數(shù)值分析原理

1、第四章函數(shù)插值插值是對(duì)函數(shù)進(jìn)行近似的基本方法，本章介紹了代數(shù)插值時(shí)常用的Lagrange插值法、Newton插值法、Hermite插值法和三次樣條插值法，并相應(yīng)的介紹了差商，差分和插值余項(xiàng)等概念.M.1引在科學(xué)與工程計(jì)算中，常會(huì)遇到如下問(wèn)題：已知y=f(x)在區(qū)間a,b上的一系列點(diǎn)小)：3處的函數(shù)值y九，需要利用這些數(shù)據(jù)來(lái)求某點(diǎn)x(x手k)處的函數(shù)值的近似值.若能利用這組數(shù)據(jù)建立一個(gè)近似f(x)的函數(shù)如x),f(x)的值就可以用*(x)近似求出.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)入：3處的函數(shù)值丫.若函數(shù)集合I0II0中函數(shù)Wx)滿足條件Wx)=f(xi)(I=0,1,2,，n)(

2、4.1)則稱©(x)為f(x)在9中關(guān)于節(jié)點(diǎn)田的一個(gè)插值函數(shù)，并稱f(x)為被插值函數(shù)，a,b為插值區(qū)間，為I”為插值節(jié)點(diǎn)式(4.1)被稱為插值條件.1 9函數(shù)集合中可以有不同的選擇，最常用的是形式簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)集合.將多項(xiàng)式作為插值函數(shù)進(jìn)行插值的方法稱為代數(shù)插值.針對(duì)區(qū)間a,b上n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，代數(shù)插值就是要確定一個(gè)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式(4.2)(4.3)(x);a0a1xanxn使其滿足插值條件(4.1),即選取參數(shù)aj：0，滿足線性方程組1 xox：IaoIyoIn_n1 x1x1a1_y1aaa.|FF+F|+I+1x：xnj-an-Jn-n1記方程組(4.3)的系數(shù)矩陣為

3、A.由于插值節(jié)點(diǎn)互異，故det(A)=n(xxj#0.線性j=0(i.j)方程組(4.3)存在惟一的一組解(a0,a1，an)T.若an=0,4(x)是一個(gè)n次多項(xiàng)式，否則文x)的次數(shù)低于n.于是有下面的結(jié)論.定理4.1滿足插值條件(4.1)的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式存在并且惟一.*(x)與f(x)在插值節(jié)點(diǎn)Xi；_0處函數(shù)值相同，但它們?cè)谄渌黿處的函數(shù)值并不一定相同.將R(x)=f(x)-(x)(4.4)稱為用插值多項(xiàng)式如x)近似f(x)的插值余項(xiàng).定理4.2欠x)是對(duì)f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)小"的n次插值多項(xiàng)式，若f(n41)(x)在區(qū)間a,b內(nèi)存在，則對(duì)Vxwa,b,有插值余項(xiàng)R(x)=f(

4、x)-(x)=f(n1)()(n1)!nl(x)(4.5)其中上=E(x)W(a,b),8n*(x)=(x%)(xx1)(xxn).證明由于Wx)與f(x)在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相同，故Rn(xi)="為)-以)=0(i=0,1,2,n)因此插值余項(xiàng)可設(shè)為(4.6)Rn(x)=k(x)ni(x)將x視為區(qū)間a,b上異于xl二的任一固定點(diǎn)，作輔助函數(shù)g(t)=f(t)-(t)-k(x)ni(t)易于驗(yàn)證x0,x1，xn和x為g(t)在區(qū)間a,b上的n+2個(gè)零點(diǎn).由Rolle中值定理知，函數(shù)g'(t)在區(qū)間(a,b)上至少有n+1個(gè)互異零點(diǎn)，這n+1個(gè)零點(diǎn)形成n個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間

5、上對(duì)g'(t)再次使用Rolle定理，可知函數(shù)g"(t)在(a,b)上至少有n個(gè)互異零點(diǎn).依次類推，函數(shù)g(n+)(t)在(a,b)上至少有1個(gè)零點(diǎn)，即存在U,使得g(n1)()=f(nD(),(n1)!k(x)=0從而得到k(x)=f(n1)(j(n1)!將上式代入式(4.6)就得到插值余項(xiàng)(4.5),定理得證.雖然通過(guò)n+1個(gè)點(diǎn)小必)由的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式惟一，但可以選用不同的基來(lái)表示即Lagrange插值多項(xiàng)式這個(gè)多項(xiàng)式.在本章，將選取兩組不同的基函數(shù)表示該插值多項(xiàng)式,和Newton插值多項(xiàng)式.§4.2Lagrange插值在構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式時(shí)，式(4.2)簡(jiǎn)

6、單地選取了1,x,x2，xn作為n次多項(xiàng)式空間的一組基函數(shù).為確定待定系數(shù)a0,a1，an,需要求解線性方程組(4.3).能否選擇另外一組基函數(shù)來(lái)避免求解線性方程組？下面從線性插值來(lái)著手分析.線性插值就是構(gòu)造一條直線使其通過(guò)兩點(diǎn)(x0,y0)和(xyj.此直線的兩點(diǎn)式方程為_(kāi)yi-y。/、y-y0(x-xo)xi-x0將其等價(jià)變形為x-x1x-x0y=v。yi(4.7)%-xixi-x0式(4.7)滿足插值條件，并且右端是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，故式(4.7)就是所求的插值多項(xiàng)式.將其記為L(zhǎng)i(x),并引入記號(hào)x-xix-x01°(x),li(x)-%-xixi-x0式(4.7)就可以寫(xiě)

7、成Li(x)#0(x)y0li(x)yi(4.8)容易3念證l0(x)和l(x)線性無(wú)關(guān)，它們被稱為線性插值的Lagrange插值基函數(shù).觀察兩個(gè)基函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們具有如下性質(zhì)小兩)=ipi(x0)=0J0(xi)=0lli(xi)=i對(duì)于三點(diǎn)(x0,y0)、(x1，y1)及(x2,y2)的插值可以類似地寫(xiě)出一個(gè)二次多項(xiàng)式(x)、li(x)、lz(x)需分別滿足下面的關(guān)系式Lz(x)=l0(x)y0li(x)yi"x)y2為了滿足插值條件，上式中基函數(shù)L(Xo)=11i(x0)=0b(Xo)=0“0(Xi)=0li(Xi)=1(l2(Xi)=0Jo(X2)=0ll(X2)=012(X2

8、)=1將以上思路推廣到n十1個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形，將經(jīng)過(guò)n十1個(gè)點(diǎn)(X,Yi)：出的n次插值多項(xiàng)式表示為nLn(X)=1°(X)Y01(X)Y112(X)Y21n(X)Yn='li(x)Yi(4.9)iz0Ln(X)被稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式，式中l(wèi)i(X)(i=0,1，n)被稱為基于節(jié)點(diǎn)也的Lagrange插值基函數(shù).當(dāng)每個(gè)基函數(shù)(x)(i=0,1，n)分別滿足條件L(Xj)=，彳,Qj=i0<j<n,j-i(4.10)時(shí)，可以驗(yàn)證Ln(X)滿足插值條件.對(duì)于某一個(gè)特定的i'0,1,2,nL(X)為不超過(guò)n次的多項(xiàng)式.根據(jù)式(4.10),1i(X

9、)在除節(jié)點(diǎn)Xi外的其余n個(gè)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值為零，故1i(X)可表示為1i(x)=ki(x-X0)(x-Xi)(x-Xi)(X-Xi1)(x-Xn)由li(Xi)=1解出ki這樣就得到插值基函數(shù)1(Xi-X0)(Xi-X1)(Xi-Xi4)(XiXi1)(Xi-Xn)1i(X)的具體表達(dá)式式(4.11)也可寫(xiě)為1i(X)(X-X0)(X-X。(X-Xi)(X-Xi1)(X-Xn)(Xi-X°)(X-X1)(Xi-Xi)(X-Xi1)(Xi-Xn)(4.11)1i(X)依據(jù)公式(4.11),前面提到的三點(diǎn)插值的10(X)11(X)_'m(X)(X-Xi)n1(Xi)Lagrange插

10、值基函數(shù)為(x-x1)(x-X2)(X0-Xi)(X0-X2)(x-X0)(x-X2)(X1-X0)(Xi-X2)l2(X)=(X-x0)(x-X1)(X2-X0)(X2X1)例4.1對(duì)于y=JX,已知f(144)=12,f(169)=13,f(196)=14,用Lagrange線性和二次插值多項(xiàng)式求"65的近似值，并給出插值誤差估計(jì).解記X0=144,X1=169,X2=196；y0=12,y1=13,y2=14.Lagrange線性插值多項(xiàng)式為由于X=165處在Xo和4之間，以它們?yōu)椴逯倒?jié)點(diǎn)的L1(x)=jXXly0X0-X1x-X0yXx0代入已知數(shù)據(jù)得L1(x)=12x-16

11、9-2513x-14425所以.165-169165-144f(165)：L1(165)=121312.4-2525以X0,Xi,X2為插值節(jié)點(diǎn)的二次Lagrange插值多項(xiàng)式為L(zhǎng)2(x)=(X-Xi)(X-X2)(X0-Xi)(X0-X2)V。(X-X0)(X-X2)(x-%)(x-X2)(x-x)(x-x1)(X2-%)(X2-X1)代入已知數(shù)據(jù)得(x-169)(x-196)(x-144)(x-196)(x-144)(x-169)L2(X)=12131300-6751404所以,一.1由于f(x)=-i=,2.xf(165):L2(165)：12.8448,3-51二3f(x)=-x2,f

12、(x)=x2.故由式(4.5)可知，在x=165處線48性插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)R(165)=If)(165-144)(165-169)<-maxf”(x)父4812144<x<169=1f“(144)父48=4.1667父10-2同理在x=165處二次插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)R2(165)=13!f(t)(165-144)(165-169)(165-196)Jmax6144_X96f”'(x)M1488=3f'"(144)M1488=6.5406M10”611§4.3Newton插值當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)逐個(gè)增加時(shí)，考察插值多項(xiàng)式之間的聯(lián)系.只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)X0時(shí)，插

13、值多項(xiàng)式為y=y0.當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)X1時(shí)，由點(diǎn)(Xo,yo)和(X1,y1)確定的線性多項(xiàng)式為y1一y0,Pi(x)=y°(xx°)=y0g(x-x0)(4.12)X1-X0進(jìn)一步考察三個(gè)節(jié)點(diǎn)X0,X1,X2上建X的次插值多項(xiàng)式P?(X).由于P2(x)與P1(x)在X0>Xi處函數(shù)值分別相等，故X0,X1是方程p?(x)-p(x)=0的根，則P2(X)-P1(x)=C2(x-%)(xk)即P2(x)=R(x)C2(X%)(XX1)(4.13)同理，當(dāng)節(jié)點(diǎn)由k個(gè)增加到k+1個(gè)，分別由它們所確定的k-1次和k次多項(xiàng)式之間的關(guān)系為Pk(X);Pk式X)Ck(x-X0)(x

14、-X1)(X-Xk4)(4.14)從上面的關(guān)系式可以看出，新增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，新的k次多項(xiàng)式只需要在原來(lái)k-1次多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)即可，而且增加的這一項(xiàng)只需要確定系數(shù)最.將式(4.12)、(4.13)等前面k1個(gè)式子依次代入(4.14)就得到Pk(x)的具體形式為Pk(x)=y°G(X-X0廠Ck(X-%)(X-X1)(X-Xk)(4.15)可將式(4.15)看成是以1,x-x0,(x-x0)(x-，(乂一乂仁一乂)口一乂卜/為基函數(shù)的插值多項(xiàng)式的表達(dá)形式，這種插值方法被稱為Newton插值法.一、差商的定義給定k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，求出k次Newton插值多項(xiàng)式(4.15)的關(guān)鍵是求出系數(shù)

15、。，6,，ck.將插值條件P1(X1)=1代入(4.12)可以求出(4.16)yi-y0xi-x0同理將插值條件p2(x2)=y2代入(4.13),并結(jié)合p(x)的表達(dá)式有C2=比"口(對(duì)(x2-x0)(x2-Xi)_y2-y0G(x2-x0)(x2一x0)(x2xi)V2-y°GJ-x。)-Ci(x2-%)y2-vNi-Nqx2-xixi-x0(4.i7)(x2-x0)(x2-Xi)x2-x0可見(jiàn)g是在兩點(diǎn)處函數(shù)值增量與自變量增量的商，數(shù)學(xué)上將它形象的稱為差商.系數(shù)c2可以看成是差商的增量與自變量的增量的商.下面給出差商的一般定義：已知y=f(x)在互異節(jié)點(diǎn)x0,xi,x

16、2,處的函數(shù)值分別為yo,yi,y2,，定義yj-v“為%二xj-X(4.i8)為f(x)在節(jié)點(diǎn)x，xj處的一階差商.定義口fxjxkHxix,jfxiKjxkxk-x(4.i9)為f(x)在節(jié)點(diǎn)x，xj,xk處的二階差商.更一般的，對(duì)于任意白正整數(shù)k,當(dāng)定義了兩個(gè)k-i階差商fx,x+,，為*二和fx+,xa，為卡后就可以定義f(x)在節(jié)點(diǎn)x,X書(shū)，X丑處的k階差商fx,Ki,xk二fxii,xi2,xik-fX,xii,xi-klxik-xi(4.20)另外，規(guī)定f(x)在點(diǎn)X上的函數(shù)值f(xi)是f(x)在點(diǎn)x處的零階差商，記為fx.在實(shí)際計(jì)算中，常常采用表4.i所示差商表計(jì)算各階差商.

17、差商具有以下性質(zhì)性質(zhì)1差商可以表示為相關(guān)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合，即對(duì)任意的n,有表4.1差商表Xf(X)一階差商二階差商三階差商X0f(X0)X1f(X1)X2f(X2)X3f(X3)fX0,X川fX1,X2fX2,X3fX0,X1,X2fX0,X1,X2fX0,X1,X2,X3|fX0,Xi,Xn=、'',、f(Xi)i=18n4(x)以上結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.從性質(zhì)1可知，改變節(jié)點(diǎn)的排列次序并不影響差商的值，由此得出差商的對(duì)稱性.性質(zhì)2差商具有對(duì)稱性，即fX0,Xi,X2，Xn=fXi0,X1"L,Xin其中牝口，in是0,1,2，n的任意排列.f(n)&

18、#39;性質(zhì)3設(shè)f(x)的n階導(dǎo)函數(shù)存在，則有fX0,X，Xn=-,這里n!£e(min(X0,X1,"1Xn),maX(X0,x1,Xn),該性質(zhì)的證明后面給出.二、Newton插值多項(xiàng)式將式(4.12)中的y0和G寫(xiě)成差商的形式，得到一次的Newton插值多項(xiàng)式N1(x)=fx0fx0,X1(x-%)從(4.17)式可知c2=fx0,X,X2,將c2代入(4.13)式,得到二次的Newton插值多項(xiàng)式N2(x)=f%fX0,Xj(X-X0)fX0,X,X2(X-X0)(X-X1)一般的，由式(4.14)可知Nk(x)=M(x)ck(x-xo)(x-xi)(x-Xkj)將

19、乂=乂卜代入上式，且利用插值多項(xiàng)式的惟一性有Nk(xk)一心他_f(xk)-Lk1(xk)(xk-xo)(xk-xi)(xk-xk)(xk-xo)(xk-xi)(xk-xkj)xk-xjxi-xjf(x)這里L(fēng)k(x)表示k-1次Lagrange插值多項(xiàng)式，將Lk(x)展開(kāi)并利用差商性質(zhì)1得k1k1f(xk)-2i-i=0jz0(j'i)(x-xo)(xk-xi)(xk-xk)f(xk)(xk-xo)(xk-心k-zi=of(x)k,n(xi-xj)(xk-xi)u=o(j才)jJf(xi)二乙-'-=fxo>xi>>xkim8k書(shū)(x)故k次Newton插值

20、多項(xiàng)式的表達(dá)式Nk(x)=fXofxo,xi(x-)fxO,Xi,xj(x-Xo)(x-。)(4.21)基于相同的插值條件，無(wú)論是用Lagrange插值法還是Newton插值法構(gòu)造出的多項(xiàng)式相同，故相應(yīng)的插值余項(xiàng)也應(yīng)相同.根據(jù)定理4.2可知n次Newton插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)為f(n1)()R(X)=f(x)-Nn(x)=/ni(x)(n1)!另外插值余項(xiàng)也可以用差商表示.設(shè)x是異于xo,x,，xn的一點(diǎn)，則由這n+2個(gè)節(jié)點(diǎn)確定的以x為自變量的n+1次多項(xiàng)式為Nni(t)=fXofXo.Xi(t-Xo)fXD,Xi,Xn(t-Xo)(t-Xi)(t-Xn)fXo，Xi，Xn，X(t-xo)(t

21、-Xi)(t-Xn)=Nn(t)fXo,Xi,Xn,X(t-Xo)(t")(14)由于Nn+(t)滿足插值條件，即Nn由(x)=f(x),將x代入上式得f(x)=Nn(x)fXo,K,Xn,X(X-Xo)(X-Xi)(X-Xn)(4.22)于是n次Newton插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)的差商形式為R(x)=f(x)-Nn(x)=fXo，。Xn，Xn1(X)對(duì)比兩種余項(xiàng)表達(dá)式，可得f(n1)fX0,Xi,Xn,X(4.23)(n1)!以上推導(dǎo)過(guò)程同時(shí)也證明了差商的性質(zhì)3.例4.2已知單調(diào)函數(shù)y=f(x)在4個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值如下表Xk4120.001.802.20f(xk)410-0.500.9

22、01.70用插值法求方程f(X)=0在區(qū)間(0.00,1.80)內(nèi)根的近似值.解由于y=f(x)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，所以反函數(shù)x=f'(y)存在.以y為自變量建立如下的差商表f(xk)Xk一階差商一階差商二階差商410412-0.500.001.8666670.901.801.285714-0.29047611.702.200.500000-0.3571428-0.0238095，4一，一.，X=f(y)的二次Newton插值多項(xiàng)式為N2(y)-1.121.866667(y1.10)-0.2904761(y1.10)(y0.5)-0.0238095(y1.10)(y0.5)(y-0.9)方

23、程f(x)=0根的近似值N2(0)=0.7853571.M.4等距節(jié)點(diǎn)插值前面介紹的方法中節(jié)點(diǎn)是任意分布的，實(shí)際應(yīng)用中常碰到節(jié)點(diǎn)等距分布的情形，此時(shí)Newton插值多項(xiàng)式有更為簡(jiǎn)單的形式.為此引入差分算子的概念.b-a設(shè)在區(qū)間a,b上分布等距節(jié)點(diǎn)Xi=a+ih(i=0,1,2，n),這里h=稱為步長(zhǎng).n將f(a+ih)簡(jiǎn)記為1或y,稱-fi=fi1-'fi(4-24)為f(x)在為處以h為步長(zhǎng)的一階向前差分，簡(jiǎn)稱一階差分.稱H=fiF為f(X)在Xi處以h為步長(zhǎng)的一階向后差分.用遞推的方法可以給出更高階的差分的定義.一般的，.kk-1k-1k-J:fi=:(：fi)fi1fi(4.25

24、)被稱為f(x)在Xi處以h為步長(zhǎng)的k階向前差分，簡(jiǎn)稱k階差分.由差分的定義可以得到k分別取1、2、3時(shí)差分與函數(shù)值之間的關(guān)系fi二fi1-fi2一一一一一、一一、:fi=fi1ffi=(fi2-fil)-(fi1-fi)=fi2-2%fi'?fi=fi3-3fi23fii-fi(4.26)kfi=fk卡C；fz+(-1)也*“5+(-1)kfi式(4.26)中Ckm=:.m!(k-m)!用數(shù)學(xué)歸納法可以證明建立在等距節(jié)點(diǎn)上的差商和差分具有如下的關(guān)系fX,Xi1,Xin(4.27)n!h在節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)，n次Newton插值多項(xiàng)式(4.21)中的各階差商依據(jù)式(4.27)可分別替換成差

25、分形式，并令X=X0+th,則得Nn(Xoth)=f0t分1t(t-1”2f0t(t1)(t-n1)-nf0(4.28)2!n!稱(4.28)式為Newton向前差分公式.由式(4.5)還可將插值余項(xiàng)表示為Rn(x)=t(t"，n)hn1f(n1)(),(x)(a,b)(4.29)(n1)!當(dāng)節(jié)點(diǎn)從大到小順序排列時(shí)，還可得到基于向后差分算子的Newton向后差分公式.12t(t1)(tn-1)nNn(Xnth)=fnt'fnt(t1戶fn-fn(4.30)2!n!§4.5Hermite插值在x0附近，可用f(x)在X0處的n階Taylor展開(kāi)式pn(x)來(lái)近似函數(shù)f

26、(x)f(n)(Xn)nPn(x)=f(x0)f(Xo)(X-X0)；-(x-Xo)n!顯然它與f(x)在x0處具有相同的函數(shù)值，以及1到n階導(dǎo)數(shù)值，即有pni)(x0)=fi&)(i=0,1,2,n)(4.31)故可將n階的Taylor公式視為在X。處滿足插值條件(4.31)的一種插值方法.為在較大的范圍內(nèi)能更好的近似被插值函數(shù)f(x),在實(shí)際應(yīng)用中，不但要求在節(jié)點(diǎn)上插值函數(shù)與被插值函數(shù)有相同的函數(shù)值，而且要求在部分或者全部節(jié)點(diǎn)上一階甚至更高階的導(dǎo)數(shù)值也相同.這類插值稱為Hermite插值.在一點(diǎn)處兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值相同，在幾何上表現(xiàn)為兩條曲線在該點(diǎn)有相同的切線；如果直至二

27、階導(dǎo)數(shù)值相同，則兩條曲線在該點(diǎn)具有相同的凹凸性及曲率.可見(jiàn)，Hermite插值是一類更廣泛的插值方法，Taylor公式可視為在X。處的Hermite插值.在構(gòu)造Hermite插值時(shí)，如給出的插值條件有m+1個(gè)，則可以構(gòu)造一個(gè)不超過(guò)m次的插值多項(xiàng)式，下面就一些常見(jiàn)的例子來(lái)討論建立Hermite插值多項(xiàng)式的方法.例4.3試確定一個(gè)不超過(guò)二次的多項(xiàng)式p2(x),使其滿足如下插值條件P2(x0)=y0,P2(x)=y1,P2(%)=mo解先利用前兩個(gè)插值條件，構(gòu)造一個(gè)1次的插值多項(xiàng)式X-XiX-XgPi(x):yoyixo-X1xi-xo顯然，Pi(Xo)=yo,Pi(x)=yi,定義P2(X)=Pi

28、(X)C(X-Xo)(X-Xi)這里c是一個(gè)常數(shù)，無(wú)論c取何值，插值條件p2(Xo)=yo和P2(k)=yi都能滿足，再利用條件P2(%)=m)確定系數(shù)c,即yi一yo(4.32)c(Xo-Xi)=moXi-Xo從式(4.32)中解出c回代到p2(x),得到x-Xi,x-xo.Ii/y°-yij、/、P2(X)=yo+Vi+(mo-)(x-Xo)(x-Xi)Xo-XiXi-XoXo-XiXo-Xi-類似于定理4.2的證明，可求出插值余項(xiàng)為&(X)=f(X)-P2(x)=(f()(X-Xo)2(x-Xi)3!這里(min(xo,xi),max(xo,xi).例4.4求一個(gè)三次多

29、項(xiàng)式H3(X)使其滿足插值條件H3(xo)=yo,H3(xi)=yi,''H3(Xo)=mo，H3(Xi)=N.解構(gòu)造四個(gè)不超過(guò)3次的插值多項(xiàng)式3。儀),%。)，/),),使它們分別滿足%仇)=i,%(為)=o,%(xo)=o,%(xi)=o；'«%(Xo)=o,%(X)=i,口i(Xo)=o,%(Xi)=o；：o(Xo)=o,：o(Xi)=o,：o(Xo)=i,：o(Xi)=o；：i(Xo)=o,：i(Xi)=o,：i(Xo)=o,：i(Xi)=i.則滿足插值條件的多項(xiàng)式可以寫(xiě)成如下形式H3(x)=%(x)yo二i(x)yi：o(x)m0i(x)mi(4.3

30、3)，一、I2X-Xd一八、一J，._'._.假設(shè)c(o(x)=(Ax+B)l0(x)=(Ax+B),可驗(yàn)證條件豆0(為)=0,豆0(為)=0是、x0xi/自動(dòng)滿足的.現(xiàn)利用另外的兩個(gè)條件二o(xo)=A%B=11：o'(xo)=A2(Ax°B)=0xo-xi求解可得A=2,B=1+-2x0-x0%x。%于是有函數(shù)(4.34)(4.35)x一I；x一x1:0(x)=1-2十同理可得i(x)i_24j£xx°_由-x(假設(shè)：o(x)=(CxD)l0(x)2=(CxD)2、2x-x,、xox1,可驗(yàn)證條件：0(x1)=0,：0(x,)=0是自動(dòng)滿足的.

31、現(xiàn)利用另外的兩個(gè)條件：o(xo)=CxoD=0八八1二o'(xo)=C2(CxoD)=1xo”求可得C=1,D=-x0.于是有函數(shù)：o(x)=(x-xo)xx1<xox,(4.36)同理可得：1(x)=(x-x,)f2x-xo<x1xo)(4.37)將函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。到錯(cuò)誤！未找到引用源。代入式錯(cuò)誤！未找到引用源。，得到插值多項(xiàng)式H3(x)=1-2XX0IIxxi!x0-xi-x0xijy。十口_2)二土三0xlX。-Xi-X。yifq一、XXi+(xX。)m。<x0-xiJX-x0+(x-Xi)m<X1_x0/(4.38)上式稱為三次Hermite插值

32、多項(xiàng)式，其余項(xiàng)為R3(X)=f(X).P3(X)=4/4)()(X-X0)2(X")2這里(min(x0,xi),max(x0,xi).上面介紹了兩種典型Hermite插值問(wèn)題的解法，例4.3將所求的多項(xiàng)式p(x)分解為q(x)+r(x)的形式，q(x)用Newton插值法或者Lagrange插值法確定，r(x)用待定系數(shù)法確定.例4.4采用了每個(gè)點(diǎn)分別構(gòu)造兩個(gè)基函數(shù)，再與該點(diǎn)函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值組合的方法.實(shí)際問(wèn)題可仿照此兩例類似求解.46分段插值在一個(gè)較大的區(qū)間a,b上，如果用只過(guò)兩個(gè)點(diǎn)的線性插值函數(shù)近似f(x),效果顯然不會(huì)很好.為了提高近似效果，一種方法是插入新節(jié)點(diǎn).隨著新節(jié)點(diǎn)的不

33、斷插入，插值多項(xiàng)式的次數(shù)通常會(huì)逐漸增高.節(jié)點(diǎn)數(shù)增多固然使插值多項(xiàng)式在更多的節(jié)點(diǎn)處與被插值函數(shù)有相同的函數(shù)值，但在兩相鄰插值節(jié)點(diǎn)之間，插值函數(shù)未必能夠很好地近似被插值函數(shù)，它們之間甚至?xí)蟹浅４蟮牟町?，即收斂性得不到保證，因此在實(shí)際中很少采用七、八次以上的高次插值.圖4.i所示的是在區(qū)間-5,5上，分別采用五次和十次基于等距節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值，一，一一1八一，多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)f(x)=進(jìn)行近似的情況.不難看出，該近似隨著插值多項(xiàng)式次數(shù)的增加,ix2插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)間震蕩的很厲害.另一種提高近似效果的方法是插入節(jié)點(diǎn)將區(qū)間分成很多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低次插值(一次或二次)，即分段插值方法.分

34、段Lagrange插值設(shè)在區(qū)間a,b上有n+1個(gè)點(diǎn)a=%<Xi<TL<Xn=b,它們將區(qū)間分成了n個(gè)小區(qū)間.若已知函數(shù)f(x)在每個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值分別為yi=f(x)(i=0,1,2，n),在每個(gè)小區(qū)間x_,Xi(i=1,2，n)上做線性插值，最終得到一個(gè)分段線性函數(shù)gi(x).g(x)在每個(gè)小區(qū)間上是線性函數(shù)，在整個(gè)區(qū)間a,b上連續(xù)，且經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)(xi,yi)：4.圖4.1高次插值不穩(wěn)定現(xiàn)象示意圖g1(x)在區(qū)間xij,xi上的具體表達(dá)式為(4.39)x-xixxi4gi(x);yi4yix4-xixixi依口LLagrange插值方法的思路，也可通過(guò)構(gòu)造基函數(shù)的方法來(lái)構(gòu)造g

35、1(x),若點(diǎn)xi上的基函數(shù)*(x)滿足以下條件(1)在每個(gè)小區(qū)間上都是線性函數(shù);0(2)i(xk)=1n則gi(x)可以表示成這些基函數(shù)與函數(shù)值的線性組合，即gi(x)=£y/Pj(x).j回分段線性插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)可以通過(guò)線性插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).定理4.3設(shè)有節(jié)點(diǎn)a=X0<Xi<<Xn=b及相應(yīng)的函數(shù)值yj：衛(wèi)，f"(x)在a,b上存在，g1(x)是基于點(diǎn)集(為,y)：4對(duì)f(x)的分段線性插值多項(xiàng)式，則有插值誤差估計(jì)(4.40)h2R(x)=f(x)-gi(x)<-M8其中h=maxxii“i：<ni,M=maxf(x).a證明根據(jù)

36、式(4.5),在每個(gè)區(qū)間x,x(i=1,2，n)上gi(x)的插值余項(xiàng)為i',R(x)=f(i)(x-x"(x-x)其中-i亡(x工xj.取絕對(duì)值R(x)|=<|f''(I)卜(x-x_L)(x-xi)"i-'',、Ii,、2maxf(x),二(x-xiU)2!x!國(guó)14因此，在整個(gè)區(qū)間a,b上，設(shè)h=maxxi-xia,Mh2R(x)<rmax|R(x)<M8從而定理得證.類似地，可構(gòu)造分段二次插值函數(shù)g2(x).將整個(gè)區(qū)間a,b分成n(n為偶數(shù))個(gè)小區(qū)間,在區(qū)間x2i,x2(i=0,i"-,-i)

37、77;,g?(x)的表達(dá)式為2g?(x)=(x-x2ii)(x-x2i2)(x2i-x2ii)(x2i-x2i-2)y2i(x-x2i)(x-x2i2)zvvy2ii(x2ii-x2i)(x2ii-x2i2)(x-x2i)(x-x2ii)(4.4i)(x2i2一x2i)(x2i2一x2ii)y2i2類似定理4.3證明，可推出分段二次插值的插值余項(xiàng)為R(x)=|f(x)g2(x)<M12_'''其中h=maxx2H2-x2i,M=maxf(x).a魅玄分段插值函數(shù)雖在插值節(jié)點(diǎn)上連續(xù)，但在節(jié)點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)不一定存在，故光滑性比較差.但從整體而言，能對(duì)被插值函數(shù)達(dá)到較好的近似

38、，特別是將區(qū)間劃分的足夠多，足夠細(xì)時(shí)更是如此.分段Hermite插值4.5節(jié)的例4.4構(gòu)造了兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式，結(jié)合分段插值的思想可以構(gòu)造分段三次Hermite插值，即在每個(gè)小區(qū)間x，x上構(gòu)造兩點(diǎn)三次Hermite插值S3(x).相應(yīng)的插值條件為-LS3(xi)=yi(S3(xi)=mi(i=0,12n)在區(qū)間區(qū),為(i=1,2，n)上，利用錯(cuò)誤！未找到引用源。式，將節(jié)點(diǎn)X0,Xi替換為xiJxi就得到分段三次Hermite插值多項(xiàng)式,-2xx-Xi4、2x-x:i一為/、2Yi41-2Xi-X(Xi-X-J、2y(4.42)(x-X4)x-xi1Vxiq一xm-(x-Xi)x一

39、為二Xi-x-miS3(X)具有以下性質(zhì)S3(x)在區(qū)間a,b上是連續(xù)函數(shù)；(2)在插值節(jié)點(diǎn)Xi上,S3(Xi)=yi,G'(x)=B;在每個(gè)小區(qū)間Xi,Xi(i=1,2,n)上，S3(x)是不超過(guò)三次的多項(xiàng)式.雖然S3(x)對(duì)f(x)有著比gi(x),g2(x)更好的近似效果，但構(gòu)造&(x)時(shí)不僅需要每個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值還需要每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，過(guò)多的數(shù)據(jù)要求限制了它在工程上的使用.工程中常采用不需要節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)信息卻依然能達(dá)到二階光滑性的三次樣條插值方法.注7三次樣條插值一、三次樣條插值函數(shù)的定義4；生是區(qū)間a,b上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，若函數(shù)S(x)滿足條件(1)在區(qū)間a,b上S(x)

40、具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)；(2)在每個(gè)小區(qū)間x山x(i=123,，n)上，S(x)是一個(gè)三次多項(xiàng)式；(3)在節(jié)點(diǎn)處滿足插值條件,即S(xi)=y(i=0,1,2,，n).則稱S(x)為f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)ixi的三次樣條插值函數(shù).在每個(gè)小區(qū)間上S(x)是三次多項(xiàng)式，則在每個(gè)小區(qū)間上需要確定4個(gè)待定系數(shù).由于共有n個(gè)小區(qū)間，故在整個(gè)插值區(qū)間上有4n個(gè)待定系數(shù).依據(jù)三次樣條插值函數(shù)的定義，共有如下4n-2個(gè)約束邊界節(jié)點(diǎn)處：1s的+0)="S(xn-0)=f(4)(i=1,23,n1)通常在a,b的邊界上補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件,即飛(為-0)=S(x+0)力也占MjS(x0)=S(xi+0)內(nèi)下點(diǎn)xi處：4

41、“S(xi-0)=S(xi0)S(x戶f(x)要確定4n個(gè)待定系數(shù)，還需附加2個(gè)約束條件.常見(jiàn)的補(bǔ)充條件有以下三種.(1)給定端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值(轉(zhuǎn)角邊界條件)S(x0)=m0,S(xn)=mn(4.43)(2)給定端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值(彎矩邊界條件)，即''''S(%)=M0,S(xn)=Mn(4.44)特別地，當(dāng)M0=Mn=0時(shí)，稱該條件為自然邊界條件.(3)周期性邊界條件廣,'(4.45)S(Xo0)=S(xn-0)Z-，iiS(x00)-S(xn-0)三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造1三轉(zhuǎn)角構(gòu)造算法設(shè)S'(Xi)=B，并利用已知節(jié)點(diǎn)收：衛(wèi)處函數(shù)值得到

42、每個(gè)區(qū)間為,為上的三次Hermite插值多項(xiàng)式.、/x-xi111x-xi/_x-xx-xSi(x)=|1+2|y-|1+2IYi+xi-X(xi一為J|_xi一為-'為一X2*x-x:(x-xA)m一、X一為22x-xiA+(xx)mi為xi,記4=為xi，則上式可以寫(xiě)為(x-x)2H2(x-xy)1(x-xid)2l.hi-2(xi-x)1Si(x)二yiiyihihi/、22/、(x-K)(x-心(x-二)(x-4)12mi.2mlhihi然后利用S''(x)在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)xj；處的連續(xù)性，得到含mJ；旦的n-1個(gè)約束方程.引h.,入記號(hào)計(jì)=一i一，匕=1-叫，則內(nèi)

43、節(jié)點(diǎn)x處基于二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)建立的方程為hihi12miJg1=fi(i=1,n-1)(4.46)這里fi=3'n.+>yiyi.ihi由hi)n對(duì)第一種邊界條件，已知mo和m,可由式(4.46)解出其它的參數(shù)Imjy.對(duì)于第二類邊界條件，由S''(x。)=M0,S''(xn)=Mn得到兩個(gè)附加的約束方程2mom1=3y1-y°-h1M0h12K2n=3ynMnhn2用求解三對(duì)角方程的追趕法解出品.衛(wèi).在區(qū)間xi,xi上，將mi和mi回代就得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在該段上的表達(dá)形式.2三彎矩構(gòu)造算法設(shè)S(X)=Mi(i=0,1,，n),在區(qū)間Xi,Xi上s(X)為線性函數(shù)，即有S，(