不等式的證明測(cè)試題及答案

1、不等式的證明班級(jí)姓名、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)411、1.若a>0,b>0,貝U(a+b)(+)的最小值是ab2.3.4.A. 2B. 2、, 2C. 4,2D. 4分析法證明不等式中所說(shuō)的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的A.必要條件C.充要條件設(shè)a、b為正數(shù)，且11A. - - ： 1a bB.充分條件D.必要或充分條件a+ b<4,則下列各式中正確的一個(gè)是11C. - - ： 2ab已知a、b均大于1,且log aC log bC=4,則下列各式中，一定正確的是A. ac> bB. ab>cC. bc>aD. ab< c5

2、.設(shè) a= 42 , b= <7 -<3 , c = <6J2,則a、b、c間的大小關(guān)系是6.A. a>b>cB. b>a>c已知a、b、m為正實(shí)數(shù)，則不等式C. b>c>a a m a b m bD.a>c>bA.當(dāng)a< b時(shí)成立B.當(dāng)a> b時(shí)成立C.是否成立與m無(wú)關(guān)D. 一定成立A.P>QB.PWQC.P>QD.P<Q已知a>b且a+b<0,則下列不等式成立的是A.ad1ba.B1bC.ad1bD.-<1b8.設(shè)a、b為正實(shí)數(shù),P=aabb,Q=abba,則P、Q的大小關(guān)系是

3、設(shè)x為實(shí)數(shù)，P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,則P、Q之間的大小關(guān)系是7.9.A.P>QB.PWQC.P=QD.不能確定10 .甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若n,則甲、乙兩人到達(dá)指定地點(diǎn)的情況是()A.甲先到B.乙先到C.甲乙同時(shí)到D.不能確定題號(hào)12345678910答案、填空題11 .若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=a(a為常數(shù))，貝Ux2+y2+z2的最小值為1212 .函數(shù)f(x)=3x+(x>0)的最小值為。x13 .使不等式a2>b2

4、,a>1,lg(a-b)>0,2a>2b-1同時(shí)成立的a、b、1的大小關(guān)系是b14 .建造一個(gè)容積為8n3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低總造價(jià)為元.三、解答題15 .(1)若a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1,求證：(1-a)(1-b)(1-c)>8abc.(2)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足aAb>c,且有a+b+c=1,a2+b2+c2=1-4求證：1；a,b：二一31.t1.16.設(shè)a>0,a#1,t>0,試比較-logat與loga的大小.（12分）2.22.abcabc17. (1)求證

5、：*>,33(2)已知a,b,c都是正數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2a(ab+c)218. (1)已知x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均為正，求證：xy>ac+bd.(2)已知x,y,zwR,且x+y+z=8,x2+y2+z2=244_4_4一求證：一一x_3,y-3,z-333319.設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840cm,畫(huà)面的寬與高的比為入(入1),畫(huà)面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最??？1a20.數(shù)列xn由下列條件確定：x1=aA0,xn書(shū)=一(xn+工nwN.2xn(I)證

6、明：對(duì)n>2,總有xn>(n)證明：對(duì)n>2,總有xn>xn+.參考答案.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號(hào)12345678910答案DBBBDAACAA二.填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）211.12.913.a>b>114,176014三、解答題（本大題共6題，共76分）15. （12分）證明:因?yàn)閍、b、c都是正數(shù),且a+b+c=1,所以（1為）（16）（1c）=（b+c）（a+c）（a+b）>2A/bc-2'ac-2Vab=8abc.16. (12分)解析：l0gaT0gan=l0gaT t A0,t +

7、1 >2v?(當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)時(shí)等號(hào)成立）t 12，t 一(1), t 1當(dāng) t=1 時(shí)，log a = log2adt(2)當(dāng) t01 時(shí),a若aA1,則loga=>0,loga2tt-1石0<a<1,則loga尸<0,loga2.t17. (12分)證明:左一右=2 (ab+bc-ac)b, c成等比數(shù)列，b2=aca c:二 a -c又;a,b,c都是正數(shù)，所以0<b=<ac<22、-2(abbc-ac)=2(abbc-b)=2b(a'cb)0:a2-b2-c2(a-bc)218. (12分)證法一：(分析法)a,b,c,d,x,y

8、都是正數(shù)：要證：xy>ac+bd只需證：(xy)2>(ac+bd)2即：(a2+b2)(c2+d)>a2c2+b2d2+2abcd展開(kāi)得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2>a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c22abcd由基本不等式，顯然成立-xy>ac+bd證法二：(綜合法)xy=Ja2+b2Jc2+d2=Ya2c2+b2c2+a2d2+b2d2)a2c22abcdb2d2=(acbd)2=acbd證法三：(三角代換法)x2=a2+b2,;不妨設(shè)a=xsin：,b=xcos：y2=c2+d2c=ysin:,d=ycos-ac+bd=xysin

9、osinP+xycosocosR=xycos(a_p)<xy19. (14分)解析:設(shè)畫(huà)面高為xcm,寬為xxcm貝1JKx2=4840.設(shè)紙張面積為S,有S=(x+16)(Zx+10)=九x2+(16九+10)x+160,S=5000+44.10(.5).%/-555當(dāng)86=a，即九=5（5<i）時(shí)Sa得最小值.887此時(shí)，ra：x_4840=88cm,范：入x=9父88=55cm,8答：畫(huà)面高為88cm,寬為55cm時(shí)，能使所用紙張面積最小.20. （14分）（I）證明：由Xi=aA0,&xn+=1（xn+亙）,可歸納證明xn>0（沒(méi)有證明過(guò)程不扣分）n2'

10、;Xn,所以，當(dāng)n之2時(shí),x之Ji成立.從而有1,a,aXn1(Xn)一Xna(a'N).2XnXn(H)證法一：當(dāng)n之2時(shí)，因?yàn)閄n之4a>0,Xn+(Xn+且)2Xn2所以xn+-Xn=-(xn+)-Xn=-a_也<0,故當(dāng)n22時(shí),Xn之Xn成立.2 Xn2Xn證法一.當(dāng)n：二2時(shí)，因?yàn)閤a/aK0,xn1=1(xn)2Xn1/.a、(x)所以x二2nXnxnXnxn+a；+x；c2c22xn2n=1故當(dāng)n之20f,XnXn+成立.2.證明：；'(121212)(a2b2c2)_(abc)2a2b2c2(abc)23 一9a2b2c2abc33222(ab)-(ab)24.證明：.ab=1-c,ab=c-c2a,b是方程x2(ic)x+c2c=0的兩個(gè)不等實(shí)根,2 21.則>=(1一c)一4(c一c)A0,得一一<c<13而(c-a)(cb)=c2-(ab)cab02即c-(1-c)c+c