高中物理競賽力學練習題解

1、圖預20-51、（本題20分）如圖6所示，宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運動，火星半徑為R。當飛船運行到P點時，在極短時間內向外側點噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原來速度的a倍。因a很小，所以飛船新軌道不會與火星表面交會。飛船噴氣質量可以不計。（1）試求飛船新軌道的近火星點A的高度h近和遠火星點B的高度h遠；（2）設飛船原來的運動速度為V0,試計算新軌道的運行周期T。2,（20分）有一個擺長為I的擺（擺球可視為質點，擺線的質0量不計），在過懸掛點的豎直線上距懸掛點O的距離為x處（xvI）的C點有一固定的釘子，如圖所示，當擺擺動時，擺線會受到釘子的阻擋.當I一定而x取不同值時，阻擋

2、后擺球的運動情況將不同.現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過O點），然后放手，令其自由擺動，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求x的最小值.3, （20分）如圖所示，一根長為L的細剛性輕桿的兩端分別連結小球a和b,它們的質量分別為ma和mb.桿可繞距a球為L/4處的水平定軸O在豎直平面內轉動.初始時桿處于豎直位置.小球b幾乎接觸桌面.在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細桿放著一個質量為m的立方體勻質物塊，圖中ABCD為過立方體中心且與細桿共面的截面.現(xiàn)用一水平恒力F作用于a球上，使之繞O軸逆時針轉動，求當a轉過ct角時小球b速度的大小.設在此過程中立方體物塊沒有發(fā)生轉動，且小球b

3、與立方體物塊始終接觸沒有分離.不計一切摩擦.4、把上端A封閉、下端B開口的玻璃管插入水中，放掉部分空氣后放手，玻璃管可以豎直地浮在水中（如下圖）設玻璃管的質量m=40克,橫截面積S=2厘米2,水面以上部分的長度b=1厘米，大氣壓強P0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不計，管內空氣質量不計（1）求玻璃管內外水面的高度差h.（2）用手拿住玻璃管并緩慢地把它壓入水中，當管的A端在水面下超過某一深度時放手后玻璃管不浮起.求這個深度.（3）上一小問中，放手后玻璃管的位置是否變化?如何變化？（計算時可認為管內空氣的溫度不變）5、一個光滑的圓錐體固定在水平的桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角9=30

4、。（如右圖）.一條長度為l的繩（質量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點O處,另一端拴著一個質量為m的小物體（物體可看作質點，繩長小于圓錐體的母線）.物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動（物體和繩在上圖中都沒畫出）.時，求幌對物體的枝力，（2）當口寸求繩對物體的拉力.6、（13分）一輛車通過一根跨過定滑輪的繩？現(xiàn)升井中質量為m勺物體，如圖所示.繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上設繩的總長不變，繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計.開始時，車在A點，左右兩側繩都已繃緊并且是豎直的，左側繩長為H.提升時，車加速向左運動，沿水平方向從說過職向C.設AJE的距離也為H，車

5、過B點時的速度為vB.求在車由服到B的過程中，繩葡的拉力對物體做的功.ft7. 在兩端封閉、內徑均勻的直玻璃管內，有一段水銀柱將兩種理想氣體a和b隔開.將管豎立著，達到平衡時，若溫度為T，氣柱a和b的長度分別為la和lb；若溫度為T'，長度分別為l拓和l擾.然后將管平放在水平桌面上，在平衡時，兩段氣柱長度分別為l盛和lH.已知T、T扣:8. 如圖所示，質量為M=9Kg的小車放在光滑的水平面上，其中AB部分為半徑R=0.5m的光滑1圓弧，BC部分水平且不光滑，長為L=2m一小物塊質量m=6Kg由A點靜4止釋放，剛好滑到C點靜止（取g=10mS2）,求: 物塊與BC間的動摩擦因數(shù) 物塊從A

6、滑到C過程中，小車獲得的最大速度9. 如圖所示，在光滑水平面上放一質量為M邊長為l的正方體木塊，木塊上擱有一長為L的輕質光滑棒，棒的一端用光滑皎鏈連接于地面上。點，棒可繞。點在豎直平面內自由轉動，另一端固定一質量為m的均質金屬小球.開始時，棒與木塊均靜止，棒與水平面夾角為ot角.當棒繞。點向垂直于木塊接觸邊方向轉動到棒與水平面間夾角變?yōu)镋的瞬時，求木塊速度的大小.10如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉動.在環(huán)上套有一珠子.今逐漸增大圓環(huán)的轉動角速度3,試求在不同轉動速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置.以珠子所停處的半徑與豎直直徑的夾角昧示.11如圖所示，一木塊從斜面AC的頂端A點自靜

7、止起滑下，經(jīng)過水平面CD后，又滑上另一個斜面DF,到達頂端F點時速度減為零。兩斜面傾角不同，但木塊與所有接觸面間的摩擦系數(shù)相同，若AF連線與水平面夾角為。，試求木塊與接觸面間的滑動摩擦系數(shù)1。12.圖中的AOB是游樂場中的滑道模型，它位于豎直平面內，由兩個半徑都是R的1/4圓周連接而成，它們的圓心。1、。2與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上.O2B沿水池的水面.一小滑塊可由弧AO的任意點從靜止開始下滑.1. 若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小滑塊開始下滑時應在圓弧AO上的何處？（用該處到。1的連線與豎直線的夾角表示）2. 凡能在O點脫離滑道的小滑塊，其落水點到。

8、2的距離如何?參考解答1參考解答:對圓軌道應用動力學，有：V0=,GM.RH則橢圓軌道上P點的速度：vp=。0+（av。）21-mv2比較P、A兩點，用開普勒第二定律（此處特別注意，的分速度）：對i過程，機械能守恒：扣；-浩=IGM-RH2GmMA-AP點的速度取垂直矢徑V0l>=Vaa解四式可得:RHA=1:同理，對P和B用能量關系和開普勒第二定律，可得:rB=R1-:1-")2。橢圓的長半軸：a=專里=pH最后對圓軌道和橢圓軌道用開普勒第三定律可得橢圓運動的周期。V。答"近=3,h遠=S;T=割R+H)1:2.參考解答擺線受阻后在一段時間內擺球作圓周運動，若擺球的

9、質量為m,則擺球受重力mg和擺線拉力T的作用，設在這段時間內任一時刻的速度為v,如圖預解20-5所示。用口表示此時擺線與重力方向之間的夾角，則有方程式2mvT十mgco=（1）運動過程中機械能守恒，令8表示擺線在起始位置時與豎直方向的夾角，取O點為勢能零點，則有關系加瑚=2前-皿-（1）*口）（2）擺受阻后，如果后來擺球能擊中釘子，則必定在某位置時擺線開始松弛，此時T=0,此后擺球僅在重力作用下作斜拋運動。設在該位置時擺球速度v=v。，擺線與豎直線的夾角a=口。，由式（1）得2V。=g(lx)cosa。，(3)代入(2)式，求出2lcos日=3(xl)cos00+2x(4)要求作斜拋運動的擺球

10、擊中C點，則應滿足下列關系式:(5)(lx)sina0=v0cow0t,1.2(I_x)cosa0=v0sina0t+gt(6)利用式(5)和式(6)消去t,得到2v123I3I1、2cos：-mbvbmbg一一cos：-m(vbcos)442=g(|x)sing(7)2cos:0由式(3)、(7)得到一3ccos、勺-(8)3代入式(4),求出.=arccosx(2*)-3(9)6越大，cos。越小，x越小，6最大值為n/2，由此可求得x的最小值：x(2十佝=四，所以x=(2V3-3)t=0.4641(10)v表示此時立方體速度的3. 參考答案：如圖所示，用vb表示a轉過口角時b球速度的大小

11、,大小，則有vbcosa=v(1)由于b與正立方體的接觸是光滑的，相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號相反，做功的總和為0.因此在整個過程中推力F所做的功應等于球a、b和正立方體機械能的增量.現(xiàn)用va表示此時a球速度的大小，因為a、b角速度相同，Oa=l|,Ob=，I,44所以得1-、va-gvb(2)根據(jù)功能原理可知Ffv2-mag£cosa卜】m.v2fg仁旦*卜【mv?(3)4244)244J2FLsmahbf42344將(1)、(2)式代入可得解得Vb9lFsin:ma-3mbg1-cos:22ma18mb1

12、8mcos:-4. 玻璃管A端浮在水面上方時，管受力平衡.設管中空氣壓強為P,則管所受內外空氣壓力之差(豎直方向)是f=(Pl-Po)So(a)用P表示水的密度，Pl=P0+舊h，(b)則：f=pghS.(c)f應與管所受重力平衡：pghS=mg.(d)故：h-.(e)ps代入數(shù)值，得h=I米米二其厘米，(2)管豎直沒入水中后，設管A端的深度為H,管內氣柱長度為I,則A端所在處水內壓強為：Pa=Po+hpg,(f)管內氣壓，由管內水面在水下的深度可知：為：P2=Po+hpg+ipg.(g)管所受兩者壓力之差(豎直方向)為：f'=(P2-Pa)S=IpgS.(h)隨著管的下降，管內水面也

13、必下降，即管內水面在水下的深度增大若管內水面的深度不變(或減小),則P2不變(或減小),而因管A端的下降，管內空氣的體積卻減小了，這與玻-馬定律不符.因此,P2增大,l減小，故f'減小.當管A端到達某一深度H0時,f'與管所受重力相等，超過這一深度后，f'小于重力，放手后管不浮起.由此，當H=H0時，f'=lpgS=mg,(i)pS這時，由玻-馬定律：P2lS=P1(b+h)S.(k)rj/.-rT.m%/m、/lm、即：血+玦5"田房=血+高殖-如面），故:H*l+鳴.代入數(shù)值后，HolxlO-2-|l+1<）5210-!米工母米.40xl0J

14、x9.sj（3）由上一小問解答的分析可知，當管A端的深度超過H0時,f/<mg.故放手后管的位置要變化，將自行下沉.評分說明：全題14分.（1）3分;（2）和共11分.（1）中，利用（a）、（b）式求出（c）式的，給2分.直接用阿基米德原理得出管（及管內空氣）所受浮力（c）式的，同樣給2分.利用條件（d）得出結果（e）的，再給1分.因單純運算或數(shù)值計算（包括單位換算）錯誤而結果錯誤的，扣1分.（2）、（3），這兩小問的解答中考生需要通過分析得知f'隨著管的下降而減小，從而確定放手后管不浮起的條件和管位置的變化.故兩小問一起定評分說明.利用（f）、（g）得出（h）式的，給2分.直接

15、求浮力而得出（h）式的，同樣給2分.利用平衡條件得出（j）式的，再給1分.利用玻-馬定律決定H。部分，占3分.分析f'隨管的下降而減小，占4分，不要求嚴格論證，能說出管下降時l減小即可.用其他話說的，正確的，也可不作分析的不給這4分.說出自行下沉的，再給1分.因單純運算或數(shù)值計算（包括單位換算）錯誤而結果錯誤的，扣1分.g值取作10米/秒2而得出H0=0.51米的，同樣給分.5、題目要求考生說明每問解法的根據(jù).物體做水平勻速圓周運動有兩種可能：一種是物體與錐體表面接觸（見圖1）；一種是物體與錐體表面不接觸（見圖2）.O既當接觸時，物體受力如圖1所示，T是繩對物體的拉力內是支持力，mg是

16、重力.物體與錐面間無摩擦.將力沿水平方向和豎直方向分解，按牛頓定律得：v2Tsin6-Ncos0=m7（ajIsinBTcos(+Nsin伊mg.(b)由(a)、(b)兩式消去T，可得N跟v的關系如下N=mgsinO-m'.IsinO在B給定后越大,N就越小里竺;時N0,令駐表示遍個速率，并將0=30。代入，可得1）當v，因為WS所以物體與椎面接觸，由®、（b）式因為N是支持力，最小等于0,所以當v>vb時,物體不再與錐面接觸ggl代入E）式，由（也、兩式消去叫可得:"副代入如）式,由（d）、消去N,得:m+mg或:T=1.03mg.（勾當v=伽時,因為V&g

17、t;氣所以物體與推面不接觸這時物體只受重力和繩子拉力作用（如圖2所示）.用（X表示繩與圓錐體軸線之間的夾角，將力沿水平方向和豎直方向分解，按牛頓定律得：Tsina=mTcos:=mg.(e)2T2-3mgT-2m2g2=0解此方程，取合理值，得：T=2mg.評分說明：全題12分.本題要求考生說明每問解法的根據(jù)，即要求得出（c）式，并將（1）、（2）兩問中的速率與（c）式相比較.這部分內容占6分.不論考生用什么方法解題，得出（c）式的給4分,再將、（2）兩問中的速率與（c）式比較的，再各給1分.在中，列（a）、（b）式及求解占3分.（a）、（b）兩式中有一個列錯的，扣2分.單純運算錯誤，扣1分.

18、答案最后結果寫作T=mg的,不扣分.在中，列（d）、（e）式及求解占3分.（d）、（e）兩式中有一個列錯的，扣2分.單純運算錯誤，扣1分.若誤認為二=30。，扣2分.6、設繩的P端到達B處時,左邊繩與水平地面所成夾角為0,物體從井底上升的高度為h,速度為v,所求的功為W,則:因繩總長不變，所以:h=-H,sin9v=vgcosa(c)將(b)、(c)兩式代入(a)式,得:W=cos39十mg(-1)H.2sin。因為：9=4oTM：=1mv-1)H.4(d)評分說明：全題13分.列出(a)式的，給3分.列出(b)式的，給3分.列出(c)式的，給5分.列出(d)式的，給1分.最后結果正確的，再給

19、1分.7、對于a段氣體,有：TT，p；rsp。也*-X_139了"pr對于b段氣體,有：TT1TP；I'b-P*TT'(b)(C)(d)壓強關系有:pb-pa=苗日b-p拍a，(e)Pa=Pb.(f)由以上各式可得：TT或_rhT-lhT'(s)評分說明：全題10分.(a)、(b)、(c)、(d)四式全都列對的有列錯的，不給分.(e)式列對給3分;(f)式列對給1分.最后結果正確再給2分.8.解：由A點滑到C點，物塊靜止，由于系統(tǒng)水平方向動量守恒，重力勢能的減少轉化為熱能。mgR=imgL,=R/L=0.25物塊由A到B,小車向左加速；由B到C,物塊速度減小，車速也