第五章5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

1、5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解正切函數(shù)的畫法,理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)2能夠利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決相關(guān)問題.知識梳理梳理教材夯實(shí)根底知識點(diǎn)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)=tanx圖象1ftJ.定義域4xxW5+E,kGZ,值域R最小正周期71奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在每一個(gè)區(qū)間甘+履,與+E伏CZ上都單調(diào)遞增對稱性對稱中央修ogz思考正切函數(shù)y=tanx的圖象與直線x=E+；,k£Z有公共點(diǎn)嗎？答案沒有.正切曲線是由被互相平行的直線x=E+9k£Z隔開的無窮多支曲線組成的.思考辨析判斷正誤1 .正切函數(shù)的定義蝮口值域都是R.X2 .正切函數(shù)圖象是中央對稱圖

2、形,有無數(shù)個(gè)對稱中央.J3 .正切函數(shù)圖象有無數(shù)條對解由,其對稱軸是x="國,AeZ.X題型探究4 .正切函數(shù)是增函數(shù).X探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)一、正切函數(shù)的奇偶性與周期性例1函數(shù)4r)=tan(一4+0的最小正周期為()A.fB.,C.nD.2兀(2)函數(shù)Ax)=sinx+tana的奇偶性為()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案(1)A(2)A解析方法一丁二合二金二方法二J(x)=tan(-4x十三)=tan(-4x+j-h=tan-4(x+g+f二GO,(2加)的定義域?yàn)椴肥瓻,k£Z,關(guān)于原點(diǎn)對稱,又火-x)=sin(-x)+tan(-x)=-

3、sinx-tanx=-,而)為奇函數(shù).反思感悟與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略一般地,函數(shù)y=Atan(s+9)的最小正周期為丁二尚,常常利用此公式來求周期.判斷函數(shù)的奇偶性要先求困定義域,判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,假設(shè)不對稱,那么該函數(shù)無奇偶性；假設(shè)對稱,再判斷負(fù)7用於)的關(guān)系.跟蹤練習(xí)1(1)函數(shù)八')=匿卜()A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)假設(shè)函數(shù)y=3tan(3x+,)的最小正周期是看那么3=.答案(1)A±2解析要使4'有意義,必須滿足1+cos,即人學(xué)左兀十,且xN2女十lmk£Z,函

4、數(shù)啟的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.tan(-x)又=77tan%1+cosx-/U),故"二假設(shè)是奇函數(shù).依題意有丁合二會(huì)/.11=2,co=±2.二、正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例21比擬以下兩個(gè)數(shù)的大小用或“<填空:c1°兀3兀1c2兀3兀兀角中析(iJtan=tan-,且0<<y<j,又日anx在0與上單調(diào)遞增,crixl2兀3兀an27rIOtt所以tan-y<tan-y,即tan-y<tanL、67rn(13兀、2ntan-y=tan5ztan(-1=tan-yz八兀2兀兀由于0<<y<2z又,二tanx在O,0

5、上單調(diào)遞增,所以(an<tan骨,貝han等<JJJ求函數(shù)y=tan2x-m的單調(diào)區(qū)間.解:y=tanx在(-質(zhì),十knkeZ上是增函數(shù),"y+kn<2x-十knk£Z,annkn5nknft即-十<v<72十工及£Z.函數(shù)y=tan2x-穹的單調(diào)遞增區(qū)間是*+與,浮母收Z,無單調(diào)遞減區(qū)間.學(xué)生留反思感悟1運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性匕限大小的方法運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).運(yùn)用單調(diào)性比擬大小關(guān)系.2求函數(shù)y=tan"r+9的單調(diào)區(qū)間的方法y=tan5十.3>0的單調(diào)區(qū)間的求法是把cox+夕看成一個(gè)整體,解

6、-,十kn<cox+9年十桁,k£Z即可.當(dāng)口<0時(shí),先用誘導(dǎo)公式把s化為正值再求單調(diào)區(qū)間.跟蹤練習(xí)2求函數(shù)y=3tan一5+；的單調(diào)遞減區(qū)間.,n1nn田左兀-2<2a,4兀十,Z£Z,彳導(dǎo)2kn-<x<2kn十母,Z,故單調(diào)遞減區(qū)間為2E4,2E+苧,ACZ.三、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)段=tanH.1求函數(shù)./U的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及對稱中央;2求不等式一1W./UW巾的解集.解由3-拿與十E2£Z,得xH等+2knk£Z,所以."的定義域是XxW苧+2E,A£Z由于3多所海

7、小正周期丁合手2兀2?<z+7t(GZ),彳導(dǎo)-三十2kn<x<+2kn(kEZ).所以函數(shù)危)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-畀2E,芋十2依)伏WZ),無單調(diào)遞減區(qū)間.,xn兀八/a,2兀八由5-可二"(k£Z),彳導(dǎo)x=k兀十彳(k£Z),故函數(shù)/U)的對稱中央是3+牛,0)伏WZ).由-iWtan修-,得-5履¥-狂生十E(k£Z),/rJJ解彳導(dǎo)蘇+2兀WxW.十2k兀伏£Z).所以不等式-1W/U)w小的解集是"x聿十2EWxW與+2E,kGZ.反思感悟解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的注意點(diǎn)對稱性：正切函數(shù)圖象

8、的對稱中央是得,0)(*£Z),不存在對稱軸.單調(diào)性：正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間-畀履伏£Z)上都單調(diào)遞增,但不能說其在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.跟蹤練習(xí)3畫出函數(shù)y=ltanxl的圖象,并根據(jù)圖象判斷其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性.(tanx,k7tWx<k7i+r兀-tanxf-5+kn<x<k7t,k£Z,其圖象如圖：由圖象可知,函數(shù)產(chǎn)Itanxl的定義域?yàn)槌?1W十也,值域?yàn)?,+8,是偶函數(shù).函數(shù)y=Itanxl的周期T=n,函數(shù)y二Itanxl的單調(diào)遞增區(qū)間為E,履十%依Z,單調(diào)遞減區(qū)間為E-冗,*Z.隨堂演練息礎(chǔ)穩(wěn)固學(xué)以致用-、1 .函

9、數(shù)Lan2r+M的最小正周期為A.2兀B.7iD.j答案C解析根據(jù)周期公式計(jì)算得r=百二考2 .函數(shù)y=2+tan%+§的單調(diào)遞增區(qū)間是A.2E一冬,2履+窺,kGZ答案A解析由-十也<5十+kn,女£Z,解得-苧十2Z：7t<a<j+2kn£Z.3 .函數(shù)產(chǎn)tanx+g的一個(gè)對稱中央是A.00B.j,0；C,得,0D.7T,0答案C5b八nkn/|=,"兀兀.角牛析令x十弓二可,.V=-fkGZ.所以函數(shù)y=tanQ+5的對稱中央是傳-0,kZ.4.函數(shù)y=tanl答案-1,小解析VxGX6tanQ"£-1,小,5

10、.比擬大?。簍an137r19?！慷〈鸢附馕鲇捎趖an率=tan?,JJ19兀ntan=tan-#,=tanx在.,號內(nèi)單調(diào)遞增,即tan粵tan畢1 .知識清單:正切函數(shù)圖象的畫法.正切函數(shù)的性質(zhì).2 .方法歸納：整體代換、換元法.3 .常見誤區(qū)：最小正周期T,在定義域內(nèi)不單調(diào),對稱中央為傳,0)(&£Z).課時(shí)對點(diǎn)煉注重雙基強(qiáng)化落實(shí)丁根底穩(wěn)固1 .函數(shù)y=tan(x-W的定義域是()、«A.p"工B?x.4一1'uLjC.3.寸布+小kGZD.jx苧,kGZr答案D解析由x-十,k£Z,得xWE+苧,k£Z.2 .函數(shù)J(x

11、)=sinManx()A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案B解析外)的定義域?yàn)椴凡泛?E,££ZJ,關(guān)于原點(diǎn)對稱,又穴-X)=sin(-x)-tan(-x)=sinx-tanx二.),為偶函數(shù).3 .函數(shù)%)=tan5(3>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線),=1所得的線段長為飄3的值是()A.1B.2C.4D.8答案C解析由題意可得危)的最小正周期為今,那么白二巳又3>0一3二4.4C044.(多項(xiàng)選擇)與函數(shù)),=tan(2r-f的圖象不相交的一條直線是()3兀兀A.x=rB.a=-2c兀c兀c.x=4D.A=g答案AD解析

12、令2r-?二畀&兀,AWZ,3nkit,x=-r+,k£Zz.直線X二景十華,eZ與函數(shù),=tan2x-：的圖象不相交,:令k二-1rx=-,八3兀女二0fx二區(qū).5.多項(xiàng)選擇以下關(guān)于函數(shù)產(chǎn)tanx+窈的說法不正確的選項(xiàng)是A.在區(qū)間一也引上單調(diào)遞增B.最小正周期是7TC.圖象關(guān)于點(diǎn)仔,0對稱D.圖象關(guān)于直線=專對稱答案ACD解析令ku-<v+<kn+,解得Mr-<x<kn+1,kZ,顯然-看,金不滿足上述關(guān)系式,故A錯(cuò)誤；易知該函數(shù)的最小正周期為叫故B正確；令x+T與,kGZ,解得x二程依Z,任取k值不能得到x=；,故C錯(cuò)誤；正切函數(shù)曲線沒有對稱軸,因

13、此函數(shù)>'=tanla+2的圖象也沒有對稱軸,故D錯(cuò)誤.6 .函數(shù)y=tan3x+g的最小正周期是,單調(diào)遞增區(qū)間是.套案-aK3解析由于y=tan3.x-+§,入7TTC7CklT3兀kit7T-7令-y+kn<3x+<2+kn,kZt-"y-<v<y+y-7,k£Z,所以函數(shù)y二增區(qū)間是停-泮竽端,g.7 .函數(shù)的定義域?yàn)榇鸢竫g+EvW+E,kGZ-解析令1-tanxeO,即tanxW1,由正切函數(shù)的圖象知-T+E,kGZ.8 .函數(shù)尸熹一沁©且#0的值域?yàn)榇鸢敢?,-1U1,+OO解析當(dāng)-<v<0時(shí)

14、,-l<tanx<0,所一一；當(dāng)0<v<|,0<tanx<l,所喘?1即當(dāng)0Mom時(shí),函數(shù)丫二金的值域是-8,-1U1,十8.9 .設(shè)函數(shù)."=tan住一部1求函數(shù)段的最小正周期、對稱中央;2作出函數(shù)人x在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.解.3二專,*最小正周期丁二言二£二3兀3人xnk八八lf、,日3kit八lt、令弓-彳二字k6Zzx=7t+Z：GZ,JJJ乙,."的對稱中央是/半,0%£Z.2令方-90,貝1二兀；人xnnnil5兀令打十方那么X二了;人X7171n.l兀令丁y-力那么-2-從而得到函數(shù)產(chǎn)段在一個(gè)周期-5,苧內(nèi)

15、的簡圖如圖.Sttx110.函數(shù)外=3tan仁一31求7U的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;試比擬刎與人苧的大小.解6由于外二3111?-£=-3121】卜聿,所以丁二合二,二4兀4.fnX7T.冗,r由女兀-2<-4<&兀十伏WZ),得4kn-牛<x<4E+空(k£Z).由于y=3tan&依-亨,4履十£Z內(nèi)單調(diào)遞增,所以外=-3tang-聿在4E-等,飲兀+等k£Z內(nèi)單調(diào)遞減.故原函數(shù)的最小正周期為4兀.單調(diào)遞減區(qū)間為我兀-y,4履十竽依£Z.(2次兀)=3tan(na3t=|7H-4兀_12nla,57r

16、-3tan54,/(y)=3tan(1-y)=3tan(-§)=且,二tanx在0周上單調(diào)遞增,所以tany5ctan招,所以.他>/苧.vr綜合運(yùn)用11 .函數(shù)尸tan2x+8的圖象過點(diǎn)修,0,那么伊可以是A-R-CDa.6%J12u12答案A解析由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)傳,.,所以tan(十=0z所以看十.二E,kWZ,所以8二府-1A£Z.12 .函數(shù)尸tan3在區(qū)間g,3內(nèi)單調(diào)遞減,那么A.0<gW1B.-1Wg<0C.答案B解析Vy二tans在-1號內(nèi)單調(diào)遞減,13 .卜列圖形分別是y=ltanxl；x：22、內(nèi)的大致圖象,那么由a到d對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式

17、應(yīng)是:ExT3TT37rFA.B.D.®®C.®®答案D解析y=tan(-X)=-tanx在(?,斗上單調(diào)遞減,只有圖象d符合,即d對應(yīng),應(yīng)選D.14.函數(shù)y=-lai】2x+4tanx+l,xe一今,:的值域?yàn)?答案-4,4解析,-,-iWtanxWL令m,那么-1,1,/.y=-十4f+1二-(1-2)2+5.,.當(dāng)f=-1,即X二-腳,Ymin二-4,當(dāng)f=1,即x時(shí),ymax=4.故所求函數(shù)的值域?yàn)?4,4.g拓廣探究15.函數(shù)y=tanx+sinxItanx-sin在區(qū)間體yOsk37rX2TAc答案D解析當(dāng)3<(<兀時(shí),tanx<sinxry=2tanx<0；當(dāng)x二幾時(shí),y=0；當(dāng)n<xv與時(shí),tan,v>sinxty=2sinx,且-2<v<0苧)內(nèi)的圖象是()y2Hz7.QZ7737rA2TByIy_4/7*D16.函數(shù)."=4an3x+“A>0,w>0,右的圖象與x軸相交的兩相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為像,0和偌,0,且過點(diǎn)0,-3.1求7U的解析式；2求滿足7x2小的X的取值范圍.解1由題意可得./U的周期為丁二濟(jì)看二號二合,由于3>0