關(guān)注學生發(fā)展

1、關(guān)注學生發(fā)展追求“優(yōu)效教學”“直線與平面平行的判定”案例分析肖凌慰（510700廣東省廣州市黃埔區(qū)教育局教研室）本文發(fā)表在中國數(shù)學教育（高中版）2010年第1-2期P39-44.高中數(shù)學“優(yōu)效教學”的案例研究，是筆者主持的高中數(shù)學“優(yōu)效教學”的行動研究（“廣州市中小學教學領(lǐng)域進一步深化素質(zhì)教育”的立項課題）的重要內(nèi)容.在案例研究中，我們開展“同課異構(gòu)”活動，引導教師進行教學反思，提煉優(yōu)效教學的教學課例，積極推進素質(zhì)教育.現(xiàn)以“直線與平面平行的判定”為例，與同行分享.一、課例描述（一）課例1的教學過程與點評1.引入新課師：空間中直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？生1:直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線

2、與平面相交師：根據(jù)直線與平面平行的定義來判定直線與平面平行你認為方便嗎？生2:根據(jù)直線與平面平行的定義來判定直線與平面平行不方便師：由于直線的無限延伸性和平面的無限伸展性，用定義判定直線與平面平行確實有困難?，F(xiàn)在我們來學習直線與平面平行的判定定理2. 探索判定定理師：根據(jù)日常生活的觀察，同學們能舉出直線與平面平行的具體事例嗎？（教師演示：教師取出預先準備好的直角梯形板進行演示。把互相平行的一邊放在講臺桌面上并繞這一邊所在直線轉(zhuǎn)動直角梯形板，讓學生觀察另一邊與桌面的位置關(guān)系.）生3:另一邊與桌面平行師：若把垂直于底邊的腰放在桌面上并轉(zhuǎn)動直角梯形板，另一腰所在直線與桌面平行嗎？（教師演示）生4:另

3、一腰所在直線與桌面不平行.師：上述演示中，直線與平面位置關(guān)系為何有如此的不同？關(guān)鍵是什么因素起了作用呢？（通過觀察感知，教師歸納，呈現(xiàn)課件.）直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡單概括：線線平行n線面平行.符號表示：a二:,b二*,a/b=aH.作用：判定或證明線面平行.關(guān)鍵：在平面內(nèi)找（或作）出一條直線與平面外的直線平行思想：空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題3. 定理運用教師講解例題：例1已知空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和AD的中點，求證：EF/平面BCD.學生思考問題.變式1:E,F一定要是中點上面結(jié)論才成立嗎？

4、若改為“AE=AB,AF=AD”33呢？已知空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB、AD上的點，若，則EF/平面BCD.（請?zhí)钌弦粋€使命題成立的條件）變式2:如圖1,空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別為各邊上的中點，請找出圖中線面平行的關(guān)系變式3:在三棱錐ABCD中,找出圖中線面平行的關(guān)系.E,F,G,H分別為棱AB，ABCD和ABEF相交于AB,M、N分劑為AC和BFA/平面BCE.CFE變式4:設(shè)兩個全等的正方形中點，如圖2所示，求證:MN4. 鞏固練習學生演練課本練習教師引導思考：(1) 在課本練習的第2題中，如果ABCD-ABCD是長方體，結(jié)論仍然成立嗎？在課本練習的第2題中，簪

5、=2，能否在D1E上找一點F,使得BF/*=3,4,5.平面AEC?如ED呢？(3)在課本練習的第2題中，你能在平面BB1C1C內(nèi)畫一條直線和平面AEC平行嗎？5. 課堂小結(jié)(1) 線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與這個平面平行.定理的符號表示：a二：,b：，a/b=a/：.簡述：線線平行n線面平行.（2）定理運用的關(guān)鍵是找（作）面內(nèi)的線與面外的線平行，途徑有：取中點利用平行四邊形或三角形中位線性質(zhì)等。6. 布置作業(yè)課本習題2.2A組第3題和第4題.點評：在本課例中，教師注重直線與平面平行的判定定理的運用.在例題教學時，重視規(guī)范表達解題過程，注重變式教學，但

6、忽視文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化訓練.在直線與平面平行的判定定理的形成過程中，教師直接告知結(jié)論，忽視學生對判定定理的理性認識.（二）課例2的教學過程與點評1.復習回顧，引入新課師：空間直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？生：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交（多媒體投影下表.）位置關(guān)系直線a在平面？內(nèi)直線a與平回？相交直線a與平回？平行圖像表示空7符號表示aa=A師：如何判定一條直線和一個平面平行呢?（教師提出如下問題，讓學生觀察探究.）問題1:將課本的一邊緊貼桌面，轉(zhuǎn)動課本，課本的上邊緣與桌面的關(guān)系如何？問題2:將課室門打開，門上靠近把手的邊與門框所在的墻面有何關(guān)系？2. 操作確認

7、，抽象概括(學生操作確認.)如圖3,在長方體ABCD-ABCD中，直線AB與直線CD的位置關(guān)系為,直線AB與平面ABCD的位置關(guān)系為,直線AB與平面DCCD的位置關(guān)系為.圖3(教師抽象概括.)直線與平面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡單概括：線線平行n線面平行.圖形表示：如圖4.符號表示：a二:.,b：_,a/b=a/r.簡要表述：線線平行，線面平行.作用：判定或證明線面平行.圖43. 例題講解，變式演練例求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面.已知：如圖5,空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和AC的中點.求證：EF

8、/平面BCD.圖5變式練習：(1)如圖6,在長方體ABCD-ABCD中，E為棱DD的中點.試判斷BD與平面AEC的位置關(guān)系，并證明.一圖6(2)如圖7,已知四棱錐P-ABCD的底面是梯形，AB/CD且CD=2AB.問:線段PC上是否存在點F使得BF/平面PAD?并證明你的結(jié)論圖7(1) 課堂小結(jié)直線與平面平行的判定方法：定義法，判定定理法(2) 證明線線平行的常見方法：三角形中位線、相似三角形、平行四邊形的性質(zhì).4. 布置作業(yè)課后作業(yè)：習題2.2A組第3題.點評：在本課例中，教師注重對實物的觀察，引導學生在直觀感知、操作確認的基礎(chǔ)上抽象概括出判定定理，注重經(jīng)歷觀察探究、操作確認、抽象概括、定理

9、運用的過程.在操作確認上，通過長方體模型中的線線平行、線面平行關(guān)系來具體認識線面平行的判定定理的本質(zhì)屬性，使學生明確判定定理的條件和結(jié)論.但是，教師直接告知結(jié)論，忽視學生對判定定理的理性認識.變式練習第(2)題的教學中，局限于用平行四邊形的性質(zhì)來證明線線平行這一預設(shè)目標，刻意從平行四邊形的角度來解決問題，忽視了對三角形中位線定理的具體操作：通過分析條件AB/CD,CD=2AB,可引導學生由中點聯(lián)想中位線，進而延長CB和DA交于點G,得到三角形，再中位線定理證明線線平行，進而推出線面平行.由于時間安排較緊，學生參與不充分，沒有充分激發(fā)學生的數(shù)學思維，未能達到預設(shè)的教學效果(三)課例3的教學過程與

10、點評教學步驟教學內(nèi)容學生反應教師指導復習提1.空間中直線和平面有1.直線與平間平行，直引導學生問哪些位置關(guān)系？2. 在上述三種位置中，直線與平面的公共點的個數(shù)各是多少？3. 用圖形和符號是如何表示的？線與平面相父，直線在平面內(nèi).2.依次是：無公共點，有且只有一個公共點，有無數(shù)多個公共點。溫故知新.問題提出如何判定一條直線和個平面平行呢？思考、討論設(shè)置疑難：定義法難以證明“無公共點”.定理導入1. 觀察：扇的兩邊是平行的，當門扇繞邊轉(zhuǎn)動時，另一邊與門框所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？2. 觀察：課本的對邊是平行的，將課本的一邊緊貼桌面，沿著這條邊轉(zhuǎn)動課本，課本的上邊緣與桌面所在平面具有什么樣的位置

11、關(guān)系？3. 拿在手上的一支筆，你1. 平行.2. 平行.3. 在桌面上“找”一條直線與之平行.引導學生從實例中感受線面平行的判定依據(jù).如何確保它能和桌面平行呢？定理講解直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.圖形語言：a/aEf：bu口片*a/b定理的再認識判斷：(1)時:線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l/定理說明：1. 符號語言中的三個條件缺一小可;2. 定理簡述為：線線平行？線面平行.線線平行是條件的核心，要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(1)錯誤.(2)錯誤.(2)如果a,b是兩條直線，且a/b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面基礎(chǔ)訓

12、練如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，與AB平行的平面有；與AAi平行的平面有；與AD平行的平面有；與ABi平行的平面有。為什么?平面AiBiCiDi和平面DDCC;平面D1DCC1和平面B1BCC1；平面B1BCC1和平面A1B1C1D1；(1) 平面DDCC.例題講解例.求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。變式訓練：(1)在上題中，設(shè)H為BC的中點，連接EH.你能找出哪個平面與EH平已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點.求證：EF平面BCD.證明：連接BD.AE=EB,AF=FD,EF/BD(三角形中位線的性行的直線.布置作業(yè)1.

13、 課本習題2.2A組第3題.2. 課本習題2.2B組第1題.3. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與CiDi的中點.求證：EF平面BDDBBDD1B1.4. 在正方體ABCD-A1B1C1D1,P,Q分別是ADi和BD上的點，AP=BQ.求證：PQ平面DCC1D1.點評：這節(jié)課的亮點是：學生的探究在前，老師的講解、點評在后，尊重學生,重視思維訓練.不足之處有以下幾點：(1)對學生的能力估計不足.因為是借班上課，對學生的能力不太了解，所以與學生的溝通、交流上顯得生疏.(2)忽視板書.在重視思維訓練的同時，對幾個證明題的解題過程和解題格式?jīng)]有板書.從實際來看，效果不理想.如

14、果老師能板書解題過程，可能效果更好些.原打算請學生上臺板演，但由于時間關(guān)系沒能實施.(3)線面平行的判定定理，教師直接告知結(jié)論，忽視學生對判定定理的理性認識二、教學反思上面三個課例存在的主要問題是：新課導入缺乏有效的問題情境；直觀感知缺少必要的理性分析，只告知判定定理，不重視判定定理的形成過程；變式訓練不夠充分.下面就直線與平面平行的判定的教學環(huán)節(jié)進行探討：1. 關(guān)于新課引入從建構(gòu)主義理論來看，學生原有認知結(jié)構(gòu)是新授課的基礎(chǔ).本節(jié)課學生已有的認知結(jié)構(gòu)包括知識儲備（直線與平面平行的定義）和方法儲備（空間問題平面化的化歸與轉(zhuǎn)化思想）.因此，在新課引入時，首先應引起認知沖突.通過復習直線與平面的位置

15、關(guān)系及其圖形表示、符號語言，采用問題導入方式，提出如何判定直線與平面平行以引發(fā)學生思考.其次，宜提供先行組織者，讓學生明確探究方法.通過回想研究異面直線所成的角的方法，指明判定直線與平面平行可采用空間問題平面化的思想方法.2. 關(guān)于判定定理的形成可采用“觀察模型-直觀感知-操作確認-抽象概括-思考探究”的方式.課本用如下問題1作為觀察的對象：問題1:將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？教學時，可通過（多媒體）演示翻書過程，讓學生直觀感知直線與平面平行的條件.再通過長方體中線線、線面平行關(guān)系的分析，進一步強化幾何直觀，確認線面平行的三個條件和結(jié)

16、論.并由此抽象出探究問題2（抽象概括，有利于數(shù)學化）.問題2：如圖8,平面a外的直線a平行于平面內(nèi)的直線b,問：(1) 直線a,b共面嗎?(2)直線a與平面a相交嗎？在問題2的教學中，要引導學生講清理由.3. 關(guān)于判定定理的運用課本僅提供一個例題(文字敘述的證明問題)，要引導學生分析問題，讓學生通過作圖來理解題意，進而結(jié)合圖形寫出已知和求證，這樣處理有利于提高學生的作圖、識圖、用圖能力.在證明思路的探求中，要強化學生的目標意識，要對運用判定定理解題進行有效指導.同時，要通過變式教學，強化解題技能，體悟解題方法.三、改進建議高中數(shù)學優(yōu)效教學的基本理念是：優(yōu)效教學是提高教學效率的活動，強調(diào)課堂教學

17、相對于數(shù)學教育的三維目標的高效率性.“優(yōu)效的數(shù)學教學”的“效”是指“有效”和“高效”，側(cè)重于學生的“基礎(chǔ)性發(fā)展”，關(guān)注數(shù)學課堂教學的有效性，強調(diào)課堂教學的預設(shè)與生成，注重教學目標的“達成”，追求課堂教學的優(yōu)質(zhì)高效；“優(yōu)效的數(shù)學教學”的“優(yōu)”是指“優(yōu)效”與“長效”，致力于學生的“發(fā)展性發(fā)展”，強調(diào)理性思維的培養(yǎng)和數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，注重“數(shù)學文化價值”的發(fā)揮，關(guān)注“數(shù)學思維方式”的教學，關(guān)注學生“數(shù)學活動經(jīng)驗”的獲得，關(guān)注學生創(chuàng)新意識的發(fā)展.高中數(shù)學優(yōu)效教學的基本策略是：目標定向，問題驅(qū)動，展示過程，變式探究，提煉方法.教學目標是實施優(yōu)效教學的依據(jù)，對教學具有定向作用，課堂教學目標應當強調(diào)“準確”“

18、具體”“有用”；問題驅(qū)動強調(diào)數(shù)學教學要創(chuàng)設(shè)問題情境；展示過程強調(diào)數(shù)學教學要展示思維過程(知識的形成過程、問題的提出與探究過程、方法的建構(gòu)與反思過程)；變式探究即通過“問題變式”引領(lǐng)學生提出問題、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；提煉方法強調(diào)在數(shù)學教學中要重視數(shù)學思想方法的教學.1上述三個課例是我區(qū)三位青年教師講課比賽一等獎的教學實錄.基于優(yōu)效教學的追求和上述課例的反思，下面給出“直線與平面平行的判定”的教學設(shè)計的改進方案.教學目標：引導學生經(jīng)歷直線與平面平行的判定定理的直觀感知和操作確認過程；在直線與平面平行的判定定理的運用過程中，讓學生掌握線面平行的判定方法,體悟空間問題平面化的化歸思想，享受解題成功的喜悅，提高空

19、間想像能力.教學重點：直線和平面平行的判定定理及其應用.教學難點：直線和平面平行的判定定理的探索過程及其應用.教學過程設(shè)計見下表：教教學程序設(shè)計意圖學(師生活動)環(huán)節(jié)創(chuàng)問題情境：喚起學生對已有設(shè)(1)直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？知識的回憶，為新課情能用圖形或符號來表示嗎？做鋪墊.境(2)在課室中，門扇的對邊是平行的。利用教室實物，當門扇繞著，邊轉(zhuǎn)動時，口扇轉(zhuǎn)動的邊吸引學生注意力.引所在直線與口框所在平面具有什么樣的位從實際背景出入置關(guān)系？發(fā)，直觀感知直線與新(3)將課本平放在桌面上,翻動書的封平面平行的位置關(guān)課面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具系.有什么樣的位置關(guān)系?引起認知沖突直觀感知操作

20、確認(學生獨立思考，合作交流，回答上述問題)教師：由于判斷直線與平面公共點的個數(shù)較為困難，所以，我們需要找一種比較實用的直線與平面平行的判定方法.在研究異面直線所成的角時，我們通過平移，把問題轉(zhuǎn)化為研究兩條相交直線所成的角，即采用空間問題平面化的方法來解決問題.能否把線面平行的判定轉(zhuǎn)化為線線平行來解決呢？觀察猜想：在長方體ABCD-AB1C1D1中，回答如下問題：(1)直線AB與直線A1B1的關(guān)系為，直線AB與平面A1B1C1D1的關(guān)系是(2)直線AC與直線A1C1的關(guān)系為，直線AC與平面AB1GD1的關(guān)系是.(3想:自主探究:提供先行組織者.讓學生觀察、猜想、探究.引導學生根據(jù)已有知識進行推

21、理.通過三種語言表述定理，讓學生感受判定定理的條件與結(jié)論.適時歸納知識與提出猜方法，讓學生進一步一理解知識，形成認知結(jié)構(gòu).(1) 如圖，平面口外的直線a平行于平面aa內(nèi)的直線b.問：/直線a,b共面嗎？(2) 直線a與平面a相交嗎？抽象概括：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.(直線與平面平行的判定定理)(1) 用文字語言表述直線與平面平行的判定定理(2) 用圖形語言表述直線與平面平行的判定定理用符號語言表述直線與平面平行的判定定理(aa,bua,allb?a/a)簡記為：線線平行=線面平行.教師強調(diào)：(1) 直線與平面平行的判定定理中的三個條件缺一不可.(2) 直

22、線與平面平行的判定定理提供了證明直線與平面平行的一種方法，即化歸為判斷直線與直線平行(空間問題平面化).理例題講評:解求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連定線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面.（課本理變式探例題）已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和AC的中點.求證：EF/平面BCD.證明：略.究變式訓練:變式1:已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點，若，貝gEF/平面BCD.（請?zhí)钌弦粋€使命題成立的條件）變式2:在長方體ABCD-ABCD中,E為DD的中點，試判斷BD與平面AEC的位置關(guān)系，并加以證明.變式3:?在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為ABi和BCi的中點，求證：EF/在學生學完定理后，安排應用定理的例題，可加深學生對定理的理解.通過平面四邊形沿對角線折起的動態(tài)演示，加深學生對空間四邊形的認識.同時，在動態(tài)演示的過程中，體會線面平行判定定理的應用.指導學生規(guī)范答題.強調(diào)定理的三個條件，讓學生感悟定理的