北師大版必修四第一章第四節(jié)第四課《單位圓的對稱性與誘導公式》

1、單位圓的對稱性與誘導公式（第一課時）教材依據(jù)本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書必修4»（北京師范大學出版社）第一章第四節(jié)第四課（4.4.1）單位圓的對稱性與誘導公式。二、設(shè)計思路1. 正、余弦函數(shù)是在學習了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、籍函數(shù)等基本初等函數(shù)后的乂一個基本初等函數(shù)，同時也是高中階段學習各類函數(shù)中首先遇到的周期性函數(shù)，乂是推導誘導公式的基礎(chǔ)，在本章及全章中起著承上啟下的作用。本節(jié)主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導公式推導及應(yīng)用。因為單位圓具有直觀性，借助單位圓有助丁理解正、余弦函數(shù)的誘導公式，探究角的終邊分別關(guān)丁原點或坐標軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想；誘導公

2、式的主要用途是把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想。誘導公式推導還反映了從特殊到一般的歸納數(shù)學思維方法，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力具有積極的作用。同時本節(jié)學習的誘導公式為即將學習的求值化簡，以及正、余弦函數(shù)圖像的學習打下基礎(chǔ).2. 結(jié)合我校組織的市級課題農(nóng)村中學課堂教學有效性研究和縣級數(shù)學課堂教學提問技巧的研究的研究，在教學中我努力實踐高效課堂模式，突出以下兩點：在課堂活動中通過同伴合作、自主探究的學習方式，培養(yǎng)學生積極主動、勇丁探索的學習方式。在教學過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學

3、素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究數(shù)學的方法與技巧。（3）通過課堂教學活動向?qū)W生滲透重要的數(shù)學思想方法，讓學生在公式推導中體會數(shù)學的樂趣。根據(jù)我所任教的學生的實際情況，學生知識水平處丁中等偏下，學生剛開始接觸任意角三角函數(shù)，基礎(chǔ)相對薄弱但對新知識比較渴望，學生在已經(jīng)掌握單位圓對稱性、任意角三角函數(shù)定義的前提下，所以采用引導，合作探究的教學方法能輕松的完成本節(jié)課的教學內(nèi)容所以，我將單位圓的對稱性與誘導公式這一節(jié)劃分為兩節(jié)課（第一課時教學內(nèi)容為推導公式1.9、1.11、1.12及應(yīng)用；第二課時的教學內(nèi)容為推導公式1.13、1.14及應(yīng)用）,這是第一節(jié)課。正、余弦函數(shù)的誘導公式的重要作用是把求任意角

4、的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求0°90”角的三角函數(shù)值問題，誘導公式的推導過程，體現(xiàn)了數(shù)學的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化的思想方法，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力、掌握數(shù)學的思想方法具有重大的意義。三、教學目標1. 知識與能力（1）建構(gòu)合理的問題情境，讓學生體驗公式的推導過程并能夠理解借助三角函數(shù)的定義推導三角函數(shù)的誘導公式；在理解記憶的基礎(chǔ)上，能夠運用誘導公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡、求值問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡、求值問題。2. 方法與途徑(1) 經(jīng)歷由觀察圖形、直觀感知探討數(shù)量關(guān)系式的過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力和概括能力；(2) 通過對誘導公式的發(fā)現(xiàn)和探究、運用過程，培養(yǎng)學生的

5、化歸能力，提高分析問題和解決問題的能力。(1) 情感與評價通過對誘導公式的探究，培養(yǎng)學生的探索能力、鉆研精神和科學態(tài)度；在誘導公式的探究過程中，運用合作學習的方式進行，培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作的精神現(xiàn)代教學手段利用小組討論交流，導學稿與多媒體相結(jié)合的課改模式四、教學重點會推導正弦函數(shù)、余弦函數(shù)誘導公式，并利用公式進行化簡與求值五、教學難點正、余弦函數(shù)誘導公式的推導過程及誘導公式符號的判斷六、教學準備預(yù)習單位圓的對稱性與誘導公式第一課時的導學稿，并完成自主預(yù)習部分；回顧任意角三角函數(shù)的定義；查閱關(guān)丁x軸、y軸、原點對稱的點坐標之間的關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容七、教學過程：【自主預(yù)習】(3分鐘)問題1、什么是單位圓？

6、任意角a的正弦、余弦函數(shù)的定義？【學情預(yù)設(shè)】學生口述單位圓的定義，學生可能說的不到位，本組1號補充。任意角a的正弦sina=v,任意角a的余弦cosot=u.【設(shè)計意圖】采用小組搶答的方式進行，目的是調(diào)動課堂學習的余圍，三角函數(shù)的定義是學習誘導公式的基礎(chǔ)。問題2、已知任意角a的終邊與單位圓相交丁點P(x,y)，請同學們思考回答點P關(guān)丁x軸、y軸、原點對稱的三個點的坐標是什么？【學情預(yù)設(shè)】第六、五、四組4號口頭展示可能出錯，每組1號補充，點P關(guān)丁x軸對稱點R(x,-y)、關(guān)丁y軸對稱點"x,y)、關(guān)丁原點對稱點R(-x,-y)【設(shè)計意圖】在單位圓中，點的對稱性是誘導公式推導過程的關(guān)鍵問

7、題3、終邊相同的角的同名正弦、余弦函數(shù)值相同，除此之外還有一些角，已知角a正(余)弦函數(shù)值，那么，能否用它表示相關(guān)角(如-a,兀a)的正(余)弦函數(shù)值呢？【學情預(yù)設(shè)】學生回答過程中可能會忘記正弦、余弦函數(shù)的周期，忽略k的取值范圍。終邊相同的角的同名正弦、余弦函數(shù)值相同sin點，2k二-sinwkZcosi：z，2k二-cos*ikZ【設(shè)計意圖】設(shè)置問題情境，產(chǎn)生知識共鳴，引發(fā)思考，既調(diào)動學生學習積極性，激發(fā)探究欲望，讓學生動腦動手，乂順利導入新課?！竞献魈骄俊浚?8分鐘）請同學們認真閱讀課本第17頁，完成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)誘導公式推導過程。探究誘導公式（一）：（圖4-5-2）在直角坐標系中，角

8、a與口的終邊有什么樣的位置關(guān)系？角口與a的終邊與單位圓的交點分別為P和P',若點P的坐標為（x,y），則P'的坐標呢？角a與a的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)"有什么關(guān)系？得出公式（一）:0【學情預(yù)設(shè)】學生通過觀察圖形，結(jié)合教師提出的問題可能發(fā)現(xiàn)：P(x,y)P和P'關(guān)?。ㄝS對稱，P'坐標為（x,-y）.P'(x-v在單位圓中，用口表示點P與點P'的坐標寫出點P與點P'的坐標之間的關(guān)系。(4-5-2)r=1,sina=y,cosa=x,P(cost,sina),P'(cos(-«),sin()由P(x,y)與P'(

9、x,-y)知sin-sin：,cos-cos：由此可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=co演是_fL函數(shù)。【設(shè)計意圖】采用教師引導，多媒體展示圖形，小組交流討論完成公式一的推導過程。首先用到單位圓，并以點對稱為載體，把單位圓的性質(zhì)與正、余弦三角函數(shù)聯(lián)系起來，數(shù)形結(jié)合，問題的設(shè)計層層遞進，使學生容易理解，實現(xiàn)教學過程的平淡過渡，為下面兩個公式的推導做好鋪墊。從線對稱到點對稱到三角函數(shù)值之間的關(guān)系，逐步上升，順利推導誘導公式一，并能夠發(fā)現(xiàn)正余弦函數(shù)的奇偶性，同時也為學生將要自主發(fā)現(xiàn)、探索公式二和三起到示范作用。探究誘導公式（二）：（圖4-5-2）在直角坐標系中，角口與a十兀的終邊有什么樣的位置關(guān)系

10、？角a與”+冗的終邊與單位圓的交點分別為P和P',若點P的坐標為（x,y），則P'的坐標呢？角口與a十兀的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有什么關(guān)系？得出公式（二）：。y_同理可得：sin（a兀）=;cos（a兀）=.、P(x,y)180180【學情預(yù)設(shè)】給學生3分鐘左右的時間獨立思考，教師請第三組1號學生到黑板上展示其推導過程，其他同學在練習本上完成推導，補充展示同學的不足之處。(4-5-1)【設(shè)計意圖】以類似問題的提出，大膽的放手讓學生先對學，在組內(nèi)討論，最后組問交換意見，重現(xiàn)了探索的整個過程，加深了知識的深刻理解記p'(-x-y)p'(-x-y)在角a的終邊與角-a的終

11、邊關(guān)丁x軸對稱.憶，對學生無形中鼓舞了氣勢，增強了自信，培養(yǎng)學生合作意識、歸納總結(jié)能力、語言表達能力及獨立解決問題能力。探究誘導公式（三）：（課本圖1-25）試用同樣的方法推導公式（三）：sin（n一營）=;cos（兀一口）=.歸納總結(jié)：誘導公式的特點：函數(shù)名，符號看?！緦W情預(yù)設(shè)】學生可能沒有推導的思路而走彎路，教師引導學生利用已經(jīng)推導出來的公式一和公式二嘗試一下。【設(shè)計意圖】讓學生體會數(shù)學推導過程的樂趣，要學以致用，用推導出來的公式解決自己不知道的公式，加深印象。2、運用誘導公式進行化簡與求值：課本第17貞例3【學情預(yù)設(shè)】讓每組的4號同學上黑板板書，進行比賽，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題【設(shè)計意圖】目

12、的讓學生初步利用推導出來的誘導公式來解決問題，檢測學生在解決問題的過程中對誘導公式的理解記憶，激發(fā)學生的求知欲望?！眷柟烫嵘浚?0分鐘）例1、求下列各角的三角函數(shù)值：（1）sin960；（2）cos（企）；（3）cos（一宜）；64【學情預(yù)設(shè)】讓每組的2號學生上黑板板書，每組1號學生進行評價，打出分數(shù)，教師巡視并指導學生完成?！驹O(shè)計意圖】這道題是誘導公式的綜合應(yīng)用，學生通過觀察、欣賞黑板上的解答，形成規(guī)范解題格式，培養(yǎng)敢丁質(zhì)疑的品質(zhì)，培養(yǎng)學生用綜合解決知識的能力?！緳z測訓練】（10分鐘）1、課本第18頁，練習1、2題【學情預(yù)設(shè)】讓每組的2號學生上黑板板書，分組競賽，并讓每組1號學生進行評價，

13、打出分數(shù)，教師巡視并指導學生完成。【設(shè)計意圖】這道題是二項式定理的具體應(yīng)用，目的為了讓學生區(qū)分二項展開式中該項二項式系數(shù)與該項系數(shù)區(qū)別。【鏈接高考】化簡sin（3S+a），cos（a-4兀）cos（a5兀）sin（一兀一a）【設(shè)計意圖】把課堂知識延伸到高考中，提高學生注意力，激發(fā)學生學習情感，把握重點知識運用，提升各自的知識運用?！菊n堂小結(jié)】1. 歸納任意角的正（余）弦函數(shù)化為銳角的正（余）弦函數(shù)的一般步驟：任意負角的三角函數(shù)T任意正角的三角函數(shù)T。-勿的三角函數(shù)T銳角的三角函數(shù)。2.從學生從知識和課堂兩方面談?wù)劚竟?jié)課學習的感受與收獲？教師匯總各組分數(shù)，進行表彰獎勵?！驹O(shè)計意圖】讓學生回顧知識

14、形成過程，梳理思路，自我歸納總結(jié)，形成良好的自主反思習慣，教師鼓勵學生，激發(fā)學生對學科產(chǎn)生好感，更好地去學習?！景鍟O(shè)計】課題：單位圓的對稱性與誘導公式公式一：展示1練習公式二：公式三：展示2【作業(yè)布置】課本第23頁習題1-41,2,3八、教學反思本節(jié)課改變了以往常見的教學模式，讓學生從不同的角度去思考，對誘導公式進行一個全方位的推導，不僅僅是通過類比總結(jié)得到其他誘導公式，更重要的是讓學生體會到誘導公式的數(shù)學思想方法，以便能將其遷移到其他公式的推導中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。在本節(jié)課的教學過程中，本人以學生為主題，以發(fā)現(xiàn)為主線，盡可能滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，采用提出問題、啟發(fā)引導、共同探究、綜合應(yīng)用等教學模式，還給學生“時間”、“空間”，由易到難，由特殊到一般，盡力營造輕松的學習環(huán)境，讓學生體味學習的快樂和成功的喜悅。1. 教學中借助導學稿和多媒體高效課堂教學模式，可以彌補傳統(tǒng)教學中不足，可以很容易的抓住教學重點、突破教學難點、提高課堂效率。教學中充分體現(xiàn)“以學生為主，教師為輔”的教學理念，教師通過設(shè)置若干問題，來激發(fā)學生求知的愿望，并且學生在展現(xiàn)自我的同時，教師進行語言的鼓勵與錯誤糾正，培養(yǎng)了學生語言的表達能力和