維納濾波原理及其matlab實現(xiàn)(

1、維納濾波濾波技術是信號分析、處理技術的重要分支，無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術，它對信號安全可靠和有效靈活地傳遞是至關重要的。信號分析檢測與處理的一個十分重要的內(nèi)容就是從噪聲中提取信號，實現(xiàn)這種功能的有效手段之一是設計一種具有最佳線性過濾特性的濾波器，當伴有噪聲的信號通過這種濾波器的時候，它可以將信號盡可能精確地重現(xiàn)或?qū)π盘栕龀霰M可能精確的估計，而對所伴隨噪聲進行最大限度地抑制。維納濾波器就是這種濾波器的典型代表之一。1.維納濾波概述維納(Wiener)是用來解決從噪聲中提取信號的一種過濾(或濾波)方法。這種線性濾波問題，可以看做是一種估計問題或一種線性估計問題。

2、一個線性系統(tǒng)，如果它的單位樣本響應為h(n),當輸入一個隨機信號x(n),且x(n)=s(n)+v(n)(1)其中x(n)表示信號，v(n)表示噪聲，則輸出y(n)為y(n)=Zh(m)x(n-m)(2)m我們希望x(n)通過線性系統(tǒng)h(n)后得到的y(n)盡量接近于s(n),因此稱y(n)為s(n)的(3)x(n),x(n-1),估計值，用s(n)表示，即y(n)=s(n)則維納濾波器的輸入一輸出關系可用下面圖1表示。實際上，式(2)所示的卷積形式可以理解為從當前和過去的觀察值x(n-2),x(n-m),來估計信號的當前值s(n)。因此，用h(n)進行過濾問題實際上是一種統(tǒng)計估計問題。一般地

3、，從當前的和過去的觀察值x(n),x(n-1),x(n-2)，估計當前的信號值Ay(n)=s(n)成為過濾或濾波；從過去的觀察值，估計當前的或者將來的信號值Ay(n)=s(n+N)(N20)稱為外推或預測；從過去的觀察值，估計過去的信號值Ay(n)=s(n-N)(N>1)稱為平滑或內(nèi)插。因此維納濾波器又常常被稱為最佳線性過濾與預測或線性最優(yōu)估計。這里所謂的最佳與最優(yōu)是以最小均方誤差為準則的。卜如果我們分別以s(n)與s(n)表示信號的真實值與估計值，而用e(n)表示他們之間的誤差，即卜e(n)=s(n)-s(n)(4)顯然e(n)可能是正值，也可能是負值，并且它是一個隨機變量。因此，用它

4、的均方誤差來表達誤差是合理的，所謂均方誤差最小即它的平方的統(tǒng)計期望最小:2/_、-(n)=E(e(n)=min(5)采用最小均方誤差準則作為最佳過濾準則的原因還在于它的理論分析比較簡單，不要求對概率的描述。2.維納-霍夫方程的求解為了按(5)式所示的最小均方誤差準則來確定維納濾波器的沖激響應h(n),令t(n)對h(j)的導數(shù)等于零，即可得Rxs(m)八h(i)Rxx(m-i),-mi(6)式中，Rxs(m)是s(n)與x(n)的互相關函數(shù)，R、(m)是x(n)的自相關函數(shù)，分別定義為xsxxRxs=Ex(n)s(n-m)Rxx=Ex(n)x(nm)式(6)稱為維納濾波器的標準方程或維納-霍夫

5、(Wiener-Hopf)方程。如果已知Rxs(m)和Rxx(m),那么解此方程即可求的維納濾波器的沖激響應。式(6)所示標準方程右端的求和范圍即i的取值范圍沒有具體標明，實際上有三種情況：(1) 有限沖激響應(FIR)維納濾波器，i從。到N-1取得有限個整數(shù)值；(2) 非因果無限沖激響應(非因果IIR)維納濾波器，i從-m到+R取所有整數(shù)值;(3) 因果無限沖激響應(因果IIR)維納濾波器，i從。到十生取正整數(shù)值。上述三種情況下標準方程的解法不同，本文只描述FIR維納濾波器的求解。設濾波器沖激響應序列的長度為N,沖激響應矢量為h=h(0)h(1).h(N-1)T濾波器輸入數(shù)據(jù)矢量為x(n)=

6、x(n)x(n-1)x(n-N1)T(8)則濾波器的輸出為y(n)=s(n)=xT(n)h=hTx(n)(9)這樣，式(6)所示的維納-霍夫方程可寫成PT=hTR或P=Rh(10)其中P=Ex(n)s(n)(11)是s(n)與x(n)的互相關函數(shù)，它是一個N維列矢量；R是x(n)的自相關函數(shù)，是N階方陣R=Ex(n)xT(n)(12)利用求逆矩陣的方法直接求解式(10),得1_h°pt=RP(13)這里opt表示“最佳”，這就是FIR維納濾波器的沖激響應。4.FIR維納濾波器的matlab實現(xiàn)4.1 問題描述假設一個點目標在x,y平面上繞單位圓做圓周運動，由于外界干擾，其運動軌跡發(fā)生

7、了偏移。其中，x方向的干擾為均值為0,方差為0.05的高斯噪聲；y方向干擾為均值為0,方差為0.06的高斯噪聲。產(chǎn)生滿足要求的x方向和y方向隨機噪聲500個樣本；2)明確期望信號和觀測信號；13)試設方一FIR維納濾波器，確定最佳傳遞函數(shù)：hopt=RxxRxs,并用該濾波器處理觀測信號，得到其最佳估計。(注：自行設定誤差判定閾值，根據(jù)閾值確定濾波器的階數(shù)或傳遞函數(shù)的長度)。分別繪制出x方向和y方向的期望信號、噪聲信號、觀測信號、濾波后信號、最小均方誤差信號的曲線圖；在同一幅圖中繪制出期望信號、觀測信號和濾波后點目標的運動軌跡。4.2Matlab仿真及運行結果用Matlab實現(xiàn)FIR濾波器，并

8、將先前隨機產(chǎn)生的500個樣本輸入，得到最佳估計。具體程序如下：clear;clf;sita=0:pi/249.5:2*pi;xnoise=sqrt(0.05)*randn(1,500);%產(chǎn)生x軸方向噪聲ynoise=sqrt(0.06)*randn(1,500);%產(chǎn)生y軸方向噪聲x=cos(sita)+xnoise;%產(chǎn)生x軸方向觀測信號y=sin(sita)+ynoise;%產(chǎn)生y軸方向觀測信號%產(chǎn)生維納濾波中x方向上觀測信號的自相關矩陣rxx=xcorr(x);fori=1:100forj=1:100mrxx(i,j)=rxx(500-i+j);endendxd=cos(sita);%

9、產(chǎn)生維納濾波中x方向上觀測信號與期望信號的互相關矩陣rxd=xcorr(x,xd);fori=1:100mrxd(i)=rxd(499+i);endhoptx=inv(mrxx)*mrxd'%由維納-霍夫方程彳#到的x方向上的濾波器最優(yōu)解fx=conv(x,hoptx);%濾波后x方向上的輸出nx=sum(abs(xd).A2);eminx=nx-mrxd*hoptx;%x方向上最小均方誤差%產(chǎn)生維納濾波中y方向上觀測信號的自相關矩陣ryy=xcorr(y);fori=1:100forj=1:100mryy(i,j)=ryy(500-i+j);endendyd=sin(sita);%產(chǎn)

10、生維納濾波中y方向上觀測信號與期望信號的互相關矩陣ryd=xcorr(y,yd);fori=1:100mryd(i)=ryd(499+i);endhopty=inv(mryy)*mryd'%由維納-霍夫方程得到的y方向上的濾波器最優(yōu)解fy=conv(y,hopty);%濾波后y方向上的輸出ny=sum(abs(yd).A2);eminy=ny-mryd*hopty;%y方向上最小均方誤差subplot(2,4,1)plot(xd);title('x方向期望信號,);subplot(2,4,2)plot(xnoise);title('x方向噪聲信號,);subplot(2

11、,4,3)plot(x);title('x方向觀測信號,);subplot(2,4,4)n=0:500;plot(n,eminx);title('x方向最小均方誤差,);subplot(2,4,5)plot(yd);title('y方向期望信號,);subplot(2,4,6)plot(ynoise);title('y方向噪聲信號,);subplot(2,4,7)plot(y);title('y方向觀測信號,);subplot(2,4,8)plot(n,eminy);title('y方向最小均方誤差,);figure;plot(xd,yd,'k');holdon;plot(x,y,'b:');holdon;plot(僅,fy,'g-');title('最終結果');運行結