測(cè)量鋼絲的楊氏模量胡

1、胡鑫J05 級(jí)數(shù)學(xué)系PB050010675J測(cè)量鋼絲的楊氏模量實(shí)驗(yàn)?zāi)康膌l學(xué)會(huì)利用光杠桿法測(cè)定微小形變；學(xué)會(huì)使用逐差法和作圖法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。實(shí)驗(yàn)原理宏觀物體在外力作用下都會(huì)發(fā)生形變，在彈性限度內(nèi)，材料的應(yīng)強(qiáng)與應(yīng)變之比為一常數(shù)，稱彈性模量。楊氏模量（用 E 表示）是條形物體沿縱向的彈性模量，定義為彈性限度內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之比（注：應(yīng)力是力與作用的面積之比，應(yīng)變是長(zhǎng)度的變化與原長(zhǎng)之比），即（1）在胡克定律成立的范圍內(nèi)，E 為常數(shù)，它僅決定于材料的屬性，用于度量材料的剛性。測(cè)量楊氏模量可用拉伸法、梁德彎曲法、振動(dòng)法、內(nèi)耗法等。本實(shí)驗(yàn)采用拉伸法測(cè)量鋼絲的樣式模量，即，在截面積為 S 的樣品上的作用應(yīng)力 F

2、，測(cè)量引起的相對(duì)伸長(zhǎng)量 L/L，即可計(jì)算出材料的楊氏模量 E。因伸長(zhǎng)量 L 一般很小，常用光杠桿法先放大 L 再測(cè)量。光杠桿裝置是帶有一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的平面鏡的支架，平面鏡的鏡面與三個(gè)足尖決定的平面垂直，杠桿支腳與待測(cè)物接觸。當(dāng)杠桿支腳隨鋼絲下降微小距離 L 時(shí)，鏡面法線轉(zhuǎn)過(guò) 角，反射光線轉(zhuǎn)動(dòng) 2 角，當(dāng) 趨于 0 時(shí)（臂長(zhǎng)為 l）q » tanq = DL / lb（2）tan 2q » 2q =（3）D（D 為鏡面到標(biāo)尺的距離，b 是從望遠(yuǎn)鏡中觀察到的標(biāo)尺移動(dòng)的距離）由以上三式得到（4）1E =2DLFSlbE = ( F / S ) /( DL / L ) = FL / S

3、DL胡鑫J05 級(jí)數(shù)學(xué)系PB05001067只要測(cè)量出 L、D、l 和 d（ S = pd 2 / 4 ）及 F 與 b ，就可確定鋼絲的楊氏模量 E。實(shí)驗(yàn)儀器，鋼絲長(zhǎng)約 1m楊氏模量的測(cè)量裝置包括光杠桿、砝碼、望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺。實(shí)驗(yàn)裝置，上端夾緊懸掛于支架頂部，下端夾在一個(gè)器底部，支架中部有一平臺(tái)，平臺(tái)中有一圓孔，器能在孔中上下移動(dòng)，砝碼加在器下的砝碼托上，使金屬絲伸長(zhǎng)。實(shí)驗(yàn)步驟1（1）（2）（3）調(diào)節(jié)儀器調(diào)節(jié)平臺(tái)與望遠(yuǎn)鏡的相對(duì)位置，使光杠桿鏡面法線與望遠(yuǎn)鏡軸線重合。調(diào)節(jié)支架底腳螺絲，使平臺(tái)水平；調(diào)節(jié)平臺(tái)的豎直位置，使其上表面與器頂部共面。調(diào)節(jié)光杠桿，使其鏡面與刀口平行。使用時(shí)，刀口置于平臺(tái)的槽

4、內(nèi)，支腳置于器的槽內(nèi)，刀口和支腳尖須共面。（4）鏡尺組的調(diào)節(jié)，調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡、直尺和光杠桿三者之間的相對(duì)位置，使望遠(yuǎn)鏡與平面鏡等高，調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡目鏡視度圈，使目鏡內(nèi)分劃板刻線（叉絲）清晰，用手輪調(diào)焦，使標(biāo)尺像清晰。注意l在調(diào)好光杠桿和鏡尺組之后，必須防止刀口、望遠(yuǎn)鏡和豎尺的位置發(fā)生變動(dòng)，特別在加減砝碼時(shí)要輕取輕放。l先粗調(diào)后微調(diào)：通過(guò)望遠(yuǎn)鏡筒上的準(zhǔn)星看反射鏡，應(yīng)能看到標(biāo)尺，然后微調(diào)望遠(yuǎn)鏡。調(diào)目鏡可以看清叉絲，調(diào)聚焦旋鈕可以看清標(biāo)尺。2（5）測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)量砝碼托的質(zhì)量 m0，望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的讀數(shù) r0 作為鋼絲的起始長(zhǎng)度。2胡鑫J05 級(jí)數(shù)學(xué)系PB05001067（6）在砝碼托上逐個(gè)增加 500g 砝碼到

5、 3500g，望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺上的讀數(shù) ri，再將砝碼逐個(gè)減去，記下讀數(shù)r'i ，取兩組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的平均值ri 。用米尺測(cè)量金屬絲的長(zhǎng)度 L 和平面鏡與標(biāo)尺之間的距離 D，以及光杠桿的臂長(zhǎng) l。處理數(shù)據(jù)（7）3l逐差法用螺旋測(cè)微儀測(cè)量金屬絲直徑 d，上、中、下各測(cè) 2 次，取平均值。將ri 每隔四項(xiàng)相減，得到相當(dāng)于每次加 2000g 的四次測(cè)量數(shù)據(jù)， bi = ri+4 - ri （i =0,1,2,3），再求平均值和誤差。將測(cè)得的各量代入式（4）計(jì)算 E，并求出其誤差（E/E 和 E），正確表述 E 的測(cè)量結(jié)果。l 回歸法令M = 2DL /( SlE )，則有ri = 2DLFi /(

6、SlE ) = MFi（5）若以ri 為縱坐標(biāo)，F(xiàn)i 為橫坐標(biāo)作圖，因?qū)嶒?yàn)中 M 不變，故擬合得斜率為 M 的直線，則（6）數(shù)據(jù)7（本次實(shí)驗(yàn)在號(hào)實(shí)驗(yàn)臺(tái)完成）測(cè)量鋼絲的直徑 d 數(shù)據(jù)如下表所示：在增減砝碼過(guò)程中，標(biāo)尺的讀數(shù)如下表所示：L = 100.50cmD = 98.50cm3l = 72.0mmim i / gr i / mmr' i / mmr i 平均 / mm0.011.020.029.639.849.861.570.7b i / mm39.838.841.541.1000.00.0150011.011.02100019.020.93150028.031.24200038.5

7、41.05250048.651.06300061.861.17350070.770.7i123456平均0.293d / mm0.2900.3000.2850.2950.2970.293E = 2DL /( SlM )胡鑫J05 級(jí)數(shù)學(xué)系PB05001067逐差法：將 d 的測(cè)量值列和 b 的測(cè)量值列代入平均值公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式nx = 1 ån)2sxini =1i =1得b = 40.3mms (b) = 1.2mmd = 0.293mms (d ) = 0.005mm查表知修正因子= 1.20= 1.11t(0.683,4)t(0.683,6)于是u (b) = t(0.683,

8、4) ´s (b) = 1.20´1.2 mm = 0.7mmA2nu (d ) = t(0.683,6) ´ s (d ) = 1.11´ 0.005 mm = 0.002mmAn6已給出的一些數(shù)據(jù)：m = 500g故最大不確定度為Dm = 5gDL = DD = 2mmDl = 0.2mmDE = DD + DL + 2 Dd + Dl + Db + DFED2LdlbF2+ 2 ´ 0.002 + 0.20.75=+985.01005.00.29372.040.3500= 0.048又（取 g = 9.7947kg × m /

9、s 2 ）8DLF = 8 ´ 985.0 ´1005.0 ´ 0.500 ´ 4 ´ 9.7947 N / mm2E =p d 2lb3.1416 ´ 0.2932 ´ 72.0 ´ 40.3= 1.98 ´105 N / mm2= 1.98 ´1011 N / m2DE = 0.48 ´1.98 ´1011 N / m2 = 0.09 ´1011 N / m24胡鑫J05 級(jí)數(shù)學(xué)系PB05001067所以最終結(jié)果為作圖法：不妨以砝碼個(gè)數(shù)和伸長(zhǎng)量?jī)闪袛?shù)據(jù)進(jìn)行作圖，

10、由于r = 2DLimg /(SlE) = Kii故有擬合直線的斜率K = 8DLmg /(p d 2lE)所以E = 8DLmg /(p d 2lK )作圖如下：ri = Ki擬合的曲線類型為直線用最小二乘法求得：參數(shù)A B值0.002520.3328標(biāo)準(zhǔn)偏差5.52E-041.30E-03相關(guān)系數(shù)r 樣本數(shù)N 置信概率P標(biāo)準(zhǔn)差4.12E-040.999985>0.99995ir i 平均 / mm00.0111.0220.0329.6439.8549.8661.5770.7E = E ± DE = (1.98 ± 0.09)´1011 N / m2胡鑫J

11、05 級(jí)數(shù)學(xué)系PB05001067即：K = 10.08故E = 8DLmg = 8 ´ 985.0 ´1005.0 ´ 0.500 ´ 9.7947 N / mm2p d 2lK3.1416 ´ 0.2932 ´ 72.0 ´10.08= 1.98 ´1011 N / m2不確定度DE = DD + DL + 2 Dd + Dl + DK + DmED2LdlKm2+ 2 ´ 0.002 + 0.20.115=+985.01005.00.29372.010.08500= 0.041DE = 0.041´1.98 ´1011 N / m2 = 0.08 ´1011 N / m2于是比較總結(jié)：兩種方法得到的結(jié)果相同，可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)相當(dāng)！ 分析得不錯(cuò)思考題l利用光杠桿把測(cè)微小長(zhǎng)度 L 變成測(cè) b，光杠桿的放大率為 2D/L，根據(jù)此式能否以增加 D 減小l 來(lái)提高放大率，這樣做有無(wú)好處？有無(wú)限度？應(yīng)怎樣考慮這個(gè)問(wèn)題？答：這樣做有好處，但也有限度：設(shè)放大率為 k，于是DL =