明略難度：難7. 求曲線上的動點與軸上的定點的最短距離。知識點：條件極值。關(guān)鍵：找對約束條件與目標函數(shù)，拉格朗日乘數(shù)法。答案： 時；時；難度：易。8. 曲面，平面求上的點，使得點與的距離最近，并求出最近距離。知識點：可有三種解法：1. 極值；2. 條件極值；3. 所求點P處的切平面應(yīng)平行于關(guān)鍵：找對約束條件與目標函數(shù)，拉格朗日乘數(shù)法。答案： 難度：中。9. 已知點，在平面上求點，使得最小。知識點：條件極值關(guān)鍵：找對約束條件與目標函數(shù)，拉格朗日乘數(shù)法。答案： 略難度：易

18、。10從ABC內(nèi)部的點P向三邊作三條垂線，使得三條垂線段長度的乘積為最大值，求點P的位置。知識點：條件極值。關(guān)鍵：選擇什么作為目標函數(shù)的自變量；約束條件是什么。答案：略難度：中。11. 為與的交線。求在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。知識點：空間曲線的切平面，點到平面的距離，條件極值。關(guān)鍵：有兩個約束條件。答案： 難度：難12. 橢球面為，求其表面積最大的內(nèi)接長方體，并求出該最大表面積。知識點：條件極值。關(guān)鍵：選擇長。寬、高的一半作為目標函數(shù)的自變量；約束條件是什么。答案：最大表面積為難度：難。13. 體積為的圓柱體，上下底的材料費為元/,側(cè)面的為元/，求最省錢的設(shè)計方案。知識點：條件極值。關(guān)鍵：選擇長。寬、高的一半作為目標函數(shù)的自變量；約束條件是什么。答案：高：半徑=時最省錢難度：易14. 設(shè) 證明：知識點：閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值問題；三重積分的不等式性。關(guān)鍵：弄清楚是什么函數(shù)在哪個閉區(qū)域上的最值問題。證明略難度：中。15. （），面密度為的均勻薄板，為通過橢圓焦點（）垂直于薄板的旋轉(zhuǎn)軸（）。（1）求繞旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；（2）對于固定的轉(zhuǎn)動慣量，討論橢圓板的面積是否有最大值與最小值。知識點：平面薄