巧用數(shù)形結合思想解二次函數(shù)中的問題

1、 巧用數(shù)形結合思想解二次函數(shù)中的問題摘要：數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來。通過數(shù)與形之間的對應和轉化來解決數(shù)學問題，數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”兩個方面，已經(jīng)成為當今數(shù)學的特色之一，它使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質。它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學方法。本文通過例題分析了解“數(shù)形結合思想”來解決二次函數(shù)中的問題，因為此類問題的特點是若僅進行代數(shù)推理,亦能解決, 但運算繁、技巧強、難度大若以形助數(shù), 則運算簡、技巧弱、難度小。關鍵詞：數(shù)形結合思想 二次方程和不等式 二次函數(shù)由于初

2、中的“二次函數(shù)”的問題，歷年來都是中考的熱點，因此，我從用“數(shù)形結合”思維思想來談一談這些問題。一、數(shù)形結合思想概述法國著名的自然辨證哲學家恩格斯曾經(jīng)說過“數(shù)學是研究現(xiàn)實生活中數(shù)量關系和空間形式的數(shù)學”。數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面。借助于圖形的性質可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數(shù)問題，以獲得精確的結論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題

3、思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟一條重要的途徑因此，數(shù)形結合不應僅僅作為一種解題方法而應作為一種重要的數(shù)學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。而課堂教學中多媒體的應用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。有利于突破教學難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關系，營造愉快的課堂教學氣氛，激發(fā)學生的學習興趣，使學生喜歡數(shù)學，愛學數(shù)學“數(shù)”與“形”作為數(shù)學中最古老最重要的兩個方面一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體。永遠聯(lián)系切

4、莫分離!”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致“數(shù)形結合”作為數(shù)學中的一種重要思想，它在初、高中都是解決許多問題得重要思想，特別是在高中數(shù)學中占有極其重要的地位，關于這一點，我們只要翻閱近年高考試卷就可以一目了然。在多年來的高考題中，數(shù)形結合應用廣泛大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求復數(shù)和三角函數(shù)等問題中，與此同時“數(shù)形結合”思想在二次函數(shù)中的應用在中、高考命題中解決問題也成了必不可少的部分，也是平時學習二次函數(shù)解決應用問題的一個重點。巧妙運用“數(shù)形結合”思想解題可以化抽象為具體，達到事半功倍的效果。二、二次函數(shù)與系數(shù)之間的關系（1）二次函數(shù)的一般式是：y=ax

5、+bx+c,其中a0，此函數(shù)的對稱軸是 22a ， 頂點坐標是2a4a 。（2）函數(shù)式中的參數(shù)a的正負決定開口方向，當a0時，開口向上，在對稱軸右邊的隨函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，左邊的圖象y隨x的增大而減??；當a0時，開口向下，在對稱軸右邊的函數(shù)圖象y值隨x的增大而減小，左邊的圖象y隨x的增大而增大，整個圖形是對稱的。然而a的大小決定了二次函數(shù)的開口度的大小，a越大開口度越小，a越小開口度越大。（3）與x軸交點的情況。當y=0時，是二次方程，當0時，則此二次函數(shù)都與x軸有兩個交點；當=0時，二次函數(shù)與x軸有且只有一個交點；當0時，二次函數(shù)與x軸沒有交點。（4）二次函數(shù)的表達式還有以下幾種：-

6、b(-b,4ac-b2)=交點式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a0，x1、x2是該函數(shù)y=0是的兩個根； 頂點式：y=a（x-k）+h，其中a0，而（k，h）是二次函數(shù)的頂點坐標。 x三、從方程的“數(shù)”到函數(shù)的“形”，以形象定性抽象的內(nèi)容例1:已知方程|x2 -4x+3|= m 有4個根，則實數(shù)m的取值范圍?！痉治觥看祟}并不涉及方程根的具體值，只求根的個數(shù)，而求方程的根的個數(shù)問題可以轉化為求兩條曲線的交點的個數(shù)問題來解決。解：方程|x2 -4x+3|= m 根的個數(shù)問題就是函數(shù)y= |x2 -4x+3|與y= m 函數(shù)圖像的交點的個數(shù)。如圖所示：作出拋物線y= x2 -4x+3的圖像，

7、將x軸下方的圖像沿x軸翻折上去，2 得到y(tǒng)= |x-4x+3|圖像，再作直線y = m ，如圖所示。由圖像可以看出，拋物線y= x2-4x+3的頂點坐標是（2，-1），經(jīng)由x軸翻折后變成（2,1），所以當0<m<l時，兩函數(shù)圖像有4個交點，故m的取值范圍是(0，1)。例2:確定函數(shù)y=x|x|一2|x|的單調(diào)區(qū)間。0，作出<0x³2xx+-xî2í=x|x|-2|x|=x2-2x解：yì函數(shù)的圖像如左圖所示：由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為)；¥，0和1，+¥(-函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為0，1。評注：數(shù)形結合可用于解決二

8、次函數(shù)方程的解的問題，準確合理地作出滿足題意的圖像是解決這類問題的關鍵。例3：若關于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間, 求k的取值范圍。分析 :令f (x )= x2 +2kx+3k, 其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f(x)=0的解。 由y=f(x) 的圖象可知,要使二根都在(-1,3)之間, 只需f(-1)= k+1> 0,f(3)= 9k+9>0,又因為-b/2a=-k介于-1與3之間,即-1<-k<3,且f (-k) =-k2+3k<0同時成立, 解得-1<k<0,故k (-1,0)。例4：已知b,c為整數(shù)，方程5x2+bx

9、+c=0的兩根都大于-1且小于0，求b和c的值。（99年初中聯(lián)賽）解：設f(x)=5x2+bx+c,則由題可知，此拋物線與x軸的交點設為（x1,0）和 （x2，0），其中-1x10，-1x20，并且開口向上，畫出的大致圖像 （如圖所示），則有：íí0即³0b-20c³Dï2ï2a10ïï0<-<-1-0-1ììbb0>f(-1)ï0>c+5-bï，î，î0>0c>f(0)ïï10<b<0&

10、#236;í20c所以³bï2ïc+5<bï0>cîï2。 由、得20cb100,0<c<5,所以當c=1時，有、得：0<b<6且b220，得b=5；2當c=2時，0<b<7且b40，此時b無整數(shù)解；當c=3時，0<b<8且b260，此時b無整數(shù)解；當c=4時，0<b<9且b280，此時b無整數(shù)解；所以b=5，c=10。四、數(shù)形結合可以求得平移后的拋物線解析式，比較函數(shù)值的大小。 例1：如圖2，把此拋物線線繞頂點旋轉180°，則該拋物線對應的解

11、析式為： 。若把新的拋物線再向右平移2個單位，向下平移3個單位，則此時拋物線對應的函數(shù)解析式為： 。解：1、由于是繞頂點旋轉180°，所以頂點的坐標不變，對稱軸不變，所以設原拋物線的解析式為：Y=a（x+1）2+4，又因為過了A點（1,0），帶入解析式得到：a=-1，所以原函數(shù)的解析式為：Y=-（x+1）2+4，故繞頂點旋轉180°后，只有開口變了，所以新函數(shù)的解析式為：Y=（x+1）2+4。2、因為拋物線圖象的平移本質上是把握點的平移。只要把握好規(guī)律，結合圖形的變換，做到做“+”右“-”，上“-”下“”這樣就很容易得到此時的函2數(shù)解析式：Y=（x-1）-1。例2：若（，）

12、，（，）是拋物線上（）（）上的兩點，則（填，或）。 變式：若（，），（，）是拋物線上（）（）上的兩點，則（填，或）。 變式：若（，），（，）是拋物線上（）（）上的兩點，當取何值時，？解：因為，開口向上，又從圖中看到是函數(shù)的對稱軸，又因為函數(shù)圖象與軸的交點在軸的負方向，所以，所以得出：當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小。因此：（）因為，所以；（）因為，所以；（）要使，則，即是、關于對稱，所以就有：（），解得：，所以無論取何值，；很明顯，要得到，從圖像可知：在對稱軸的右側，則只要就行。五、從函數(shù)的“形”到方程的“數(shù)”，使推理判斷更準確例1如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過的路線是

13、某個二次函數(shù)圖像的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，球路的最高點B(8，9)，則這個二次函數(shù)的表達式為 ，小孩將球拋出了約 米(精確到01m)。解：由題意和圖像可可知，設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)2 +9，將點A(0，1)代入，得a=-1/8。所以該二次函數(shù)的解析式為：y=-1/8(x-8)2+9=-1/8x2+2x+1,令y=0,則有-1/8x2+2x+1=0，解得：62，+62,所以C（8±8=A 0）, x16.5(米)O»62+8=OC注：從“形”到“數(shù)”的問題時，應注意觀察函數(shù)圖像的形狀特征，充分挖掘圖像的已知條件，確定函數(shù)的解析式，從而利

14、用函數(shù)的性質來解。六、“數(shù)形結合”在二次函數(shù)中的綜合應用例1：市“健益”超市購進一批20元千克的綠色食品，如果以30元千克銷售，那么每天可售出400千克由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量v(千克)與銷售單價x(元)(x30)存在如下圖所示的一次函數(shù)關系式。(1)試求出v與x的函數(shù)關系式；(2)設“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?(3)根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍。解：(1)設y=kx+b，由圖像可知,1000=bî

15、38;200=b+40kíí-20,解得=kì400=b+30kì所以一次函數(shù)的表達式為：y=-20x+1000,(30x50)。(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+lO00) =-20x2+1400x-20000又因為a=一20<0，所以P有最大值。(或通過配方，P一20(x一35) +4500，也可求得最大值)答：當銷售單價為35元千克時，每天可獲得最大利潤4500元。(3)因為4180-20(x-35)+45004480，1(x一35) 16，所以31x34或36x39。注：在解決二次函數(shù)問題時，要注意“由數(shù)想形，以形助數(shù)”的方

16、法，充分挖掘題目中的已知條件，從而創(chuàng)造性地解決問題。（-20）1400´4500元2=35時，pmax=當x七、結語在學習二次函數(shù)中“數(shù)”、“形”并進，讓學生見“數(shù)”想到“形”。見“形”不忘“數(shù)”。在數(shù)形轉化結合的過程中，必須遵循下述原則：轉化等價原則；數(shù)形互補原則；求解簡單原則。當然在在用數(shù)形結合的思想解決“二次函數(shù)”中的問題時，還應掌握以下幾點：1善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系。2正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系。3切實把握“數(shù)”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖?？傊魏瘮?shù)的問題，在數(shù)形結合中來解決就顯得不是那么的難，都是“二次方程、不等式”的“數(shù)”與二次函數(shù)的“形”之間相互轉化的。數(shù)與形的結合就是解決二