超幾何分布二項(xiàng)分布正態(tài)分布

1、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過實(shí)例，理解超幾何分布及其特點(diǎn)，掌握超幾何分布列及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2、理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(即n重伯努利試驗(yàn))及其意義，理解二項(xiàng)分布并能解決一些簡單的實(shí)際問題。3、借助直觀圖，了解是正態(tài)分布曲線與正態(tài)分布，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義。4、會查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，會求滿足正態(tài)分布的隨機(jī)變量x在某一范圍內(nèi)的概率?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：正確理解超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的意義。難點(diǎn)：正確進(jìn)行超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布有關(guān)概率的計(jì)算。【知識要點(diǎn)】1、超幾何分布：一般地，若一個(gè)隨機(jī)變量x的分布列為：P(x=r)=其中r=0,1

2、,2,3,/,/=min(n,M),則稱x服從超幾何分布。尸pH-r斑記作xH(n,M,N),并將P(x=r)=CM,記為H(r,n,M,N)。如：在一批數(shù)量為N件的產(chǎn)品中共有M件不合格品，從中隨機(jī)取出的n件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)x的概率分布列如表一所示：(表一)012田IiP(x=r)J八NTHvHpipH2Cn*-p*J界-1其中/=min(n,M),滿足超幾何分布。2、伯努利試驗(yàn)(n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))，在n次相互獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對立的結(jié)果A與A出現(xiàn)，P(A)=p(0,1),這樣的試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn)。P(A)=i-p=q,則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰

3、好發(fā)生k次的概率(0<k(為P(k)=7k=0,1,2,3,，n),它恰好是(q+p)n的二項(xiàng)展開式中的第k+1項(xiàng)。3、二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量x的分布列為p(x=k)=C5%n、其中0Vp<1,p+q=1,k=0,1,2,n,則稱x服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，記作xB(n,p)。如：n次射擊中，擊中目標(biāo)k次的試驗(yàn)或投擲骰子n次，出現(xiàn)k次數(shù)字5的試驗(yàn)等均滿足項(xiàng)分布。3、正態(tài)分布曲線。(1)概率密度曲線：當(dāng)數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊無限縮小乃至形成一條光滑的曲線，則稱此曲線為概率密度曲線。(2)正態(tài)密度曲線：概率密度曲線對應(yīng)表達(dá)式為P(x)=(x6R)的曲線稱之為正

4、態(tài)密度曲線。正態(tài)密度曲線圖象特征：當(dāng)x心時(shí)曲線上升；當(dāng)x心時(shí)曲線下降；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線。正態(tài)曲線關(guān)于直線x=心對稱。b越大，正態(tài)曲線越扁平；b越小，正態(tài)曲線越尖陡。在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1。4、正態(tài)分布：若x是一個(gè)隨機(jī)變量，對任意區(qū)間卜同，Po1幼恰好是正態(tài)密度曲線下方和x軸上(第可上方所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為心和b的正態(tài)分布，簡記為xN(a,(T)o在現(xiàn)實(shí)世界中很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布。如：反復(fù)測量某一個(gè)物理量，其測量誤差x通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布；某一地區(qū)同性別同年齡組兒童的體重W也近似地服從正態(tài)分布。Hji2o-oUg+

5、cHU十？。（圖一）若xN(a,o2),則隨機(jī)變量x在心的附近取值的概率很大，在離心很遠(yuǎn)處取值的概率很少。如圖一所示：隨機(jī)變量x取值落在區(qū)間(廠巴心+(7止的概率約為68.3%,落在區(qū)間(門2(r,葉2(7上的概率約為95.4%,落在區(qū)間(廠3b,葉3b止的概率約為99.7%。其中，心實(shí)際上就是隨機(jī)變量x的均值，,為隨機(jī)變量x的方差，它們分別反映x取值的平均大小和穩(wěn)定程度。5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)，P(x)=JT(x6R),通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以確定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的有關(guān)概率。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在多種微小因素影響下，如果沒有一種影響占主導(dǎo)地位，則這樣

6、的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，特別是在獨(dú)立地大數(shù)量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，就平均而言，任何一個(gè)隨機(jī)變量的分布都將趨近于正態(tài)分布，這就是中心極限定理，中心極限定理告訴我們在平均重復(fù)觀察多次后，我們可以利用正態(tài)分布對隨機(jī)事件進(jìn)行分析和預(yù)報(bào)?？梢宰C明，對任一正態(tài)分布xN(a,月來說，都可以通過z=a轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布zN(0,1)。6、利用Excel進(jìn)行有關(guān)概率計(jì)算。(1)超幾何分布函數(shù)計(jì)算：按插入/函數(shù)/統(tǒng)計(jì)”選擇超幾何分布函數(shù)“HYPGEOMDI'ST,然后依次輸入r、n、M、N的值，或直接在單元格內(nèi)輸入=HYPGEOMDIST(4;5,10,30)”即可得到后邊例1中H(4;5,10,30)的值，約為0

7、.029472443。(2)二項(xiàng)分布函數(shù)計(jì)算：選擇插入/函數(shù)/統(tǒng)計(jì)”，選擇二項(xiàng)分布函數(shù)“BINOMDIST,然后依提示輸入相應(yīng)的參數(shù)k、n、p的值，或在單元格內(nèi)直接輸入=BINOMDIST(80,10000,0.006,1)”即可得到后面例4中P(x<8凹值，約為0.994。(3)正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算：選擇插入/函數(shù)/統(tǒng)計(jì)”，選擇正態(tài)分布函數(shù)“NORMDIST,輸入相應(yīng)參數(shù)x、心、b的值，或在單元格內(nèi)直接輸入，NORMDIST(184.5,184,2.5,1)”，就可得到后邊例6中P(x<184.5)勺值，約為0.5793。7、二項(xiàng)分布的近似計(jì)算。對于二項(xiàng)分布函數(shù)，當(dāng)n比較大，而p比較

8、小(p<0.1)而乘積np大小適中”時(shí)，可以利用近似公式P(x=k)=上！來計(jì)算?！镜湫屠}分析】例1:高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球，20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個(gè)球，摸到4個(gè)紅球一個(gè)白球就中一等獎(jiǎng)，求中一等獎(jiǎng)的概率。解：以30個(gè)球?yàn)橐慌a(chǎn)品，其中紅球?yàn)椴缓细衿贰?，隨機(jī)抽取5個(gè)球，x表示抽到的紅球數(shù)，則x服從超幾何分布H(5,10,30),4。才_210x20_由超幾何分布公式可得：H(4；5,10,30)=C益1425口623751弋0.0295所以獲一等獎(jiǎng)的概率約為2.95%。例2:生產(chǎn)方提供50箱的產(chǎn)品中，有兩箱不是合格產(chǎn)品

9、，采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若其中的不合格產(chǎn)品不超過一箱，則接收該批產(chǎn)品，問：該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？解：用x表示5箱中的不合格品的箱數(shù)，則x服從超幾何分布H(5,2,50),這批產(chǎn)品被接U的條件是5箱中有0或1箱不合格產(chǎn)品,故該產(chǎn)品被接收的概率為P(x<1即：P(x<1)=P(x=0)+P(x=1)=CJ048k47x46x45x44.48x47x46x451x+2x-Q>I<5M4K3K24K3x2x1Cq匚場+CmC制50149m4X7節(jié)乙孕=5x4x3x2x145x44+2x45x5=50V49243=245弋0.9929

10、9.2%答：該批產(chǎn)品被接收的概率約為例3:求拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面向上的概率。分析：將一枚均勻硬幣隨機(jī)拋擲100次，相當(dāng)于做了100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能結(jié)果，即出現(xiàn)正面(A)與出現(xiàn)反面(區(qū))且P(A)=P(A)=0.5o解：設(shè)x為拋擲100次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，依題意隨機(jī)變量xB(100,0.5),1兆.100TO"門qlM則P(x=50)=5ooFq100X-8弋8%答：隨機(jī)拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面的概率約為8%例4:某保險(xiǎn)公司規(guī)定：投保者每人每年交付公司保險(xiǎn)費(fèi)120元的人身意外保險(xiǎn)，則投保者意外傷亡時(shí)，公司將賠償10000元，如果已

11、知每人每年意外死亡的概率為0.006,若該公司吸收10000人參加保險(xiǎn)，問該公司賠本及盈利額在400000元以上的概率分別有多大？解：設(shè)這10000人中意外死亡的人數(shù)為x,根據(jù)題意，xB(10000,0.006),P(x=k)=c3(n乂0.0。6晨。0.0。百嚴(yán)”。當(dāng)死亡人數(shù)為x人時(shí)，公司要賠償x萬元,此時(shí)，公司的利潤為(120x)萬元，由上述分布，公司賠本的概率為：1201加.P(#=上)工Cloooo0,P(120-x<0)=1P(x<120)=1X=140這說明，公司幾乎不會賠本，利潤不少于400000元的概率為:和MZ改順X0006*x0.99410000P(120-x&

12、gt;40)=P(x<80)=BO=4。弋0.994即公司約有99.4%的概率可以賺到400000元以上例5:若隨機(jī)變量zN(0,1),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求：(1)P(z<1.52;)(2)P(z>1.52);(3)P(0,57<z<2,3)(4)P(z41.49)。解：(1)P(z<1.52)0.9357。(2)P(z>1.52)=1-P(z<1.52)=10.9357=0.0643。(3)P(0.57<z<2.3)=P(z<2.3卜P(z<0.57)=0.98930.7157=0.2736。(4)P(zW1.49)=P

13、(z>1.49>1-P(z<1.49)=10.9319=0.0681。例6:某批待出口的水果罐頭，每罐凈重x(g)服從正態(tài)分布N(184,2.52),求：(1)隨機(jī)抽取一罐，其實(shí)際凈重超過184.5g的概率。(2)隨機(jī)抽取一罐，其實(shí)際凈重在179g與189g之間的概率。<X-184>IS45-1&4解：(1)P(x>184.5)=P12525P(z>0.2)=1-P(z<0.2>1-0.5793=0.4207。<179-184<X-1S4<1£9-184.5(2)P(179<x<189)=pI2,52525/=P(-2<z<2)=P(z<2卜P(z<-2)=P(z<2)-P(z>2)=P(z<2)-1-P(z<2)=2P(z<2)-1=2X0.9772-1=0.9544答：隨機(jī)抽取一罐，其實(shí)際凈重超過184.5g的概率是0.4207,在179