高考文科立體幾何證明專題

1、立體幾何專題1 .如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形 ABC中，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，AD = AE ,F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G ,將AABF沿AF折起，得到如圖5所示的三棱錐A-BCF,其中bc=£(1)證明：DE平面BCF；(2)證明：CF _L平面ABF ;， 2 ，(3)當(dāng)AD =§時(shí)，求二梭錐F -DEG的體積Vf _deg -圖4【解析】(1)在等邊三角形 ABC中，AD=AEAD AE二 =，在折疊后的三棱錐 A - BCF中DB EC也成立，二DE/BC,'：DE二平面BCF ,BC匚平面BCF ,，DE /平面BCF ；1(2)在等

2、邊三角形 ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以 AF_LBC，BF=CF=.2在三棱錐2222-A-BCF 中，BC =，BC2 = BF2+CF2, CF _L BF 2'/ BF ccf =F 二 CF _L 平面 ABF ；(3)由(1)可知GE/CF ,結(jié)合(2)可得GE _L平面DFG .1 1Vf -deg -Ve -dfg =DG FG GF3 21 1 1/1 向”133 T TT TT_ 13 2 3 13 2,3 324【解析】這個(gè)題是入門級(jí)的題， 除了立體幾何的內(nèi)容,還考查了平行線分線段成比例這個(gè)平面幾何的內(nèi)容 1、，2 .如圖5所小，在四棱錐中_L平面 是的中點(diǎn)，F(xiàn)是

3、上的點(diǎn)且一為中邊上的局.2(1) 證明：_L平面；(2) 若1, 22 1,求三棱錐的體積;(3) 證明：_L平面.解：丁 PH為A PAD 中的高PH _ AD又 AB _L 面 PAD ,PH u平面 PADPH _ ABAB - AD 二 A所以 PH 1平面 ABCD(2):過(guò)B點(diǎn)做 BG 1CD,垂足為G ；連接，取 中點(diǎn)M,連接，則是 ABPH的中位線;由(1)知：PH _L 平面 ABCD二 EM _L 平面 ABCDj.EM _L 平面 BCF即為三棱錐E-BCF底面上的高1 一. 1EM= -PH =2 211_2S bcf FC BG =1 x 2 -CF 222VE -B

4、CF1 _T-Sbcf 'EM 3121XX 322212- AB _L 平面 NEF又EF u平面 NEFEF _ AB二四邊形 NADF 是距形AB _ NFNF - NE = N- AB _L 平面 NEF(3):取中點(diǎn)N,中點(diǎn)Q,連接，,: AB / CD , CD 1 平面 PAD 二 AB 1 平面 PAD , PA U平面 PADAB _ PA又；EN是APAB 的中位線EN / PAAB _ EN一1又 DF = AB 2二四邊形 NADF 是距形.AB _ FNEN - FN = N3、如圖，已知三棱錐 A一中，1,±,M為中點(diǎn)，D為中點(diǎn)，且為正三角形。(I

5、 )求證：/平面；(n)求證：平面，平面；(出)若=4, =20,求三棱錐 D一的體積.4、已知正方體 一AiBiCiDi,其棱長(zhǎng)為2, O是底對(duì)角線的交點(diǎn)。求證：(1) CiO /面 iDi；(2) AC面 Qi。(3)若M是i的中點(diǎn)，求證：平面 iDi,平面iDiE、F分別是、的中點(diǎn)5.如圖，垂直于矩形所在的平面，=2, =2,(1)求證：/平面；(2)求證：平面，平面；(3)求四面體的體積.6.如圖，已知在三棱柱一AiBiCi中，1,平面,(1)求證：平面1,平面；(2)求證：1/平面.M、N、P、Q分別是1、1、B1C1的中點(diǎn).m7 .如圖，在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCD A1B1c1

6、D1中,E、F分別為DDi、DB的中點(diǎn).(1)求證：EF 平面 ABC1D1 ；(2)求證：EF _LB1c8 .右圖為一簡(jiǎn)單集合體，其底面為正方形，PD _L平面ABCD ,EC/PD，且 PD = AD =2EC=2 .(1)畫出該幾何體的三視圖；(2)求四棱錐B的體積；(3)求證：BE平面PDA.(1)求證：GC _L面EFP ；9 .如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD_L平面ABCD, PD=AB=2, E, F, G 分別為 PC、PD、BC 的中點(diǎn).(2)求證：；PA面EFG ;(3)求三棱錐P-EFG的體積.3、解：(I)由已知得，MD是的中位線，MD /

7、AP 2 分丁 MD迎面APC, AP匚面APC，MD / 面APC 4 分(n) :PMB為正三角形，D為的中點(diǎn),MD -L PB, AP _L PB 6 分又丫 AP _L PC,PB c PC = P 二 AP _L 面 PBC 7 分: BC u 面 PBC - AP_L BC又丫 BC _L AC, AC cAP =A：. BC _L 面APC 9 分丁 BC u面ABC二平面，平面10分（出） MD，面PBC，二MD是三棱錐 M一的高，且=573 11分又在直角三角形中，由= 10, =4,可得=2721 12分1于7S 幽CD 2 SCP = 2 J21， 13 分1二 VD B

8、CM = VM _DBC = _ Sh = 10V71 4 分34、證明：（1）連結(jié)AG,設(shè)慶1孰。旦） =。1連結(jié)AO1，,； ABCD A1B1cl 口是正方體,AACC1是平行四邊形:.A1C1L AC 且 A1C1 = AC又O1,O分別是A1C1, AC的中點(diǎn)，,01cl AO且O1C1 = AO,AOC1O1是平行四邊形，C101Ao11Aoi 仁面 AB1D1 , CQ0 面 AB1D1.C1OL 面 AB1D1 5 分（2） 7 CC1，面 A1B1c1D1 C C -L BD又 A A1cl 1 B1D1,，B1 D1-L 面 A, C1c即 AC - B1D1同理可證A1C

9、 -L AB1 ,又 D1B1P1 AB1 叩二 AC，面 AB1D1(3)設(shè)B1D1的中點(diǎn)為N,則，B1D1，B1D1,則MN = . 3, AN = .6, AM =3二 AN2 +MN 2 = AM 2,j.AAMN 是RT&- AN .LMN，, AN，面帕2仆二面AB1D1，面帕小1,(也可以通過(guò)定義證明二面角是直二面角) 14分5、.解：證明：設(shè)G為的中點(diǎn)，連結(jié)， F為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，, ?II?平面，II平面；(2)證明：= = = 2, _L又,，平面，？平面，二，n= a,，平面，？平面，上. n=D, 平面,，平面，?平面， 平面，平面；(3)由(2)知，平面，

10、所以為四面體的高，又II ,所以，=,=，生=2.得四面體的體積V=S =.6、證明：(1) . =, P為的中點(diǎn)，.，又 1 / 1,1,平面， 1,平面，又.1n=c,，平面i,由題意知/,故，平面 1,在平面內(nèi)，平面1，平面.(2)連接 1、1, 111 , II ,又 i n= b ,，平面i /平面,.1在平面i內(nèi)，1 / 平面.解：(1)證明：連接，則=2, = 2, v _ 2- 2 2 _ 2.一.又，平面, .，又 n=A,- DF _L 平面 PAF 1PF仁平面PAF J 一 (2)過(guò)點(diǎn)E作/交于點(diǎn)H, 再過(guò)點(diǎn)H作II交于點(diǎn)GDF _ PF .則II平面且= 則II平面且

11、=,，平面II平面.II平面.從而滿足=的點(diǎn)G為所求.7、證明：(1)連接BD1E、F分別為DD、DB的中點(diǎn)，則EFBD1,又BD1仁平面ABC1D1 , EF也平面ABC1D1,EF 平面 ABC1D1(2)正方體 ABCD A1B1c1D1 中，AB_L 平面 BCC1B1 ,則 AB _L B1C正方形 BCC1B1 中，B1c _L BC1,又 ABC BC1 ,、BC尸平面 ABC1D1,則 B1C _L 平面 ABC1D1,BD1 仁平面 ABC1D1 ,所以 B1C 1 BD1又 EF BD1,所以 B1c _L.8、解：(1)該組合體的主視圖和側(cè)視圖如右圖示：3分(2) . P

12、D _L 平面 ABCD , PDu 平面 PDCE平面PDCE _L平面BC _LCD _L 平面 PDCE 5 分一 11 .S弟形PDCE = (PD E EC) DC =父3父2=36 分22 四棱錐B 的體積1-1八八八八Vb _CEPD = 一 S梯形 PDCE BC = 一 父 3 父 2 = 2 8 分 33(3)證明：. EC/PD, PD 匚平面 PDA,EC0平面PDA 平面PDA10分同理可得平面 PDA11分 仁平面仁平面且EC|BC=C 平面BEC平面PDA13分又丁仁平面 平面14分證明(1)解17m_L平面麗8, GO仁平面加CD,：、QCP口.1 分;在CD為

13、正方形，.8 _L8. 2分尸£>nCD = a，J47J平面 FCD. 4分(2)證法L如圖，取心的中點(diǎn)連接GH,服V昆尸分別為FCFQ的中點(diǎn),:.EF/CD 6 分; GH分別為BC,刃。的中點(diǎn)，GHf/CD.A EF/ GH，豆尸，丹,G四點(diǎn)共面 7分凡/分別為0尸,0金的中點(diǎn)，二巴4/斤巴.-用二平面班仃，耳打仁平面以G,二 PAU 平面 EFG9 分.證法會(huì)【用死仃分別為尸C,F&BC的中點(diǎn),EFHCDUAB .EGfiPB5 分:工面3FG5FU 面£尸行，二 AB/iEFG5 分'/ EGH PB, PB<Z 面/u 面EF(7 J FBX 面班G7 分1口口電=8,8胃門及7 = 5,1.平面