小波變換的理解

1、由于小波變換的知識(shí)涵蓋了調(diào)和分析，實(shí)變函數(shù)論，泛函分析及矩陣論，所以沒有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很難學(xué)好小波變換.但是對(duì)于我們工科學(xué)生來說，重要的是能利用這門知識(shí)來分析所 遇到的問題.所以個(gè)人認(rèn)為并不需要去詳細(xì)學(xué)習(xí)調(diào)和分析，實(shí)變函數(shù)論，泛函分析及矩陣論等數(shù)學(xué)知識(shí).最重要是的理解小波變換的思想！ 從這個(gè)意義上說付立葉變換這一關(guān)必需得過！ 因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的基礎(chǔ)知識(shí)在付立葉變換中均有提及，我覺得這也就是很多小波變換的書都將付立葉分析作為其重要內(nèi)容的原因.所以我認(rèn)為學(xué)習(xí)小波應(yīng)從數(shù)字信號(hào)處理中的付立葉分析開始.當(dāng)然也可從信號(hào)與系統(tǒng)這本書開始.然后再看楊福生老師的小波變換書.個(gè)人覺得他的書最能為工科學(xué)生所接受.2信號(hào)

2、的分解付立葉級(jí)數(shù)將周期信號(hào)分解為了一個(gè)個(gè)倍頻分量的疊加，基函數(shù)是正交的，也就是通常所說的標(biāo)準(zhǔn)正交基.通過分解我們就能將特定的頻率成分提取出來而實(shí)現(xiàn)特定的各種需要，如濾波，消噪等.付立葉變換則將倍頻譜轉(zhuǎn)換為了連續(xù)譜，其意義差不多.小波變換也是一種信號(hào)分解思想：只不過它是將信號(hào)分解為一個(gè)個(gè)頻帶信號(hào)的疊加.其中的低頻部分作為信號(hào)的近似，高頻部分作為信號(hào)的細(xì)節(jié). 所謂的細(xì)節(jié)部分就是一組組小波分量的疊加，也就是常說的小波級(jí)數(shù).3小波變換的時(shí)頻分析思想付立葉變換將信號(hào)從時(shí)域變換到了頻域，從整體上看待信號(hào)所包含的頻率成分.對(duì)于某個(gè)局部時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間段上信號(hào)的頻譜分析就無能為力了，對(duì)于我們從事信號(hào)的奇異性檢測的

3、人來說，付立葉變換就失去了意義 （包括加窗付立葉變換）.因?yàn)槲覀円业氖切盘?hào)的奇異點(diǎn)（時(shí)域方面）和奇異點(diǎn)處所包含的頻帶（頻域方面）也就是說需要一種時(shí)頻分析方法.當(dāng)然能有純時(shí)域的分析方法更好！（據(jù)說數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)能達(dá)到這種效果）.小波變換之所以可以檢測信號(hào)的奇異點(diǎn)，正在于它的"小”.因?yàn)橛眯〉牟ㄈソ破娈愋盘?hào)要比正弦波要好的多. 4小波變換的實(shí)質(zhì) 小波變換的公式有內(nèi)積形式和卷積形式，兩種形式的實(shí)質(zhì)都是一樣的.它要求的就是一個(gè)個(gè)小波分量的系數(shù)也就是"權(quán)".其直觀意義就是首先用一個(gè)時(shí)窗最窄，頻窗最寬的小波作為尺子去一步步地"量"信號(hào)， 也就是去比較信號(hào)與

4、小波的相似程度.信號(hào)局部與小波越相似，又去一步步地比則小波變換的值越大，否則越小！當(dāng)一步比較完成后，再將尺子拉長一倍,較， 從而得出一組組數(shù)據(jù)如此這般循環(huán)，最后得出的就是信號(hào)的小波分解（小波級(jí)數(shù)） 然這只是一種粗略的解釋5連續(xù)小波變換，二進(jìn)小波變換與離散小波變換的關(guān)系當(dāng)尺度及位移均作連續(xù)變化時(shí)，可以理解必將產(chǎn)生一大堆數(shù)據(jù)，作實(shí)際應(yīng)用時(shí)并不需要這么多的數(shù)據(jù)，因此就產(chǎn)生了離散的思想將尺度作二進(jìn)離散就得到二進(jìn)小波變換，同時(shí)也將信號(hào)的頻帶作了二進(jìn)離散當(dāng)覺得二進(jìn)離散數(shù)據(jù)量仍顯大時(shí)，同時(shí)將位移也作離散就得到了離散小波變換！6 MALLAT 算法的意義想必大家都注意到，小波變換是以內(nèi)積或卷積的形式實(shí)現(xiàn)的，這

5、給數(shù)值計(jì)算帶來了不利之處，因?yàn)橛糜?jì)算機(jī)作數(shù)值積分其計(jì)算量大MALLAT 算法則解決了這一問題，它不涉及小波的具體形式，只是對(duì)系數(shù)進(jìn)行操作！其計(jì)算也就是用高通及低通濾波系數(shù)與小波系數(shù)作卷積因?yàn)樽餍盘?hào)處理時(shí)，我們往往并不關(guān)心小皮的具體形式，更為關(guān)心小波系數(shù)需提出的是該算法僅適用于正交小波如果小波不是正交的（如B樣條小波）則算法失效！7小波變換的模極大值及其意義對(duì)于我們搞信號(hào)奇異性檢測的人來說，小波變換最重要的應(yīng)用就是用模極大值定值奇異點(diǎn)我覺得模極大值可以從兩個(gè)方面去理解：第一，從直觀角度，上文已說明小波變換的實(shí)質(zhì)就是一種度量波形相似程度的方法信號(hào)與小波越相似，則小波系數(shù)越大這也就可理解為出現(xiàn)了小波

6、變換的模極大值因?yàn)楫?dāng)信號(hào)出現(xiàn)奇異點(diǎn)時(shí)，或是間斷點(diǎn)，或是一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)點(diǎn)， 其在各個(gè)尺度下都將必然出現(xiàn)大的小波系數(shù)從而可以定位奇異點(diǎn)！第二個(gè)方面從小波的取法來看，當(dāng)小波取為光滑函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，從公式可以推導(dǎo)出小波變換將出現(xiàn)模極大值點(diǎn)或是過零點(diǎn)也就是很多書上說的模極大值檢測和零交叉檢測這些可以查書看！我只談?wù)勥B續(xù)小波變換，對(duì)于離散的也有同樣的argument 。小波函數(shù)的dilation 和translation 是這樣一個(gè)形式：1/sqrt|s|psi （ （x-u）/s ） ， s 是 scale ， u 是該小波atom的 center 。由于根據(jù)定義，小波的積分是0 ，也就是說小

7、波函數(shù)的傅立葉變換在零點(diǎn)為零。再有于小波函數(shù)的傅立葉變換一般是連續(xù)的（比如如果小波是屬于L_1 的），這樣在0 的一個(gè)小臨域小波的傅立葉變換很接近零，這也就是說小波函數(shù)的傅立葉變換可以看成某個(gè)高通濾波器的 transfer function ， 這樣小波變換W（ f） 實(shí)際是在measure 該函數(shù) f 在 u 點(diǎn)附近的 variation 。從這個(gè)角度看的話，如果小波的寬度很大（對(duì)應(yīng)尺度s 很大），該函數(shù)在該小波的窗口下的variation 就很大；如果小波的寬度小（對(duì)應(yīng)尺度s 小），則函數(shù)在該小波的窗口下的variation 就相對(duì)比較小（除非信號(hào)是fractal ，呵呵）。小波情結(jié)到了小

8、波版很久，總覺得應(yīng)該寫些什么。這篇文章也就獻(xiàn)給那些所有正在研究或即將研究小波的同學(xué)、老師和科研人員們。這是篇與技術(shù)無關(guān)的文章，撰寫的是我對(duì)小波的感受。從我開始接觸小波，研究小波，到迷戀小波的真實(shí)記錄。因此， 我把它起名叫小波情結(jié)。剛開始，接觸小波的時(shí)候在研一。關(guān)于老師布置的從頻域構(gòu)造一種小波的作業(yè)開始。后來我才知道，這種小波本質(zhì)上就是meyer 小波。當(dāng)時(shí)，就一個(gè)字，嫩。實(shí)際上就是對(duì)小波毫無所知。腦子里就是一疊的公式。正交條件，容許條件等一大堆，與概念理解相差甚遠(yuǎn)的東東。但，還是樂此不疲的編程?？傁肟纯?，我親手締造的小波長的是什么樣，也有些略帶孩子氣的，想把它作為桌面和自己的酷酷頭像之類的欲望

9、。于是，十一的頭三天，我基本上閉門造車。當(dāng)時(shí)，我用的是matlab ，也是我最后得到哭笑不得結(jié)果的直接的助手與幫兇。因?yàn)闃?gòu)造的過程的起始，我就把函數(shù)離散化了。緊接著就是平移，對(duì)乘，積分，抽取，插值，dsp 里的一套 trick 把我搞得叫苦不迭。程序也累計(jì)到了1000 行左右。當(dāng)時(shí)，最可恨的就是對(duì)點(diǎn)，由于 dsp 下標(biāo)的 1 ， 2， 3 離散化，所以我也就用手指開始傻傻的算。連續(xù)幾天晚上鏖戰(zhàn)，終于在 3 號(hào)的晚上。通過IFFT 后，美妙的波形出來了。注意，美妙和丑陋只有一步之遙。這是我的對(duì)小波的第一課體會(huì)。當(dāng)我一看屏幕，瘋了，徹底瘋了。一個(gè)DELTA 函數(shù)類似的波形， 就在我眼前。心想： 忙

10、乎了三天，整了個(gè) DELTA 函數(shù)出來。這難道就是回報(bào)嗎？別急，小波是緊支撐的啊。概念上對(duì)頭，一定是取點(diǎn)的問題。我便拿起MATLAB 自帶的照妖鏡（放大鏡）一看，呵呵，一個(gè)差強(qiáng)人意的波形就在我眼前了。我當(dāng)時(shí)大喊一聲，爽，那時(shí)已經(jīng)凌晨 2:00 。第一次的經(jīng)歷，對(duì)我來說收獲很豐。然后，第二次挑戰(zhàn)，則是徹底改變我對(duì)小波是個(gè)深不可測的家伙的看法。這次作業(yè)，就是用剛才構(gòu)造的小波，做消噪。我這次，又一次的想起，愛情格言：我心靈的古堡經(jīng)不起你輕輕的一擊。女生問：結(jié)果呢？回答：碎了。一個(gè)如此，不精確的波形，怎么能消噪呢？而且，當(dāng)時(shí)老師要用連續(xù)小波的方法。也就是內(nèi)積求和的方法。我和同學(xué)，首先合作，用mathm

11、atic 做了個(gè)好一點(diǎn)的波形。因?yàn)?，除最后一步，反傅里葉變換外，其他都是解析的。然后，一個(gè)困擾我許久的問題產(chǎn)生了。一個(gè)函數(shù)可以由無窮多個(gè)小波的膨脹和伸縮疊加起來。那么，我把函數(shù)從-inf 到 +inf 積分，假設(shè)函數(shù)有直流分量， 所以積分不為零。但是小波，積分卻為零。這不是矛盾嗎？后來，也就是研二我才知道，有些時(shí)候積分后不可以交換。還有，其實(shí)有限的小波逼近，必須加上尺度函數(shù)才可以。但當(dāng)時(shí)， 我們只是采用了把小波的支撐取寬的辦法解決了此問題。但， 我由于不太喜歡這種方法的冗長和費(fèi)時(shí)，所以想令辟蹊徑。于是，mallet 一個(gè)令我崇拜的算法，終于在我閱讀超星的時(shí)候，跳在了我生命里。首先，便是看冗長的

12、證明，勉強(qiáng)理解了。當(dāng)看到濾波器組的解釋后，我開始豁然開朗。這是我熟悉的dsp 概念。因此，我花了一晚上，把這個(gè)算法徹底搞懂了。但概念的理解和程序的成功編制，還是有一小步，就是這一步，使無數(shù)英雄竟折腰。我的幸運(yùn)之神便是MATLAB 里的 DEMO 。那個(gè)里面，有一個(gè)詳細(xì)的算法解釋。并且從哪里我知道了些怪怪的函數(shù)。WKEEP(),DYADDOWN(),DYADUP() 等等。而且，又一個(gè)問題，理論和實(shí)際差別產(chǎn)生了。這個(gè)問題甚至現(xiàn)在，還困擾著很多的小波工作者。一個(gè)長度為100 的信號(hào)，分解后理論上高頻 50, 低頻 50 。但用卷積算法，假設(shè)濾波器長度為10 。因此總長度109 ，做抽取后長度 55

13、 。多了5 。這怎么辦呢。我去問了很多老師，回答都一樣。就是MATLAB 里用的函數(shù)WKEEP() 。把兩頭丟掉。當(dāng)時(shí)我勉強(qiáng)接受了這個(gè)結(jié)果。但始終有個(gè)概念，小波變換就是正交變換，它和傅里也變換一樣，一定可以寫成正交陣的形式。第二次作業(yè)的完成，我的小波課結(jié)束了。但我的小波情結(jié)還在繼續(xù)。關(guān)于，正交陣的猜想還在困擾著我。一本電磁場和小波結(jié)合的外文書籍，幫助了我。圓周卷積的概念，歷歷在目。是呀， 卷積對(duì)著傅里葉變換，而圓周卷積對(duì)應(yīng)著離散傅里葉變換。這就是連續(xù)與離散的區(qū)別和聯(lián)系啊。于是我用db 小波，構(gòu)造了一個(gè)完全正交的矩陣。當(dāng)我把這個(gè)矩陣和它的轉(zhuǎn)置相乘的時(shí)候，單位陣出來了。那天，我高興得流淚。最終，我

14、把圓周卷積用快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)出來。今后的日子，我便覺得，思維的水再也關(guān)不住了。步步為營，我實(shí)現(xiàn)了db 小波的時(shí)域構(gòu)造，采用矩陣特征向量法和casade 理論兩種解法，我都成功了。慢慢的我開始醉心于消失矩，開始懂得框架，開始懂得雙正交。然后就是，PR 條件，二代小波，小波插值，因子化，等等。于是，我也在研學(xué)一邊和大家交流，一邊閱讀大量書籍和文獻(xiàn)，而且實(shí)現(xiàn)里面的每一個(gè)例子和思想。當(dāng)我們還在覺得自己懂點(diǎn)小波的時(shí)候，美國人已把它用于指紋壓縮，產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益；當(dāng)我們，還在對(duì)二代不屑一顧的時(shí)候，一個(gè)叫JPEG2000 標(biāo)準(zhǔn)的東東，徹底給我們上了一課。當(dāng)我們，還在國家著名期刊上，打著錯(cuò)誤的提升

15、公式的時(shí)候，當(dāng)我們，還在為些不值一提的程序保密的時(shí)候，一個(gè)叫各相異性小波的東東又開始蠢蠢欲動(dòng)?？纯茨切┐髱焸儼桑纯此麄兊膽B(tài)度，再看看我們，我們努力的夠嗎。你說看不懂文獻(xiàn)，我就要問你，你看了一遍，十遍，還是一百遍呢？如果說你認(rèn)為是高手，你是否寫了超過10 萬行以上小波的代碼，看了10 本以上的書，100 篇的文獻(xiàn)，實(shí)現(xiàn)里面所有的例子和思想了呢。我們差得很遠(yuǎn)。但是我們服氣嗎，我們認(rèn)輸了嗎，我們不再努力了嗎。什么時(shí)候有中國的JPEG2008 呢，什么時(shí)候我們能毫無保留的進(jìn)行坦誠的交流和無私的分享呢，什么時(shí)候我們把學(xué)術(shù)的銅臭撥掉，把做小波看成一次和上蒼對(duì)話的機(jī)會(huì)，和真理的交鋒呢。我始終在問自己這些問題。為關(guān)于學(xué)術(shù)的單純的問題。我找到了答案。在研學(xué)上。因此，我毫無保留的幫助大家，同時(shí)也在修正自己。我開始變得勤奮，開始編每個(gè)需要的程序，而基本上不用