常微分方程期中考試題

1、常微分方程期中測試試卷（1）一、填空/dy、n dy 22（） y x = 01微分方程 dx dx的階數(shù)是2若M（x，y）和 N（x，y）在矩形區(qū)域R內是（x，y）的連續(xù)函數(shù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則 方程M（x, y）dx+N（x,y）dy =0有只與y有關的積分因子的充要條件是3 稱為齊次方程 .r（ 5 = f （x, y）4 如果f（x，y），則dx存在唯一的解y =w（x），定義于區(qū)間xx0h上，連續(xù)且滿足初始條件y0 =（xo）,其中h =.5對于任意的（x，yi）, （x，y2）w R （ R為某一矩形區(qū)域），若存在常數(shù)N（N 0）使 ,則稱f（x，y）在R上關于y滿足利普希茲

2、條件.dy 22一二x y6方程dx定義在矩形區(qū)域R： -2x2,-2y2，則經(jīng)過點（0,0）的解的存在區(qū)間是 7若K （t）（i =1,2,.n）是齊次線性方程的n個解，w（t）為其伏朗斯基行列式，則w（t）滿足 一階線性方程8 若xi。=12.n）為齊次線性方程的一個基本解組，x（t）為非齊次線性方程的一個特解，則非齊次線性方程的所有解可表為 9若中）為畢卡逼近序列秘n（x）的極限，則有tp（x）-cpn（x）- 10 稱為黎卡提方程，若它有一個特解y（x）,則經(jīng)過變換 ,可化為伯努利方程.二求下列方程的解dy y,.31 dx x ydy=x y22 求方程dx經(jīng)過（0,0） 的第三次近

3、似解.蟲=y23 討論萬程dx , y（1） -1的解的存在區(qū)間（包）2y2 -1 =04求方程dx的奇解,1、，1(cos x )dx ()dy =0y y2 2ysinx = cosxsin2 x232(2xy2 -3y3)dx (7 -3xy2)dy =0證明題1試證：若已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等積分法求它的通解dyP(x)y Q(x)2試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明：一階線性方程dxP(x) , Q(x)在L,上連續(xù)時,其解存在唯一填空題1八MFN、，-1、,，、()()=(y)二 y二 xMdyyg(一)形如dxx的萬程在r上連續(xù)且關于y滿足利普希茲條件f(x,y1

4、) - f (x, y2) EN y1 一 y2b、 h = min(a,) m10-1wa1(t)w = 0n(n 1)!業(yè)=p(x)y2 q(x)y r(x)形如dx的方程求下列方程的解y =z y另外dx解：dyy = 0也是方程的解，則 x = ey (fy2e y ,dy+c)所以3yx 二 一 cy22 解：Q(x)=0；(x)：02 (x) dx = 1x22：2 (x) = x 12 (x) dx =;：3 (x) = x + q、：22(x)dx =1 2x21 2-x21 5x201 5一 x20111x4400x8160dy-23 解：y=dx兩邊積分所以方程的通解為故過

5、y=1的解為-1y =x c-1y 二；x -2通過點（1,1）的解向左可以延拓到-七，但向右只能延拓到2,所以解的存在區(qū)間為（一二,2）4 解：利用p判別曲線得卜2 +y2 -1 = 0. 2P=0所以方程的通解為消去p得y = sin( x c)=1 即 y = 1所以y=1是方程的奇解FM5 解：y =:N-2:x =7：M 泊6y=Fx,所以方程是恰當方程.cosxy1+ y x 2 yx .=sin x (y)y.:u:y2=-xy+ yoX0必為一如或+ 8參考答案：1 .辨別題(1) 一階，非線性(4)三階，非線性(2) 一階，非線性(5)二階，非線性(3)(6)2.填空題(1)

6、 .y =k二，k =0,_1,_2,(2) .(3) .3 .單選題(1) .4 .計算題x0M (x, y)dx Nd, y)dy =0yo(4) .C (3) . A (4).(5)四階，線性一階，非線性C/y/x) - y2(x) y(x)y。Xo - 一， y0 xy y.A(6) . B 7. A當y 00時，分離變量得dy = y 等式兩端積分得x , 7 dx1 x2ln=；ln(1 x2)In C即通解為(2).解齊次方程的通解為3xy =Ce令非齊次方程的特解為y =C(x)exC(x) =1e5x C 代入原方程，確定出5原方程的通解為1 2x 3x - e y=Ce +

7、5網(wǎng)=2xy=W(3) .解 由于方 ,所以原方程是全微分方程.取(x0, y0) = (0, 0),原方程的通積分為X ,32、，y 3 , 八0 (x xy )dx 0 ydy = Ci4224 c即 x 2x y y = Cduy = u x (4) .令y =xu ,則dx ,代入原方程，得du2 du 2u x 二 uux =udx, dx當u #0時，分離變量，再積分，得u x1_1lnx+C u=帚7C u ,x即:In x + C5.計算題令y =p,則原方程的參數(shù)形式為ix = 一 十 In pPy=Pdy，一，一二y ，由基本關系式dx ,有ii、，idy = ydx =

8、p一一 )dp = (i )dpP Pp積分得 y = p -ln p . C 得原方程參數(shù)形式通解為x 二1 In p, pj = p -In p +C5 .計算題解方程的特征根為=0, %=5 5x齊次方程的通解為y = G . C2e因為“士iP = -5i不是特征根。所以，設非齊次方程的特解為y1(x) =Asin5x Bcos5x 代入原方程，比較系數(shù)得-25A+25B =125A25B = 0A.工確定出 50 ,B505x 1 _. _ .=C1 C2e(cos5x -sin5x)50、， y原方程的通解為6 .證明題證明 由已知條件，方程在整個 xoy平面上滿足解的存在唯一及解

9、的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠。(2分)又由已知條件，知 y=y是方程的一個解。(4分)lim y(x)= y0假如方程的非常數(shù)解 y = y(x)對有pM值x0有 T0，那么由已知條件，該解在點(x0, y。)處可向x0的右側(或左側)延展.這樣，過點(x0, y0)就有兩個不同解y = y0 和y = y(x).這與解的唯一性矛盾，因此x0不能是有限值.常微分方程期中測試卷（3）一、填空1 .形如 稱為變量可分離方程，它有積分因子。2 .當 時，方程M （x, y dx + N（x, y dy = 0稱為恰當方程，或全微分方程。且它只含x的積分因子的充要條件是 。有

10、只含y的積分因子的充要條件是O3 .稱為伯努利方程，它有積分因子dy _ a1x +b1x +c1xai一,4 .方程 dxa2x +b2x +c2x 當 cibidi: 0時，通過,可化為奇次方程;a當cid1 時，令u =,化為變量分離方程。5 . 稱為黎卡提方程，若它有一個特解y（x）,則經(jīng)過變換 ,可化為伯努利方程。6 .函數(shù)f（X，y麻為在矩形域R上關于y滿足利普希茲條件，如果存在常數(shù)L0,使儀x, yi ）（x, y2戶R ,使不等式。.dy f x,y7 .如果f（x，y）,則dx存在唯一解 y = 邛（xj定義dy = f x, y8.設y =w(x)是方程dx 于區(qū)間x-x0

11、 -h,連續(xù)且滿足初始條件y0 =*（x0）其中h =的定義于區(qū)間x0 w x * x0 + h上，滿足初始條件V。= （x。）的解，則y =邛（x ）是積分方程 的定義于x0 - x - x0 + h上的連續(xù)解9 .微分方程的某一個解稱為奇解，如果,也就是說奇解是這 樣的一個解，在它上面的每一點唯一性都不成立。dy =i ln x10 .方程dx滿足條件y）=。的解的存在區(qū)間是二、求解下列方程的通解dy* = x i3i、dx x i2、2xydy = 2y2 -xdx3、 y -i -xy dx xdy = 04、y2(yi )= Q y2x dy - 2yi dy 4x =。5、dx d

12、xdy y 2=6- - xy6、dx x三、計算求初值問題/dy _ 22Jdx -X -y R： x +1| 1, y 1y -1 =0四、證明1、假設 方；:MN x, y y -程 M x, y dx N x, y dy = 0:Nx =Nf(x )Mg(y),其中 f(x)，g(y)M x, y分別為X,y的連續(xù)函數(shù)，試證f(x)dxg(y)dy此方程有積分因子N=e答案一、填空f1、 dx三M x, y!、y.:M x, y FN x, y：:N x, y.x3、注: 7-Mdy =pxy qxyndxu =3en,pxdxyn4、5、坐標平移ax.b1ydx :pxy2 qxy

13、rx y = yx z6、f (x, yi )- f (x, y2 K Lyi - y27、在r上連續(xù)且關于y利普希茲條件xFM x, y FN x, y8、9、二、通求解dy1、解：dx x+2y +(x +1 3為一階線性方程p(x)-x+2 q(x)=(x+13 代入公式，得y = y0 f x, ydxx0在這個解的每一點上至少還有方程的另外一個解存在10、0 :二 x :二2、解:y =(X +1，-X2 + X + c 方程的通解為22_2_dy2y-x2 2二二一y- |dx x x為一階線性方程2px) q(x)=122所以方程的通解為y =x .cx代入公式，得x2； -xd

14、x c =x2x3、解：(y-1xy dx+xdy =0兩邊同日乘以e,，方程為恰當方程e y -1 -xy dx xedy = 0-xxxxe ydx - e dx - xye dx xe dy = 0_xxxe dxy xyde de =0dxye* de =0-x .-x所以方程的通解為xye e .c =04、解：令5、解：令y=p,得到 y = yt則原方程消去y后，有寸一 1dt1 2 2*2y=-tdy-y(1一yt)=yt 由此，得 丫 tdy _卜2 dx 9 dty =1 ty t21 ,1x=一虧 dt c=- c所以 tt11x =一 十c故原方程的通解為2xp兩邊對x

15、求導，得32 .p dx =xp dp 4 pdx -4xdpp2 pdx - xdp =4 pdx-xdp當 pdx -xdp #0時2p =4 p = 2 則 y = =2xpdx - xdp當 pdx - xdp = 0 時xp=0積分，得x一 =c px-p =把 c代入，得2xy =2c222c 2cy = x 4c6、解：這是n =2時的伯努利方程。令 z= ydz 2 dy-y得dx dx 代入原方程得到dzdx6-z xx這是線性方程，求得它的通解為代回原來的變量y,得到68x x此外, 三、計算二c8這就是原方程的通解方程還有解 y = 0= maxf (x,y)= 4 則/

16、1x +1 E h = min a所以所以解的存在區(qū)間為0 x =0x1 x = x2dx1 x中2(x)= fix-1C 3-x312d1x631 4 x 18x9 -11 3=x3討17- x611 ,- x18x衛(wèi)42- 2y 三 2 = L_ 24* 222 x - 0 x 2 1!13 4.1_2一 24誤差估計為24M四、2.證明：由于 可.;:M=r1：:yFM：:y 可 e、 f (x)dx- |g (y)dy e|f (x)dx-|g(y)dy M -：:yf (x) dx -|g (y) dyeFMy Mg(y)f(x)dxg(y)dy改:N二 N一 FXIf (x)dx

17、-|e、|f (x)dx -|g( y)dyg(y)dye+N ：x(-:x +N故-y:x =e|f (x) dx-|g(y)dyf(x)：:M:：y +Mg(y)-x - N f(x)又已知：y - ;:X = N f(x)- M g(y)所以-:yf (x)dx，,(.:x=ey)dy- 0=0X 出 f(x)dx-g(y)dy即 a = a，故此題中 e=& 是方程 M(x,y dx + N(x,y )dy = 0常微分方程期中考試試卷(4)、填空題dy 方程dx2 .一=x tan y的所有常數(shù)解是2.3.4.方程x(y2 -1)dx+y(x2 -1)dy =0的常數(shù)解是一階微分方程

18、的一個特解的圖像是 方程y * + y = 0的基本解組是 、選擇題維空間上的一條曲線.1. n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是(A)2.李普希(B)n-1(C) n+1茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的(A)充分dy3 .方程dx(A) 一dy4 .方程dx(A)有一個(B)必要=J-y2過點2(二，1)(B)無數(shù)二，y x x(B)有兩個dy _y沁5.萬程dx 的奇解是(A)y =x (B)y三、計算題22 x y1.x y =+y2.tgydx-ctydy=03.(x 2y)dx -xdy = 04.dy = y 1dx x5.ydx (y3 ln x)dy = 0 x

19、四、求下列方程的通解或通積分1.2.3.dyy 一dxdydxdydx= x(1 -y2)y ,y、2 二-(-)(C)充分必要)個.(D n +2)條件.(D)必要非充分3y2x二e共有()個解.(0兩)奇解.(C)無(D)(D)有無數(shù)個)=1(C) y試卷答案一、填空題1 y=kn k=0, 1,土2,2. y = 1 , x = 13.24. cosx , sin x二、選擇題1 .A 2.B 3.B 4.C 5.D 三、計算題 ” yy1. 解：將方程改寫為 yJ x +x (*) 令u= x ,得到 y =xu +u,則(*)變?yōu)閐u x dx =)1 u ,變量分離并兩邊積分得ar

20、csinu=ln u +lnC,故方程的解為_yarcsin x =lnCx。2. 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)=-ln cosx+C或 sinycosx=C(*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k 兀(k=0、1)，x=t n + 2(t=0、1)也 是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)當C=0時的特殊情況，故原方程的解 為 sinycosx=C 。3 .方程化為”=12?dxxdyduu x一令y =xu ,則dxdx ,代入上式，得du x一dx分量變量，積分，通解為u = Cx -1原方程通解為y 二 Cx2 - x

21、4 .解 齊次方程的通解為y = Cx令非齊次方程的特解為y =C(x)x代入原方程，確定出C(x) =1nx C 原方程的通解為y =Cx + xlnx：:M _ 1 _ ：:N5 .解 因為勾 x 取，所以原方程是全微分方程 取(x0, y0) = (1,0),原方程的通積分為x y y 3141 *dx 0 ydy =C yln x y =C“x 0即4四、求下列方程的通解或通積分1.解當y1時，分離變量得y ,2dy = xdx1 - y等式兩端積分得dy = xdx C1二1x2 C1 - y2 = Ce 方程的通積分為y2 =1 -Ce2 _x2_x2C = eC1y = u x2

22、.解令y =xu,則duduu x二udxdx，代入原方程，得du 2x- = -udx當u #0時，分離變量，再積分，得du.一2udx Cx即通積分為:ln x + Cln x C3.解 齊次方程的通解為3xy = Ce令非齊次方程的特解為y =C(x)ex代入原方程，確定出 原方程的通解為C(x)1 5x二一e C51 2x 3x -e y = Ce +5常微分方程期中考試試卷（5）解下列方程,22y x y .1. 1. x y =+y2. 2.tgydx-ctydy=022x2 + y2 1y2dy=03. 3.y-x( x + y )dx-xdy=04. 4. 2xylnydx+d

23、y y25. dx =6 x -x y6.y =2(x y -i)2x7.已知f（x） 0 f （出=1,x =0,試求函數(shù)f（x）的一般表達式。8.一質量為m質點作直線運動，從速度為零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為） 的力作用在它上面，此外質點又受到介質的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）o試求此質點的速度與時間的關系。二.證明題1 . 證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的通解。12 .試證：在微分方程 Mdx+Ndy=0中，如果M N試同齊次函數(shù)，且xM+yM 0,則（xM * yN ） 是該方程的一個積分因子。試題答案： 解下列方程y令u= x ,

24、得到x y =x u + u,則(*)變arcsinu=ln u +lnC,故方程的解為iy2解：將方程改寫為y J x + x （*）du 為x dx J1 -u ,變量分離并兩邊積分得y2.arcsin x =lnCx 。sinycosx=C （*） 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k n（k=0、1 ），x=t 兀 + 2（t=0、 1）也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是（*）當C=0時的特殊情況，故原方程 的解為 sinycosx=C 。22223.解:ydx-xdy-x(x + y )dx=0,兩邊同除以x + y得ydx -xdy22x y -xdx=0,

25、即 d(arctg412y ) 2 d x =0,故原方程的解為個12arctg y - 2 x =Co.:M FN：:MFN5一7x2xln y 工4.解：力=2xlny+2x , y =2x,則 -M=-2xylny=_ y ,故方3y1程有積分因子“(y)= e y = y , 22 -22xy In y x y 1 yy dx+ y dy=0是恰當方程.d(原方程兩邊同乘以 y 得2x lny)+y2丫 dy=0,兩邊積分得方2程的解為x lny+12 231 y2 =c代回原來的變量y得方程解為y =x5 6y=0.2/ v )dv 2 |6.解：令x=u+3, y=v -2,可將原

26、方程變?yōu)閐u = u vz 2z1 Z2v 曰 udz 211+ZJudz(1+Zj再令Z= u ,得到z+ u = I z ，即 u =1 12.J - +2 dz _ 理分離變量并兩端積分得lZ 1 + Z 1 = u +lnC即 ln z +2arctgz= ln u +lnC ,lnzu=-2arctgz+lnCv Narctg- u 代回原變量得v=ce所以，原方程的解為 y+2=ceNarctg y_2 x -37.解：令 f(x)=y , f (x)=x0f出=y,即11 3dyy =dx,兩邊求積得i,兩邊求導得i2y =2x+C,-1y二y,從而 y= J2x *C ,故 f

27、(x)=土一.一一 .2x Cdv8. 解：因為 F=ma=mdt ,又 F=F1 - F 2=k1t- k2v,dvdv 一 一即 mdt =ktk2V(v(0)=0),即 dt =k1t k2V(v(0)=0),m ,.解得 v= k 2 e +k 2 m1).二、證明題1.解：1）先找到一個特解 y= y 。2）令y= y +z,化為n=2的伯努利方程。證明：因為y= y為方程的解,dx所以 dx =P(x) y2+Q(x) y +R(x) (1)令y= y +z,則有 d y dzdx +dx = P(x) 1 dz(yz) +Q(x) (y Z)+r(x)(2)(2) -(1)得 d

28、x = P(x) dz(2 yz z2 ) +Q(x)z2即 dx =2P(x) y +Q(x)z+P(x) z此為n=2的伯努利方程。2.xMI M I N:y xM yN ； x xM yN =M y(xM yN) -M(xM y N yNy) Nx(xM yN)-N(xM x M yNx)(xM yN)2(xM yN)2M(xNx yN)-N(xM x yNy)=一(xM yN)2M (nN) -N(nM )=(xM +yN)2=0.故命題成立。常微分方程期中考試試卷(6)一、計算題.求下列方程的通解或通積分1 (x 2y)dx - xdy = 0 .dx (y3 ln x)dy = 0

29、2. xydy =x(1 - y2)3. dxdy Q 2x 3y = e 4. dx5 (x2ey - y)dx xdy = 026 (2xy - cosx)dx (x - 1)dy=07 y = xy(y )2二、證明題dy8 .在方程dx y y中，已知f(y),中(x)在(_o0, *)上連續(xù)，且*(1) = 0.求證：對任意x0和V。1 ,滿足初值條件y(x = y0的解y(x)的存在區(qū)間必為(-0, +).9 .設中(x)在區(qū)間(0，*)上連續(xù).試證明方程dy = (x) sin y dx的所有解的存在區(qū)間必為(一二，,二)且 yi(x), y2(x)是x0匚1 ,則在區(qū)間I上必有

30、10 .假設方程=)在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件,定義在區(qū)間i上的兩個解.求證：若yK%) 丫2(%),y1(x) y2(x)成立.答案：1。解方程化為dy d.o y 二1 2 dxxdyduu x一令y =xu ,則dxdx ,代入上式，得dux - dx分量變量，積分，通解為u = Cx -1原方程通解為y = Cx2 一 x；:M1；:N2 .解因為ax詼，所以原方程是全微分方程.取(x0，y。) =(1,0),原方程的通積分為yIn x y4 = C即43.解當y01時，分離變量得y ,2dy = xdx1 - y等式兩端積分得y ._2 dy = xdx C11 -y1 . -In 1 - y2= 1x2 Ci1 -y2 =Ce方程的通積分為2