第二章連續(xù)小波變換

1、2.2連續(xù)小波變換的概念與性質2.2. l連續(xù)小波變換的概念將任意L2(R)空間中的函數(shù)f(t)在小波基下進行展開，稱這種展開為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換(CWT),其表達式為(2.9)WTf a, = f(t),J, (t) =a/2 Rf(t);由CWT定義可知，小波變換與傅里葉變換的相同之處:(1) 一種積分變換。(2) 稱WTf(aj內小波變換系數(shù)。小波變換與傅里葉變換的不同之處：(1) 小波基具有尺度和平移兩個參數(shù)。(2) 函數(shù)在小波基下展開， 意味著將一個時間函數(shù)投影到二維的時間一尺度相平面 上。由于小波基本身所具有的特點，將函數(shù)投影到小波變換域后，有利于提取函數(shù)的某些本質特征。從

2、時頻分析角度來看，小波變換具有如下特點：若令a 紳 t=¥a,式t) =g(tT)ej的< a J貝U CWT可視作 STFToCWT：任意函數(shù)在某一尺度 a、平移點T上的小波變換系數(shù)，實質上表征的是在T位sAm置處，時間段aAt上包含在中心頻率為 也、帶寬為一旦頻窗內的頻率分量大小。隨著尺度©n - A© a的變化，對應窗口中心頻率窗口寬度 也發(fā)生變化(根據(jù)式(2.6), (2.7)。STFT:窗口固定不變(即不隨 6的變化而變化)。二者不同之處：CWT是一種變分辨率的時頻聯(lián)合分析方法。低頻(大尺度)，對應大時窗；高頻(小尺度)，對應小時窗。舉例說明。信號

3、 f(t) =sin(2n x500t)+sin(2n 父 1000t)+1.5$(t 165)+1.5$ (t -207)，在不同 時窗下的STFT和CWT的展開系數(shù)圖，如圖 2.1所示。與傅里葉基不同，尺度和位移均連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)形成了一組非正交的過度完全基。這意味著其任意函數(shù)的小波展開系數(shù)之間有一個相關關系。若用KMa,T；a：)描述兩個基函數(shù) 中a,t)和匕b的相關度的大小，則KWa,T;a/)=cF13a,Xt) 5ax出(2.11)RK表征了連續(xù)尺度、時移半平面（a,工）（由于a > 0所以稱半平面）的兩個不同點之間的CWT系數(shù)的相關關系，也稱它為再生核或重建核（再生

4、和重建的含義是指由尺度一平移相 4.1口 53.22.91 2.6231.41.1400一口 gscales 0.5 0.2time (or space) b時域波形0-1 1' L.-2 00.0050.01STFT大時窗vcneuapFe Im0.0150.020.025STFT中時窗0.030.0350.04STFT小時窗平面上的已知點，根據(jù)再生核公式可再生和重構出某一點），其結構取決于小波選取。2.2.2連續(xù)小波變換的一些性質連續(xù)小波變換是一種線性變換，它具有以下幾方面的性質：(1)疊加性設 x1(t),y1(t) w L2(R)空間，k1,k2為任意常數(shù)，且 x1(t)的 C

5、WT 為 WTx(a,i),且 y1(t)的 CWT 為 WTy(a,7),則 z(t) =k1x1(t)+k2yl(t)的 CWT 為WTz(aj) =kiWTx(aj) +k2WTy(a,i)(2.12)(2)時移不變性設x(t)的CWT為WTx(a,T),則x(t to)的CWT為WTx(a,to),即延時后的信號的x(t -to)的小波系數(shù)可將原信號 x(t)的小波系數(shù)在t軸上進行同樣時移得到。(3)尺度轉換(伸縮共變性)設 x(t)的 CWT 為WTx(a,T),則 x()的 CWT 為九<17.WTx(1-),九 >0(2.13)此性質表明，當信號在時域作某一倍數(shù)的伸縮

6、時，其小波變換在a, e軸上也作同一倍數(shù)的伸縮，形狀不變。(4)內積定理設 xi(t),x2(t)w L2(R)空間，它們的 CWT 分別為 WT%(a,D，WTx2(a,)，即WTxi(a, .)="(t)J a, (t)WTx2(a, )=4J a,則有 Moyal定理：(2.(14)(2.(15)二WTx1(a, ),WTx2(a, ) =C，一二 %。)?2。)其中00 C =.0證明由傅里葉積分的乘積定理可知1”(t),x2(t) = 2_. ,RX1( )X2(- )d 則有WTx1 (a, ) ="(t)J a, (t)1.=27 RX1('戶 a,.

7、( -)d 'WTx2(a, ) =：«2。)> (t) . 21=2_ rX2( )。( )d .(2.(16)由小波函數(shù)定義，Wa ,(t) =a f i,則有,a%,X«) =VOp(aco)e仃(2.(17)Pa ( ) "：a P(a )ej(2.(18)將式(2.18)代入式(2.15) , (2.16),再將式(2.15), (2.16)代入式(2.14),并化簡。e(.一)d = 2二c.(.-1)則式(2.14)左邊=a 112daX1。，)X2( -)'P(a-，)彳(a，)d，2二 R a忸(as)|2 -da X1(

8、)X2( )d 'J因為2T(a 0da 二a2T(a 1)da 1a忸儂)1Jr又由于小波函數(shù)滿足可容許性條件(即中括號內的積分值存在) a >0,所以可容許性條件改為,其一般情況下我們取則式(2.14)左邊最后成為-1左邊=C 一2二內積定理得證。2-da :二X X1(w)X2(w)d® j = Cw < x1(t), x2(t) >=右邊由上述定理的證明過程得知，內積定理的成立是以2-da <°°為條件的。當x1(t) =x2(t) =x(t)時，由Moyal公式可推出:Q0da(WTx(a,7)2dT=Cu4：x(t)2d

9、t(2.19)2.14)為能量關由于小波變換幅度平方的積分同信號的能量成正比，我們又稱式(系。(5)自相關性：對應不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù) b的連續(xù)小波變換之間是自相關的。(6)冗余性：連續(xù)小波變換把一維信號變換到二維空間，因此在連續(xù)小波變換中存 在信息表述的冗余度(redundancy)。小波變換的逆變換公式不是唯一的。2.3連續(xù)小波變換的逆變換2.3.1 連續(xù)小波變換的逆變換(ICWT )任何變換都必須存在逆變換(反變換)才有實際意義。對小波變換而言，我們可證明，若采用的小波滿足可容許性條件(公式 2.1),則其逆變換存在。即根據(jù)信號的小波 變換系數(shù)可以精確的恢復原信號，并滿足下述連續(xù)

10、小波變換的逆變換公式：1 二 da 二X02 .WTx(a, )- a, (t)dCt - 0 a -C，_.?！眡(a,)a"(2.20)2.11)描述了M(a" da <.，對5(t)提出的容許條件。a證明 令x(t) =x(t),X2(t)=6(t t'),則根據(jù)d函數(shù)的采樣特性：二 x1(t),、(t -t)=x(t)并由小波函數(shù)的內積定理式(2.14):G.x(t ) =C-"(t),、(t-t ) =：WTx(a, ),WT g)(a,)二 da= RWTx(a, )WT、(t_t)(a, )d a二da：=0 1 RWTx(a, )：、

11、(t -t)J a, (t) d="a gx(a, t) Ct -t)如二 da=-y WTx(a, .)' a, (t)d.a 、二da1 t -.(2.21)=0 aagWTx(a,T)云中(t a /也即小 1 二da1，/1 - -x(t)=C: 0 a2 RWTx(a,). a -(v)d逆變換公式得證。2.3.2重建核方程(再生核方程)尺度及位移均連續(xù)變化的連續(xù)小波基是一種過度完全基，再生核公式(連續(xù)半平面(a,3 (其中a >0)上的兩個不同點(2,7)和(2',丁)之間的CWT系數(shù)的相關關系。實際上這個再生核度量了每個小波基函數(shù)中a的空間和尺度的

12、選擇性。因此，a,某些情況下我們可以根據(jù)重建核的結構來選擇最適合于給定問題的小波基。由于任意信號小波變換的值在(a,E)(a w R4；7w R)半平面上是相關的，因此某一點四0,飛)處的小 波變換值 WTx(a0,T0)可以表示成半平面上其他各處小波變換系數(shù)的總貢獻，即一二da 二一WTx(a0,f0)=( WTx(aj)Kg(a0,T0； a,i)di(2.22)0 a y式(2.22)稱為重建核方程。證明由小波變換的定義式及其逆變公式有WTc(a。，) =< x(t)Wa(t) x 以(町,dt(2.23)(2.24)1 二 dax(t)=晨,0 口 .RWTx(a, )'

13、- a, (t)d將式(2.24)代入式(2.23)得1 二 da _x(t)=0 2 RWTx(a, .),1 a, (t)- a0，0(t)d.c a二 da 一=-r WTx(a. )K'；(a0, 0；a. )d.v a '、證畢。由重建核方程可知：(1) 任意一個隨機信號，其連續(xù)小波變換系數(shù)在小波相平面上都有一定的相關關系。相關區(qū)域的大小由再生核給出。隨著尺度的減小，其相關區(qū)域 減小，如圖2.9-2.11所示，這說明連續(xù)小波變換是一種冗余度很高的基。(2) 由重建核方程可知，任意函數(shù)的小波變換系數(shù)在a-T域都必須滿足重建核方程。因此，并不是a-7域的任意函數(shù) F(a,

14、T)都可看作是某一函數(shù) f(t)的小波變換系數(shù) WTf(aj)o2.4幾種常用的連續(xù)小波基函數(shù)與常用信號的連續(xù)小波變換與標準傅里葉變換相比，小波分析中所用到的小波函數(shù)具有不唯一性， 即小 波函數(shù)中具有多樣性。但小波分析在工程應用中的一個十分重要的問題是最優(yōu) 小波基的選擇問題，這是因為用不同的小波基分析同一個問題會產生不同的結 果。目前，主要是通過用小波分析方法處理信號的結果與理論結果的誤差來判定 小波基的好壞，并由此選定小波基。根據(jù)不同的標準，小波函數(shù)具有不同的類型，這些標準通常有：(1)中、中、4和9的支撐長度。即當時間或頻率趨向無窮大時， 中、手、巾 和從一個有限值收斂到0的速度。(2)對

15、稱性。它在圖像處理中對于避免移相是非常有用的。(3)中和金(如果存在的情況下)的消失矩階數(shù)。它對于壓縮是非常有用的。(4)正則性。它對信號或圖像的重構獲得較好的平滑效果是非常有用的。但在眾多小波基函數(shù)(也稱核函數(shù))的家族中，有一些小波函數(shù)被實踐證明是非常有用的。我們可以通過 waveinfo函數(shù)獲得工具箱中的小波函數(shù)的主要性質，小波函數(shù)中和尺度函數(shù)十可以通過wavefun函數(shù)計算，濾波器可以通過 wfilters函數(shù)產生。在本節(jié)中，我們主要介紹一下 MATLAB中常用到的小波函數(shù)。2.4.1 幾種常用的連續(xù)小波基函數(shù)(1) Haar小波Haar函數(shù)是在小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小

16、波函數(shù)，同時也是最簡單的一個函數(shù)，它是非連續(xù)的，類似一個階梯函數(shù)。Haar函數(shù)與下面將要介紹的db1小波函數(shù)是一樣的。Haar函數(shù)的定義為10<x<1/2'H = -11 三 x ： 120 其它2000.5圖2.2尺度函數(shù)為10 -x -10 其它在MATLAB中，可以輸入命令 waveinfo( 'haar')獲得Haar函數(shù)的一些主 要性質。如圖2.2所示。(2) Daubechies(dbN)、波系Daubechies函數(shù)是由世界著名的小波分析學者 Ingrid Daubechies構造的小波 函數(shù)，除了 db1(即haar小波)外，其他小波沒有明確

17、的表達式，但轉換函數(shù)h的平方模是很明確的。dbN函數(shù)是緊支撐標準正交小波，它的出現(xiàn)使離散小波分析 成為可能。N _1假設P(y)=£ C：/yk,其中，CN，水為二項式的系數(shù)，則有 k 0m(o(8)2cos2-)Np(sin2-)1 2N其中，m0( ):'' hkej ' ,2 k 0幾個結論：1) 小波函數(shù)中和尺度函數(shù)中的有效支撐長度為2N 1,小波函數(shù)中的消失矩階數(shù)為No2) 大多數(shù)dbN不具有對稱性，對于有些小波函數(shù)，不對稱性是非常明顯的。3) 正則性隨著序號N的增加而增加。4) 函數(shù)具有正交性。我們畫出db4和db8小波的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾

18、波器和重構濾波器 的圖形，如圖2.3所示。Daubechies小波函數(shù)提供了比 Haar組更有效的分析和綜合。Daubechies系 中的小波基記為dbN, N為序號，且N=1, 2,，10。在MATLAB中，可以輸入命令 waveinfo( 'db')獲得Daubechies函數(shù)的一些主要性質。0.50.50246低通分解泄遽器 口有廠l- J | Jdb4尺電函奴d0 *) 一15 LL / 1 L.二0 12 3 4 5 6 7低通重構濾波儲n 1c 5FT高逋分解淀波器島城事:拘池波黑但)圖2.3(3) Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biortho

19、gonal函數(shù)系的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應用在信號 與圖像的重構中，通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構。眾所周知，如果使用同一個濾波器進行分解和重構，對稱性和重構的精確性將成為一對矛盾，而采用兩個函數(shù)，將有效地解決這個問題。設函數(shù)中用于信號分解，而函數(shù)中用于信號重構，則分解和重構的關系式為Cj,k = s(x),k(x)dx其中，sCjjj,k j ,k另外，©與中之間具有二元性j,k(xNj：k，(x)dx = 0F0,k(x)%,k(x)dx=0這樣，利用獷函數(shù)的特性，在信號分解時可以獲得一些很好的分解性質(如 振動、零力矩)，而利用中的特

20、性，在信號重構時又可獲得一些很好的重構性質(如 正則性)。Biorthogonal函數(shù)系通常表示成 biorNr.Nd的形式:Nr=1 Nd=1, 3, 5Nr=2 Nd = 2, 4, 6, 8Nr=3 Nd=1, 3, 5, 7, 9Nr=4 Nd = 4Nr=5 Nd = 5Nr=6 Nd = 8其中，r 表示重構(Reconstruction); d 表示分解(Decomposition)。我們畫出bior2.4和bior4.4小波(分別用于分解與重構)的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構濾波器的圖形，如圖 2.4所示可輸入命令 waveinfo( 'bior')獲得

21、該函數(shù)的主要性質。低通分韓濾波器高通分解濾波器低通分解濾波器r I I I P j jri °if.二. i【i *二.%: 11 , . ：%- 0.5 L-.L l.a_1_lJ -0.5 Lj_I_L 1 1_k_i-1-0.50)234567901234567R90I234567S9品通分髀濾波需重構尺度函數(shù)索何小波函數(shù)重構尺度函歿重的小波函數(shù)4680246£0246#02468低通鼠構戲波器麻通重構舞波掰弧,通重構4波器高詡重拇流港器0123456739DI234567S90|2J45fi7«90J234567N9何向圖2.4(4) Coiflet(co

22、ifN)/、波系Coiflet函數(shù)也是由Daubechies構造的一個小波函數(shù)，它具有coifN(N=1,2, 3, 4, 5)這一系列。Coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN 具有和db3N和sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N和sym2N相同的消失矩數(shù)目。在這里，我們畫出coif3和coif5小波的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器 和重構濾波器的圖形，如圖2.5所示。在MATLAB中，可輸入命令 waveinfo( 'coif獲得該函數(shù)的主要性質。尺度函數(shù)小波的數(shù)尺度函教小波函教低通分解擷器高通分解濾波器悵通招濾螭崩分

23、解濾波器低通重構濾波器高誕構懶器低通重構濾波黑高凝構濾波器0 24 6 31012141&1O22342S28 H 4 S0l2Hl6isK)222«樹圖2.5(5) Morlet 小波Morlet小波是一種單頻復正弦調制高斯波, 域、頻域形式如下：.2 ，時域 (t) -e /2ej 0t,0-52_(;.-, ;/.0)頻域:()=、2二3一 2Morlet小波的時域、如圖 2.6 (a), (b)所示。(b)也是最常用的復值小波，它的時注意：此小波不滿足可容許性條件，因為 皆(6 = 0)#0 ,不過當 %之5時，我們認為空(0 =0)左0 ,近似滿足容許性條件。復數(shù)M

24、orlet小波實部虛部圖2.6Morlet小波是一種復數(shù)小波，其時頻域都有很好的局部性，常用于復數(shù)信號的分 解及時頻分析中。Morlet小波在推廣到n維時具有很好的角度選擇性。由于它的尺度函數(shù)不存在，因此分析不具有正交性。(6) Marr 小波(Mexcian hat)Marr小波的形狀好似墨西哥草帽，因此有時也稱它為墨西哥草帽( Mexcianhat function)小波，如圖2.7所示。它的時域、頻域形式如下：時域W(t) =(1 -t2)e-L2/2 = T-2)dt2 宜頻域 彳(,，)- .一2二，2e 2 ,彳(._ 0)=0Marr小波為高斯函數(shù)的二階導數(shù)，在 0=0處，中(。

25、)有二階零點，在時、頻域 同時具有很好的局部性。由于它的尺度函數(shù)不存在，因此分析不具有正交性。051015202530圖2.7(7) DOG (Difference of Gaussian)小波DOG小波是兩個尺度相差一倍的高斯函數(shù)之差，其波形如圖 2.7所示。它 的時域公式如下：二e-t2 /21-t2 /8-e2 在切=0處，它的傅里葉變換 中(0)有二階零點P( =0) =0(7) Meyer 函數(shù)Meyer小波的小波函數(shù) 支撐的正交小波。y和尺度函數(shù)f都是在頻域中進行定義的，是具有緊(2冗1112 "</2 ./冗 / 3八 2 冗 J e'y sin(-v(1

26、 -1),< ©22冗3=«(2 冗尸/2elo/2cos(-v( lai -1), < 切 <8- 22 7tli 330,2冗8工0 ，3 3其中，v(a)為構造Meyer小波的輔助函數(shù)，且有 v(a) = a4(35 84a+ 70a2 20a3)aC0, H(2冗產(8)=< (2冗4/2/冗 / 3.廣 cos(-v(-© -1)22 7t2冗0 <32冗4冗<© <334冗>3在MATLAB中，可輸入wavelnfo( meyr)獲得該函數(shù)的主要性質，如圖2.8所示Meyer scaling f

27、unctionMeyer wavelet fiinction(8) Battle-Lemarie 小波Battle-Lemarie小波在MATLAB工具箱中不存在，但它也是我們常用到的一 個小波函數(shù)。它具有兩種形式，一種具有確定的正交性，一種不具有確定的正交 性。當n=1時，尺度函數(shù)是線性樣條函數(shù)；當 N = 2時，尺度函數(shù)是具有有限 支撐的B-樣條函數(shù)。更一般的情況，對于一個 N次B樣條小波，尺度函數(shù)為當N為奇數(shù)時，k= 0 它的雙尺度關系為當N為偶數(shù)時，k=1。上式可以用來構造濾波器 2M中2加 £ C2M 飛(2x-M -1 + j) N =2M(x)j =02M 220 r

28、C2M 2 (2x- M -1 j) N =2M 1j §是反對稱的，x= 0O當N為偶數(shù)時，戶是對稱的，x= 1/2;當N為奇數(shù)時,表1-1 MATLAB工具箱中15個小波（或小波系）的主要性質小波函數(shù)HaarBLurthgunnlCoidctaSymltB sMorlciMvxicgin hueMeytr小波珀當名dbbiorcoifsymmor1niexhnicyr表示虺大bairdbJVbtorNr. Ndcoi£NAycn,>?modniexhmtyr舉例ha ardb3biorZ.Icoil35ym2morlrnexhme yr正交性有有無ww "

29、;無無有雙正交性有育）有有 * 毒*有重支原牲有春有p -*無X連續(xù)小波變換可以可式可以可以可11可以可或可以席散小波變換可以可以MJW可以可以不打以不可以司既.何無FWT支掾長度12N-1施梅i 2NH-1分解：2Nd-hl6N-12N-1有限氏度行聯(lián)氏度存圈氏度值波部長度22NmWENr. 2Nd) + ZRN2N£4, 4 5- 5-S，«時稱性時許近觸時群不對稱近©對梆近他時稱時稱時稱襯稱_個豈雨敷19a»rIXiubuthie5Bi0rthgQnnl1SycnlctwMnririMe 6口ei huiMeyer小波雨效小消 光地階數(shù)1NNr-1

30、N尺度的數(shù)中消 尖麗階數(shù).四一 1一一一小皴函數(shù)IJtineyRbiuNr. Nd1UgauCtnotFbspShan小筱能可名眄甘(J?mytMoNe. Xd。歐uCHUJTfb3PFihATli表承泌式附MSdemyiUuNl NiiCRUMrmorfbpihan率例躍UKdemyrhENt. NdegaucmurI5pdhan期支撐正交性丸無無無無無無假支撐我正交性苑無有X大±1II - L丸 一.土繞小波變換可戰(zhàn)urnAJU不訶以不可以不可出不可以青聯(lián)小波孌挽不琉以可以可以不可以不可以不制以不可以對稱作而秋時戳對蹴時翱制稱對都時稱- 小法函數(shù)中消 失知階數(shù)尺度西敦渭 失理曲黜

31、1 _Mr - I I,一2.4.2幾種常用信號的連續(xù)小波變換卜面給出幾種常用信號的小波變換:(1) 6函數(shù)的連續(xù)小波變換Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 .度尺20304050607080100200300400500600time (or space) b(2)正弦函數(shù)的連續(xù)小波變換Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 20 30 40 50 60 . 80 70 60 度50 尺 40 30 20 100200300400500600time (or

32、space) bI III 11(3)白噪聲的連續(xù)小波變換time (or space) b2.5連續(xù)小波變換的應用舉例MATLAB 函數(shù)：(1) scal2frq函數(shù)：尺度轉換為頻率函數(shù)%設置小波函數(shù)、時間問隔和采樣點數(shù)wname=norl' ;A=0;B=64;P=500;%計算采樣周期和采樣函數(shù)及真實頻率t=linspace(A,B,P);delta=(B-A)/(P-1);tab_OMEGA=5,2,1;tab_FREQ=tab_OMEGA/(2*pi);tab_COEFS=5,3,2;x=zeros(1,P);for k=1:3x=x+tab_COEFS(k)*sin(tab

33、_OMEGA(k)*t);end%設置尺度并且使用scalfrq 函數(shù)計算準頻率序列scales=1:1:60;tab_PF=scal2frq(scales,wname,delta);%計算最近似的準周期和相應頻率for k=1:3dummy,ind=min(abs(tab_PF-tab_FREQ(k);PF_app(k)=tab_PF(ind);SC_app(k)=scales(ind);end%進行連續(xù)分解并繪圖str1=strvcat( '500 samples of x=5*sin(5t)+3*sin(2t)+2*sin(t) on0,64 真實頻率(Hz) :5 2 1/(2

34、*pi)=' ,num2str(tab_FREQ,3)str2= ' 準周期函數(shù)組和尺度：' ;str3=num2str(tab_PF',scales',3);str4= ' 準頻率 =' ,num2str(PF_app,3);str5= ' 對應尺度=' ,num2str(SC_app,3);figure;cwt(x,scales,wname, 'plot' );ax=gca;colorbaraxTITL=get(ax, 'title' );axXLAB=get(ax, 'xlab

35、el' );set(axTITL, 'String',str1)set(axXLAB, 'String',str4, ' - ',str5)clc disp(strvcat( '' ,str1, '' ,str3, '' ,str4,str5)真實頻率(Hz) :5 2 1/(2*pi尸500 samples of x=5*sin(5t)+3*sin(2t)+2*sin(t) on 0,640.7960.3180.1595855a SRacs5249464340373431282522191

36、61310741220200180160140120100240100200300400準頻率=0.7920.3170.158 - 對應尺度=820(2) wfilters函數(shù)：小波濾波器計算正交小波或雙正交小波 wnamet關的格式 1: Lo_D,Hi_D,Lo_R,Gi_R=wfilters(wname);4個濾波器。格式 2： F1,F2=wfilters( Wname,'type )Type: d', 'r', 'l ', 'h'煙置小波名稱wname=db5'% 十算該小波的4個濾波器組Lo_D,Hi_D,Lo

37、_R,Gi_R=wfilters(wname);subplot(221);stem(Lo_D);title('分解低通濾波器)；subplot(222);stem(Hi_D);title('分解高通濾波器)；subplot(223);stem(Lo_R);title('重構低通濾波器)；subplot(224);stem(Gi_R);title('重構高通濾波器)；分解低通濾波器1分解高通濾波器0.50-0.5 0510重構低通濾波器重構高通濾波器(3)畫尺度函數(shù)和小波函數(shù) %設置有效支撐和網(wǎng)格參數(shù) lb=-8;ub=8;n=1024;日算并畫出Meyer小波和

38、尺度函數(shù) phi,psi,x=meyer(lb,ub,n);subplot(211);plot(x,psi);title( 'Meyer 小波') subplot(212);plot(x,psi);title('Meyer 尺度函數(shù)')波-1Meyer 小Meyer 尺度函數(shù)CWT的變換過程1 .把小波山(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較2 .計算系數(shù)c。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù) c的值越 高表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c可以反映這種波形的相關程度3 .把小波向右移，距離為k,得到的小波函數(shù)為巾(t-k),然后重復步驟1和 2。再把小波向右移，得到小