定積分的性質

1、§4定積分的性質教學目的：熟練掌握定積分性質及積分中值定理。重點難點：重點為定積分性質及第一中值定理，難點為推廣的積分第一中值定理。教學方法：講練結合。一、定積分的基本性質性質i若f在a,b】上可積，為常數(shù)，則在a,b】上也可積，且(1)bbakfxdx=kafxdx證當k=0時結論顯然成立當k=0時，由于f（xg,由f在Ja,b】上可積時，故任給®>0，存在&0,當時|T|<6時,n從而Zkf(RXi-kJ<&i=1即kf在a,b上可積，且bbakfXdx=kJ=kafXdx性質2若f,g都在a,b上可積，則f+g在a,b】上也可積，且f

2、(x)±g(x)dx=bbfxdxgxdx,aa證明與性質1類同.性質l與性質2是定積分的線性性質，合起來即為I*fxLgxdx=：afxdx-，Igxdx,性質3若f,g都在a,b】上可積；則在Rb】上也可積.證由f,g都在a,b】上可積，從而都有界，設A=supxa,b且A0,BA0（否則f,g中至少有一個恒為零值函數(shù)，于是f，g亦為零值函數(shù)，結論顯然成立）.任給&0,由f,g可積，必分別存在分割、，使得f.；-g,.''i'Xi,'.，i二咎:：:t2Bt2A令T=T'+T"（表示把、的所有分割點合并而成的一個新的分割）

3、.對于a,b1上所屬的每一個，有ifg=supfXgX-fXgxx,x二RsupLgXt：|fX一fXfXi;|gX一gx】x,x-B-if-A、.可知w<g.獲-B、，if.'：XiA、，ig：XiTTT展、"Xi.A'TT":BA=；.2B2A這就證得fg在a,b】上可積.bbb注意，在一般情形下fXgXdx=fXdxgxdx.a'a'a性質4在a,b】上可積的充要條件是：任給c在（a,b），在a,c】與L,b】上都可積.此時又bcb有等式fxdx=fxdx，Ifxdx.aa-證充分性由于在a,c與C,b】上都可積，故任給8A0，分

4、別存在對虹c與b,b】的分割與，使得<2t'2現(xiàn)令T=T十T",它是對la,b】的一個分割，且有由此證得在a,bi上可積.必要性已知在a,b】上可積，故任給s>0，存在對！a,b】的某分割，使得£叫XiCET在上再增加一個分點，得到一個新的分割.又有'jjXj_、-x-；T分割在a,c】和c,b】上的部分，分別是對a,c】和c,b】的分割，記為和，則有WV''i"U：AxXE何*<&這就證得f在a,b】與b,c】上都可積.在證得上面結果的基礎上最后來證明等式（3）.為此對la,b】作分割T,恒使點c為其中的

5、一個分點，這時t在a,c】與c,b】上的部分各自構成對a,c】與E,b】的分割，分別記為與T.由于、fiWfi"x，-、fif,因此當|T|t0（同時有|T|T0,|TT0）時，對上式取極限，就得到（3）式成立.口性質4及公式（3）稱為關于積分區(qū)間的可加性.當f（x）芝0時，（3）式的幾何意義就是曲邊梯形面積的可加性.b按定積分的定義，記號ff（xdx只有當a<b時才a有意義，而當a=b或aab時本來是沒有意義的.但為了運用上的方便，對它作如下規(guī)定：b規(guī)定2當aab時，令afxdx=一bfxdx規(guī)定l當a=b時，令（f（xdx=0;.有了這個規(guī)定之后，等式（3）對于a,b,c的

6、任何大小順序都能成立.例如，當a<b<c時,只要在a,c1上可積，則有cbbccbfxdxfxdx=fxdxfxdx-fxdx=fxdxac.abba性質5設為a,b】上的可積函數(shù).若f（x）芝0,xa,b】，則jbf（xdx0a推論（積分不等式性）若與為a,b】上的兩個可積函數(shù)，且f（x）、g（x）,xa,bi,則有性質6若在a,b】上可積，則(5)bbb.fxdx三.gxdxaaf在G,b】上也可積，且七履蟲苴ff(x)dx.'aa證由于在a,b】上可積，故任給&>0，存在某分割，使得£cofAXj<&.由絕對值不等式|fx一fx一

7、fx一fxL可得廠三-if,于是有、.Jf上x.*、f*：；.TT從而證得在a,b】上可積.再由不等式-f(x*f(x)qf(x),應用性質5(推論)，即證得不等式(6)成立.注意這個性質的逆命題一般不成立，例如、,x為有理數(shù)，f(x)=J-1,x為無理數(shù)在0,1】上不可積(類似于狄利克雷函數(shù))；但f(x三1,它在b,1】上可積.1例1求Lf(xdx,其中“、2x-1,-隹xY0,f(x)=二e,0壬x壬1.解對于分段函數(shù)的定積分，通常利用積分區(qū)間可加性來計算，即101/xdx=fxdx0fxdx01=2x-1dx，Iedx-10=x2_x01e：i-e頃000注1上述解法中取f(xdx=(2

8、x-1dx，其中被積函數(shù)在x=0處的值已由原.1來的f(0)=e"xm=1改為(2x1眼=T，由§3習題第3題知道這一改動并不影響在1-1,0】上的可積性和定積分的值.注2如果要求直接在【-1,1】上使用牛頓一萊布尼次公式來計算1Lf(xdx=F(1)-F(-1)這時F(x)應取怎樣的函數(shù)？讀者可對照§2習題第3題來回答.例2證明若在a,b】上連續(xù)，且f(x)20,rf(xdx=0,則f(x)三0,xla,b.證用反證法.倘若有某x0含a,b,使f(x0)>0,則由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在的某領域(xo-&,x°十6)(當x°=

9、a或Xg=b時，則為右鄰域或左鄰域)，使在其中fxf(x)芝>0.由性質4和性質5推知bx0-、.fxdx=fxdxaa2fbfxdxfxdxx0.x0I)x。3fx0dx0=fx0、-0,這與假設ff(xdx=0相矛盾.所以f(x)三0,xwa,ba注從此例證明中看到，即使為一非負可積函數(shù)，只要它在某一點處連續(xù)，且f(x0)>0,b則必有f(xdx0.(至于可積函數(shù)必有連續(xù)點，這是一個較難證明的命題，讀者可參閱§6習題第7題.)二積分中值定理定理9.7(積分第一中值定理)若在a,b】上連續(xù)，則至少存在一點/Ia,b,使得bf(xdx=f($8-a.(7)a證由于在a,b

10、】上連續(xù)，因此存在最大值和最小值.由m_fx_M,xla,b使用積分不等式性質得到bmb-a_fxdx_Mb-a,am-1fxdx_M.baa再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點"a,。，使得1bf卜)=ff(xdx,()b-aa這就證得(7)式成立.積分第一中值定理幾何意義為，若在ia,b】上非負連續(xù)，昨廣朋則y=f(x麻a,b】上的曲邊梯形面積等于以f(t)為高，可理解為f(x祚區(qū)間la,b上所有函數(shù)值的平均值.這是通常有限個數(shù)算術平均值的推廣.你XfbIa1而積面形矩的底為b,ab-a_L4rJ圖*II例3試求f(x)=sinx在b,?！可系钠骄?解所求平均值為心1邳1K2f(5)=sinxdx=-cosxb=0定理9.8(推廣的積分第一中值定理)若與都在a,bR連續(xù)，且g(x)在la,b】上不變號,則至少存在一點a,b1,使得bbaf(xg(xdx=f(&)g(xdx(8)(當g(x)時，即為定理9.6.)證不妨設g(x),x在a,b】.這時有mgx土fxgx壬Mgx,xa,b|其中M,m分別為在la,b】上的最大、最小值.由定積分的不等式性質，得到bbbmgxdx£fxgxdx£Mgxdx.aaa