正多邊形和圓

1、.正多邊形和圓教學(xué)目的：1使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理;2通過正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納才能;通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜測、推理、遷移才能;3進(jìn)一步向?qū)W生浸透特殊一般再一般特殊的唯物辯證法思想.教學(xué)重點(diǎn)：正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)定理的理解以及定理的證明方法.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：一觀察、分析、歸納：觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)?2.正方形的邊、角各有什么性質(zhì)?歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn).老師組織學(xué)生進(jìn)展，并可以提問學(xué)生問題.二正多邊形的概念：1概念：各邊相等、各角也相等的多

2、邊形叫做正多邊形.假如一個(gè)正多邊形有nn3條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.2概念理解：請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.正三角形、正方形、正六邊形，.矩形是正多邊形嗎?為什么?菱形是正多邊形嗎?為什么?矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟?菱形不是正多邊形，因?yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟?三分析、發(fā)現(xiàn)：問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢?發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓.分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分;正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分.要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形.要將圓六等分呢?四多邊形和圓的關(guān)系的定理定理：把圓分成nn3

3、等份：1依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形;2經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.我們以n=5的情況進(jìn)展證明.：O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D、E的O的切線.求證：1五邊形ABCDE是O的內(nèi)接正五邊形;2五邊形PQRST是O的外切正五邊形.證明：略引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：弧相等說明：1要斷定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來斷定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來斷定，即：依次連結(jié)圓的nn3等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形;經(jīng)過圓的nn3等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.2要注意

4、定理中的依次、相鄰等條件.3此定理被稱為正多邊形的斷定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形.五初步應(yīng)用P157練習(xí)1、口答矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?2.求證：正五邊形的對(duì)角線相等.3.如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E是O的5等分點(diǎn)，畫出O的內(nèi)接和外切正五邊形.六小結(jié)：知識(shí)：1正多邊形的概念.2n等分圓周n3可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形.才能和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷才能七作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3.教學(xué)設(shè)計(jì)例如2教學(xué)目的：1理解正多邊形與圓的關(guān)系定理;2理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)一樣的正多邊形相似的性質(zhì);3理解正多邊形的中

5、心、半徑、邊心距、中心角等概念;4通過正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探究、推理、歸納、遷移等才能;教學(xué)重點(diǎn)：理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓的理解.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：一提出問題：問題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分n3圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢?二理論與探究：組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng).理論：1、作三角形的外接圓，圓心是三角形的什么線的交點(diǎn)?半徑是什么?2、作三角形的內(nèi)切圓，圓心是三角形的什么線的交點(diǎn)?半徑是什么?

6、探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系?探究2：1正方形有外接圓嗎?假設(shè)有外接圓的圓心在哪?正方形對(duì)角線的交點(diǎn).2根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心?3正方形有內(nèi)切圓嗎?圓心在哪?半徑是誰?三拓展、推理、歸納：1拓展、推理：過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作O連結(jié)OA、OB、OC、OD.同理，點(diǎn)E在O上.所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓O.因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距OH為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓.2歸納：正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在

7、同一條直線上它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑.其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的間隔 都等于半徑.正五邊形的各頂點(diǎn)共圓.正五邊形有外接圓.圓心到各邊的間隔 相等.正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的間隔 .照此法證明，正六邊形、正七邊形、正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓.定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.正多邊形的外接圓或內(nèi)切圓的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個(gè)中心角都等

8、于 .3穩(wěn)固練習(xí)：1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的_.2、正方形ABCD的內(nèi)切圓O的半徑OE叫做正方形ABCD的_.3、假設(shè)正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是_度，半徑是_，邊心距是_，它的每一個(gè)內(nèi)角是_.4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的_角的度數(shù)相等.四正多邊形的性質(zhì)：1、各邊都相等.2、各角都相等.觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形?假如是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸?3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心.邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.4、邊數(shù)一樣的正多邊形相似.它

9、們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.以上性質(zhì)，老師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問題的才能、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神.五總結(jié)知識(shí)：1正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念;2正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì).才能：探究、推理、歸納等才能.方法：證明點(diǎn)共圓的方法.六作業(yè) P159中練習(xí)1、2、3.教學(xué)設(shè)計(jì)例如3教學(xué)目的：1穩(wěn)固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理;2通過證明和畫圖進(jìn)步學(xué)生綜合運(yùn)用分析問題和解決問題的才能;3通過例題的研究，培

10、養(yǎng)學(xué)生的探究精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)：綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對(duì)詳細(xì)圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸.教學(xué)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用知識(shí)證題.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：一知識(shí)回憶1.什么叫做正多邊形?2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角?3.正多邊形有哪些性質(zhì)?邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心4.正n邊形的每個(gè)中心角都等于 .5.正多邊形的有關(guān)的定理.二例題研究：例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.：如圖，在五邊形ABCDE中，B=D=E，邊AB、BC、CD、DE、EA與O分別相切于A、

11、B、C、D、E.求證：五邊形ABCDE是正五邊形.分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可.老師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明.證法1：連結(jié)OA、OB、OC，五邊形ABCDE外切于O.BAO=OAE，OCB=OCD，OBA=OBC，又BAE=ABC=BCD.BAO=OCB.又OB=OBABOCBO，AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.五邊形ABCDE是正五邊形.證法2：作O的半徑OA、OB、OC，那么OAAB，OBBC、OCCD.C 1=2 = .同理 = = = ，即切點(diǎn)A、B、C、D、E是O的5等分點(diǎn).所以五邊形ABCDE是正五邊形.反思：斷定正多邊

12、形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來斷定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn).由同樣的方法還可以證明各角相等的圓外切n邊形是正邊形.此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形還可以證明各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。拓展1：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于O，AB=BC=CD=DE=EA.求證：五邊形ABCDE是正五邊形.證明略分小組進(jìn)展證明競賽，并歸納學(xué)生的證明方法.拓展2：如圖，同心圓O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N.求證：五邊形ABCDE是正五邊形.證明略學(xué)生獨(dú)

13、立完成證明過程，對(duì)B、C層學(xué)生老師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表揚(yáng).例2、：正六邊形ABCDEF.求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓.作法：1過A、B、C三點(diǎn)作O.O就是所求作的正六邊形的外接圓.2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的間隔 OH為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓.用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓.練習(xí)：P1611、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.2、口答以下命題是真命題嗎?假如不是，舉出一個(gè)反例.1各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形;2各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.3、：正方形AB

14、CD.求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓.三小結(jié)知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和斷定方法.才能與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的斷定.正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法.四作業(yè)教材P172習(xí)題4、5;另A層學(xué)生：P174B組3、4.探究活動(dòng)折疊問題：1想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形.本文章共4頁,當(dāng)前在第3頁 1 2 3 4提示：對(duì)折;再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可2想一想：能否把一個(gè)邊長為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長為4的正六邊形.提示：可以.主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理.參考圖形如下：對(duì)折成小正方形ABCD;對(duì)折小正方形ABCD的中線;對(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的

15、中線上即B那么B、B為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形.探究問題：安徽省2019某學(xué)習(xí)小組在探究各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形時(shí)，進(jìn)展如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形;乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形.如圖一，ABC是正三角形, 形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形;丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形.我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形.1請(qǐng)你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等.2請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG如圖二是正七邊形不必寫、求證.3根據(jù)以上探究過程，提出

16、你的猜測不必證明.1說明2證明3猜測解：1由圖知AFC對(duì) .因?yàn)?= ，而DAF對(duì)的 = + = + = .所以AFC=DAF.同理可證，其余各角都等于AFC.所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相.2因?yàn)锳對(duì) ，B對(duì) ，又因?yàn)锽，所以 = .所以 = .與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?，“老師一說是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異

17、。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。同理 = = = = = = .所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對(duì)幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還通過各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對(duì)詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽兒歌上