《數(shù)與形》教材說明和教學(xué)建議

1、數(shù)與形教材說明和教學(xué)建議數(shù)與形教材說明和教學(xué)建議（一）教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，并會(huì)應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。2 .使學(xué)生會(huì)利用圖形來解決一些有關(guān)數(shù)的問題。3 .使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本的數(shù)學(xué)思想。（二）內(nèi)容安排及其特點(diǎn)1.教學(xué)內(nèi)容和作用。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)與形結(jié)合起來解決問題，可使復(fù)雜的問題變得更簡(jiǎn)單，使抽象的問題變得更直觀。數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中比比皆是。有的時(shí)候，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。有的時(shí)候，是利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓

2、人一目了然。尤其是小學(xué)生思維的抽象程度還不夠高，經(jīng)常需要借助直觀模型來幫助理解。例如，利用長(zhǎng)方形模型來教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的算理，利用線段圖來幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，利用面積模型來解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、乘法分配律、完全平方公式等（如下圖）。還有的時(shí)候，數(shù)與形密不可分，可用數(shù)來解決形的問題，也可用形來解決數(shù)的問題。例如，解析幾何及微積分中，曲線與方程、方程組及函數(shù)與圖象互為工具，互為解釋，有機(jī)融合。小學(xué)中的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系圖象也很好地反映了這樣的思想。本單元中，教材以1+3+5+7+(2n1)=n，和為例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)利用數(shù)與形的結(jié)合，可以解決一些有趣的數(shù)學(xué)問題。具體編排結(jié)構(gòu)如下。從上表可

3、以看出，本單元的教學(xué)內(nèi)容分為兩個(gè)層次。一是使學(xué)生通過數(shù)與形的對(duì)照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)表示出數(shù)的規(guī)律。例如，例1中，從圖形的角度直觀地理解正方形數(shù)或平方數(shù)的特點(diǎn)。二是借助圖形解決一些比較抽象的、復(fù)雜的、不好解釋的問題。例如，例2中，解決的求和問題，教材利用分?jǐn)?shù)意義的直觀模型，使學(xué)生直觀地理解無限的抽象概念；再如，練習(xí)二十二第6題，通過畫示意圖的方式可以比較便捷地解決比較抽象的問題。2.教材編排特點(diǎn)。本單元教材在編排上有下面幾個(gè)特點(diǎn)。(1)突出探索規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律的編排意圖。不管是數(shù)還是形，都突出對(duì)其規(guī)律的探索。例如，通過觀察和計(jì)算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律（從1

4、開始的連續(xù)奇數(shù)相加），又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律（都是連續(xù)的正方形數(shù)）；通過觀察和計(jì)算、，同樣，既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過推理，再引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律應(yīng)用于一般的情形，解決問題。（2）在利用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)思想。例如，在例2中，讓學(xué)生通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)和越來越趨向于1,感受什么叫無限接近。雖然無法一一窮舉所得的結(jié)果，但可以利用觀察到的規(guī)律進(jìn)行無窮無盡的類推，使學(xué)生在這一過程中體會(huì)推理和極限的思想。（三）教學(xué)建議1.引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，相互印證。形的問題中包含著數(shù)的規(guī)律，數(shù)的問題也可以用形來幫助解決，教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生通過解決問題體會(huì)到數(shù)與形

5、的這種完美結(jié)合。既可以從數(shù)的角度出發(fā)，讓學(xué)生看看可以怎樣用圖形來表示數(shù)的規(guī)律，也可以讓學(xué)生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律。通過數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，互相印證結(jié)果，感受數(shù)學(xué)的魅力。例如，在例1中可以先讓學(xué)生計(jì)算1+3+5+的得數(shù)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的和都是平方數(shù)，再通過圖形的規(guī)律理解平方數(shù)和正方形數(shù)的含義。也就是說，如果用1個(gè)小正方形、3個(gè)小正方形、5個(gè)小正方形可以共同拼出一些大小不一的大正方形圖。也可以有規(guī)律地呈現(xiàn)由小正方形拼成的大小不一的大正方形圖，讓學(xué)生看看前后兩個(gè)大正方形圖相差多少個(gè)小正方形，例如，邊長(zhǎng)是2的大正方形和邊長(zhǎng)是1的大正方形，相差的是3個(gè)小正方形；邊長(zhǎng)是3的大正方形和邊長(zhǎng)是2的大正方形，

6、相差的是5個(gè)小正方形相差的小正方形數(shù)正好是1形中的小正方形數(shù)。因此，每個(gè)大正方形圖中都隱藏著一個(gè)算式，即1+3+5+722n1)=n02 .使學(xué)生感受用形來解決數(shù)的有關(guān)問題的直觀性與簡(jiǎn)捷性。圖形的直觀、形象的特點(diǎn)，決定了化數(shù)為形往往能夠達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的。例如，例2中，用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和，都不能證明無限多項(xiàng)相加的結(jié)果為1。但是如果用圓或線段的圖形加以說明，學(xué)生則比較容易理解當(dāng)一個(gè)數(shù)無限趨近于1時(shí)，其結(jié)果就是1。一個(gè)極其抽象的極限問題，由于用圖形來解決，就變得十分直觀和便捷了。3 .引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度探索數(shù)與形的通用模式。小學(xué)階段，雖然不要求寫出一個(gè)數(shù)列的通式，但可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形的規(guī)律，從不同的角度，用自己的語(yǔ)言描述出數(shù)列的通用模式。例如，第109頁(yè)第1題，根據(jù)例1的結(jié)論，很容易得到第n個(gè)圖形中最外圍的小正方形數(shù)為：(2n+l)(2nl),也可以從結(jié)果看到第一個(gè)圖最外圈有8個(gè)小正方形，第二個(gè)圖最外圈有82個(gè)小正方形，第三個(gè)圖最外圈有83個(gè)小正方形通過推理，可知第行個(gè)圖