量子力學(xué)周世勛習(xí)題解答

1、第四章習(xí)題解答4.1.求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L：的矩陣元。解：(Lx)pp=(i-P(y?z-z?y)eP3)ei1P(ypz-zpy)ePu(F”一(-i砂(pz二(4)(Pz-py二py-Py.1：pz）（荷(L：)pp=；(x)L；pd三（2二)3ei-p/2二一二（i1Fd)3e)(p-p)(y?zi、3-pr)e(y?z?y)2e.pr-z?y)(y?z-z?y)ed.it一)3eP(y?z-z?y)(i)(py=(i)M-2一27PzPz-：Pzi-pz)ei-pr.：py)(2一邛rPr(y?z-z?y)ed(Py-Pz二Pz二Py(py二p-pz)2()3e一)2、

2、(p-p)Ty4.2求能量表象中，一維無(wú)限深勢(shì)阱的坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣元。解：基矢:/、2n二-Un(x)=.sinx:aa合匕耳匕里：En2-22n對(duì)角元:xmm2%2a2o.2xsin0axdx=-2|ucosnudu=口cosnu+usinnu+cnn當(dāng)時(shí)，m2axmn=一0(Sina0-x)xa(sin)dxa1a(m-n)二(mn)二.xcosx-cosxdxa0aaax0a(m-n)nax(m-n)n22cosx+sin(m-n)na(m-n)naa(m+n)nax.(m+n)nn2-2cos-x+sin-x(m+n)冗a(m+n)na12-1(m-n)2(m+n)24mn222(m-

3、n)*a2m二Mm(x)?Un(x)dx=-10asi.dxsindxn二,xdxa一12-a.n二一1raa_._m二n二sinxcosxdxaa(mn)二,(m-n)二-xsin-xaosindx,n研a=i2a|t(mn)二cos(mn)二axa(m-n)二cos(m-n)二a_(mn)(m-n)2-1(力J2mn22(m-n)asinmucosnudu=cos(mn)ucos(m-n)u2(mn)2(m-n)4.3求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定川方程為1.d2d21d7cm)f1cm片Ecg)1d2d2即丁命C(p,t)(E-D)C(p,t)=。兩邊乘以T2-，得

4、1d2c2Ep2八不C(p,t)()C(p,t)=01dp；-，；V0K令=2E屈三C(p,t)(一2)C(p,t)=0d跟課本P.39(2.7-4成比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為p2-EntHn(p)eEn=(n，C(p,t)=Nne2式中Nn為歸一化因子，即)1/2PN(nJ1/2n2n!#-22J；x24.4. 求線性諧振了哈密頓量在動(dòng)量表象事的矩陣元。解：r?21七2Hpp，=卅；(x)gp(x)dx-px(二二(2：x21x廣2x2)edx浜i?100%p4)x1-(1p)2edx222：vp21c1(p-p)J,222二p21cc：7T(p-p)丁，()一222i二p

5、2p/W-p)一32方2：26(pp)22二p2222pt(p-p)-2j22p2(p-p)-2x2e22二DO左Od2%p-p)x(一)2edx-i：p22戶1%p4)xredx氣仃fti)xdx4.5. 已知在仔和Lz的共同表象中，算符&和匕的矩陣分別為hLx2010101010,Ly0-ii0,0i求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)最后將矩陣0-i0Lx和Ly對(duì)角化。解:Lx的久期方程為fl2h/2？x的本征值為0,L?x的本征方程%=0,7-2升，-3h01、00、iia2其中aia2a2設(shè)為匕的本征函數(shù)L2和LZ共同表象中的矩陣S3)=0時(shí)，有aia210a30a2aia3=a3=-a

6、1,a2=0./0ai0由歸一化條件ai0*=2a11=0一0=（a1，0，-a1）-a1J1取a1:21-0對(duì)應(yīng)于1Tx的本征值0。當(dāng)年2=施時(shí),有1I0；a2liaia2a3；a221,、2(aia3)1-a22a1J由歸一化條件aia?a2二信2a3=2al二2a3a1歸一化的h=a1對(duì)應(yīng)于L?x的本征值拄a1a2a1a211a1a2:a2a3=a1V217（ai+a3）721-ja232中_左=一J2a1產(chǎn)*2S=01由歸一化條件4a1212對(duì)應(yīng)于L?x的本征信-五1212由以上結(jié)果可知，從I?和？Z的共同表象變到匕表象的變換矩陣為121.212對(duì)角化的矩陣為L(zhǎng)x121亞12,=SLx

7、S121-/1-212012、JIo1o1o1o1o1一61-21-2-0121211-1-21-22-按照與上同樣的方法可得12y的本征值為0,-方匕的歸一化的本征函數(shù)為從？和金的共同表象變到匕表象的變換矩陣為利用S可使？y對(duì)角化Ly4.6. 求連續(xù)性方程的矩陣表示解：連續(xù)性方程為CCO-一二-J-:ti一.J嘖L）一i-而J=、代”*，：*W)2=巳(，八2,二*，：*%2二)二1(1-T二*,*伏)i-i=卜*pr丁科*)ft.*1i一)=(-*T?-T?-*)Ft寫(xiě)成矩陣形式為iC-1)=T?-T?-i-(1-1)=1-T?-(1T?-)*=T-T量子力學(xué)考試大綱一.緒論(3)(1)

8、.了解光的波粒二象性的主要實(shí)驗(yàn)事實(shí)；(2) .掌握德布羅意關(guān)于微觀粒子的波粒二象性的假設(shè)。二.波函數(shù)和薛定謂方程(12)理解量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)在關(guān)于描寫(xiě)微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)的不同觀念.掌握波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：有限性、連續(xù)性、單值性.理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)W(x,t)按不同動(dòng)量的平面波展開(kāi)的方法及其物理意了解薛定謂方程的建立過(guò)程以及它在量子力學(xué)中的地位；薛定謂方程和定態(tài)薛定謂方程的關(guān)系；波函數(shù)和定態(tài)波函數(shù)的關(guān)系.對(duì)于求解一維薛定謂方程，應(yīng)掌握邊界條件的確定和處理方法.關(guān)于一維定態(tài)問(wèn)題要求如下：a.掌握一維無(wú)限阱的求解方法及其物理討論；b.掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特

9、點(diǎn)：c.了解勢(shì)壘貫穿的討論方法及其對(duì)隧道效應(yīng)的解釋.三.力學(xué)量用算符表達(dá)(17)(1)掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)；坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符以及量子力學(xué)中一切可觀察的力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符均為厄米算符.(2)掌握有關(guān)動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù)，它們的歸一性和正交性的表達(dá)形式，以及與這些算符有關(guān)的算符運(yùn)算的對(duì)易關(guān)系式.電子在正點(diǎn)電荷庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)提供了三維中心力場(chǎng)下薛定謂方程求解的范例，學(xué)生應(yīng)由此了解一般三維中心力場(chǎng)下求解薛定謂方程的基本步驟和方法，特別是分離變量法.掌握力學(xué)量平均值的計(jì)算方法.將體系的狀態(tài)波函數(shù)W(x)按算符P的本征函數(shù)展開(kāi)是這些方法中常用的

10、方法之一，學(xué)生應(yīng)掌握這一方法計(jì)算力學(xué)量的可能值、概率和平均值.理解在什么狀態(tài)下力學(xué)量F?具有確定值以及在什么條件下，兩個(gè)力學(xué)量商口(？同時(shí)具有確定值.掌握不確定關(guān)系并應(yīng)用這一關(guān)系來(lái)估算一些體系的基態(tài)能量.掌握如何根據(jù)體系的哈密頓算符來(lái)判斷該體系中可能存在的守恒量如：能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、宇稱等.態(tài)和力學(xué)量的表象(10理解力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符在具體的表象下可以用矩陣來(lái)表示；厄米算符與厄米矩陣相對(duì)應(yīng)；力學(xué)量算符在自身表象下為一對(duì)角矩陣；(2)掌握量子力學(xué)公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法.(3)理解狄拉克符號(hào)及占有數(shù)表象.微擾理論(16)了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件：對(duì)于非簡(jiǎn)并的定態(tài)微擾論

11、要求掌握波函數(shù)一級(jí)修正和能級(jí)一級(jí)、二級(jí)修正的計(jì)算.(3)對(duì)于簡(jiǎn)并的微擾論，應(yīng)能掌握零級(jí)波函數(shù)的確定和一級(jí)能量修正的計(jì)算.(4)掌握變分法的基本應(yīng)用；關(guān)于與時(shí)間有關(guān)的微擾論要求如下：a.了解由初態(tài)以躍遷到末態(tài)邛f的概率表達(dá)式，特別是常微擾和周期性微擾下的表達(dá)式；b.理解由微擾矩陣元Hiw0可以確定選擇定則；c.理解能量與時(shí)間之間的不確定關(guān)系：AEAts汽d.理解光的發(fā)射與吸收的愛(ài)因斯坦系數(shù)以及原子內(nèi)電子由巴態(tài)躍遷到中f態(tài)的輻射強(qiáng)度均與矩陣元rfi的模平方IrfiI2成正比，由此可以確定偶極躍遷中角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則.了解氫原子一級(jí)斯塔克效應(yīng)及其解釋.*六、散射問(wèn)題(8)七.自旋和全同粒子(15)了解斯特恩一格拉赫實(shí)驗(yàn).電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率與軌道回轉(zhuǎn)磁比率.掌握自旋算符的對(duì)易關(guān)系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣).與自旋相聯(lián)系的測(cè)量值、概率、平均值等的計(jì)算以及本征值方程和本征函數(shù)的求解方法.了解簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)的物理機(jī)制.了解L-S藕合的概念及堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)和物理解釋.根據(jù)量子力學(xué)的全同性原理、多體全同粒子波函數(shù)有對(duì)稱和反對(duì)稱之分.掌握玻色子體系多體波