高三下冊(cè)數(shù)學(xué)開(kāi)放與探索水平測(cè)試

1、開(kāi)放與探索水平測(cè)試一 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則可以是（ ）ABCD2（理）滿足條件|zi|=|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（ ）A 一條直線 B 兩條直線 C 圓 D 橢圓（文）已知直線x=k(k>0)和圓(x1)2+y2=4相切，那么k的值是（ ）A5B4C3D23設(shè)m、n是兩條不同的直線，a，b，g是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： 若ma，na，則mn 若ab，bg，ma，則mg 若ma，na，則mn 若ag，bg，則ab 其中正確命題的序號(hào)是（ ）A和 B和 C 和

2、D和4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）A直線 B圓C雙曲線D拋物線5函數(shù)f(x)=x22ax3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必要條件是（ ） A B C D 6已知a、b、c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是（ ） Aab>ac Bc(ba)<0 Ccb2<ab2 Dac(ac)>07從長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的五條線段中，任取三條線段為邊可組成鈍角的概率為（ ） A B C D 8函數(shù)，其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空

3、子集，又規(guī)定，給出下列四個(gè)判斷： 若，則 若，則 若，則 若，則 其中正確判斷有（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)9若函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=lg(x+1)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,則f(x)=( ) A10-x-1 B10x-1 C1-10-x D1-10x10已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)其前n項(xiàng)和Sn，則使Sn<5 成立的自然數(shù)n（ ）A有最小值63B有最大值63C有最小值31D有最大值3111若不等式內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（ ）Aa<1B<a<1C0<aD0<a<12有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，

4、現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是（ ）A234B346C350D363二 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。13下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱其中，真命題的編號(hào)是 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）14若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)an是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列,下列an的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”

5、的是第 組(寫(xiě)出所有符合要求的組號(hào)) S1與S2；a2與S3；a1與an；q與an。其中n為正整數(shù), Sn為an的前n項(xiàng)和15教材中“直線與圓的方程”與“圓錐曲線方程”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 16定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，那么a18的值為_(kāi)，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_(kāi) 三 解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17（本小題滿分12分）設(shè)P(x，y)、Q(x，y)，且將關(guān)系式看作坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)變換

6、，它將平面內(nèi)的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn)。是否存在這樣的直線它上面的任何一點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述變換后得到的點(diǎn)仍舊在該直線上。若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，說(shuō)明理由。18（本小題滿分12分）已知f(x)=(xR)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19（本小題滿分12分）已知常數(shù)a>0，向量c=(0，a)，i=(1，0)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，a)以i2c為方向向量的直線相交于

7、點(diǎn)P，其中R試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由20（本小題滿分12分）給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L1275?，F(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是： 首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的，r1稱為第一組余差； 然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為r2；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為r3）、第四組（余差為r4）、，直至第N組（余差為rN）把這些數(shù)全部分完為止。判斷的大

8、小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)當(dāng)構(gòu)成第n（n<N）組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與的大小關(guān)系，并證明對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：21（本小題滿分13分）設(shè)P1(x1,y1), P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲線C上的點(diǎn), 且a1=|OP1|2, a2=|OP2|2, , an=|OPn|2構(gòu)成了一個(gè)公差為d(d0) 的等差數(shù)列, 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn) 記Sn=a1+a2+an若C的方程為=1,n=3 點(diǎn)P1(3,0) 及S3=255, 求點(diǎn)P3的坐標(biāo)；(只需寫(xiě)出一個(gè))若C的方程為(a>b>0) 點(diǎn)P1(a,0), 對(duì)于給定的自然數(shù)n,

9、當(dāng)公差d變化時(shí), 求Sn的最小值；請(qǐng)選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點(diǎn)P1,對(duì)于給定的自然數(shù)n,寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P1, P2,Pn存在的充要條件,并說(shuō)明理由22（本小題滿分13分）給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖1，圖2)，要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。粓D1圖2圖3如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖3)，要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在

10、圖3中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明開(kāi)放與探索水平測(cè)試參考答案一 選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分60分。1A 2C 3A 4D 5D 6C 7B 8B9A10A11C12B二 填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。13 1415用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)163 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，三 解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17思路點(diǎn)撥：解答時(shí)首先應(yīng)該讀懂題意，不必深究這到底是一個(gè)什么變換，是否存在這樣的直線其實(shí)質(zhì)就是(x，y)與(兩點(diǎn)是否均在同一直線上，從而轉(zhuǎn)換為討論方程組的解的問(wèn)題。詳細(xì)解答：假設(shè)存在這

11、樣的直線，平行于坐標(biāo)軸的直線顯然不符合條件，故可設(shè)所求的直線方程為ykxb(k)該直線上任何一點(diǎn)(x，y)經(jīng)過(guò)變換后得到點(diǎn)(仍舊在該直線上。k(b，也就是，無(wú)解，故不存在這樣的直線。當(dāng)b=0時(shí)由，解得k=或k=，所以滿足條件的所有直線為y=x或y=x。18解：f(x)= ，f(x)在1，1上是增函數(shù)，f(x)0對(duì)x1，1恒成立，即x2ax20對(duì)x1，1恒成立 設(shè)(x)=x2ax2，方法一：1a1， 對(duì)x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f (1)=0以及當(dāng)a=1時(shí)，f (1)=0A=a|1a1方法二：或0a1或1a<01a1對(duì)x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f

12、(1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f(1)=0A=a|1a1由=，得x2ax2=0， =a2+8>0x1，x2是方程x2ax2=0的兩實(shí)根， 從而|x1x2|=1a1，|x1-x2|=3要使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+13對(duì)任意t1，1恒成立，即m2+tm20對(duì)任意t1，1恒成立 設(shè)g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一：m2或m2所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2方法二： 當(dāng)m=0時(shí)，顯然不成立； 當(dāng)m0時(shí)，或 m2或m2所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm

13、+1|x1x2|對(duì)任意aA及t-1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2 19解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值 i=(1，0)，c=(0，a)， 因此，直線OP和AP的方程分別為 y=ax和ya=2ax 消去參數(shù)，得點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y (ya)=2a2x2 ， 整理得 因?yàn)閍>0，所以得： (i)當(dāng)a=時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； (ii)當(dāng)0<a<時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)E和 為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； (iii)當(dāng)a>時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)E和F)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)2

14、0解：。除第N組外的每組至少含有個(gè)數(shù) 當(dāng)?shù)趎組形成后，因?yàn)椋赃€有數(shù)沒(méi)分完，這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差，余下數(shù)之和也大于第n組的余差，即 由此可得 因?yàn)椋?用反證法證明結(jié)論，假設(shè)，即第11組形成后，還有數(shù)沒(méi)分完，由（I）和（II）可知，余下的每個(gè)數(shù)都大于第11組的余差，且 故余下的每個(gè)數(shù) （*） 因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于 此時(shí)第11組的余差這與（*）式中矛盾，所以21(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70由得 點(diǎn)P3的坐標(biāo)可以為(2, ) (2) 【解法一】原點(diǎn)O到二次曲線C:(a>b>0)上各點(diǎn)的最小距離為b

15、,最大距離為a a1=2=a2, d<0,且an=2=a2+(n1)db2, d<0 n3,>0 Sn=na2+d在,0)上遞增, 故Sn的最小值為na2+·= 【解法二】對(duì)每個(gè)自然數(shù)k(2kn), 由解得y= 0< yb2,得d<0 d<0 以下與解法一相同 (3) 【解法一】若雙曲線C:=1,點(diǎn)P1(a,0), 則對(duì)于給定的n, 點(diǎn)P1, P2,Pn存在的充要條件是d>0 原點(diǎn)O到雙曲線C上各點(diǎn)的距離h|a|,+),且|OP1|=a2, 點(diǎn)P1, P2,Pn存在當(dāng)且僅當(dāng)2>2,即d>0 【解法二】若拋物線C:y2=2x,點(diǎn)P1

16、(0,0), 則對(duì)于給定的n, 點(diǎn)P1, P2,Pn存在的充要條件是d>0理由同上 【解法三】若圓C:(xa)+y2=a2(a0), P1(0,0), 則對(duì)于給定的n, 點(diǎn)P1, P2,Pn存在的充要條件是0<d 原點(diǎn)O到圓C上各點(diǎn)的最小距離為0,最大距離為2|a|, 且|OP1|=0, d>0且|OPn|2=(n1)d4a2即0<d22解：如圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐如圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角余下部分按虛線折起，可成為一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正