級數(shù)斂散性的判別方法論文 終稿

1、級數(shù)斂散性的判別方法論文 終稿 淮北師范大學信息學院 2021 屆學士學位論文 級數(shù)斂散性的判別方法 系 別: 數(shù)學系 專 業(yè): 數(shù)學與應用數(shù)學 學 號: 20211884083 姓 名: 趙 高 指 導 教 師:陳冬君 指導教師職稱:講 師 2021年 5 月 10 日級數(shù)斂散性的判別方法趙 高淮北師范大學信息學院,淮北,235000摘 要 級數(shù)有很多重要的性質(zhì),其中斂散性是級數(shù)的一個非常重要的性質(zhì),斂散性的判別方法也一直是人們研究的熱點.通過判別級數(shù)的斂散性進一步了解級數(shù)的性質(zhì).本文探論了正項級數(shù)、交錯級數(shù)以及任意項級數(shù)斂散性的判別方法,正項級數(shù)、交錯級數(shù)、任意項級數(shù)通項的多變性,決定了判

2、別正項級數(shù)、交錯級數(shù)、任意項級數(shù)斂散性的方法會有多種,主要有達朗貝爾判別法、柯西判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法.當然由于通項的特殊性也會有特殊的方法判別.本文通過歸納一些判別正項級數(shù)與交錯級數(shù)斂散性的方法,讓人們在學習過程中對級數(shù)斂散性的判別能夠很好的把握,并掌握這些判別法成立的條件. 關(guān)鍵詞:正項級數(shù)、交錯級數(shù)、斂散性、判別法.The Convergence of the Series of Discriminant MethodZhao GaoCollege of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,2

3、35000AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This artic

4、le of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the c

5、onvergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some cri

6、teria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.Key words:Series of positive terms,Alternating series,Convergence and divergen

7、ce,Discriminant analysis method目錄引言1一、級數(shù)及其斂散性的有關(guān)概念1二、正項級數(shù)斂散性的判別方法21、比式判別法(達朗貝爾判別法)22、根式判別法(柯西判別法)33、拉貝判別法44、高斯判別法55、對數(shù)判別法56、隔項比值判別法57、運用微分中值定理判別級數(shù)斂散性68、利用數(shù)列判別級數(shù)的斂散性69、運用等價無窮小替換判別級數(shù)的斂散性7三、交錯級數(shù)斂散性的判別方法81、利用級數(shù)斂散性定義判定82、萊布尼茨判別法93、極限判別法104、添加括號法115、通項變形法126、微分形式判別法137、比值判別法或根值判別法14四、任意項級數(shù)斂散性判別法15總 結(jié)16參考文

8、獻16致 謝17 引言 級數(shù)是數(shù)學的一個重要組成局部,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)值計算的一種工具.對于一個級數(shù),我們首先要討論其斂散性,然后才討論其求和問題.本文就級數(shù)的斂散性的判別方法作了一些探討.正項級數(shù)和交錯級數(shù)是整個級數(shù)家族中比擬重要和特殊的.對其斂散性的判別方法也有別于一般的級數(shù),除適用于一般級數(shù)的斂散性判別法外,還有許多專門針對正項級數(shù)和交錯級數(shù)斂散性的判別方法,常見的如達朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、微分形式判別法等.其實正項級數(shù)斂散性的判別方法遠不止這些,下面就介紹幾種級數(shù)斂散性的判別法. 一、級數(shù)及其斂散性的有關(guān)概念 定義1 給

9、定數(shù)列: , ,那么式子 稱為無窮級數(shù),簡稱為級數(shù). 定義2 如果級數(shù)滿足0(1,2,)那么稱為正項級數(shù).如果級數(shù)是正負項交錯出現(xiàn)的,即,或0,1,2 那么稱為交錯級數(shù).由定義,級數(shù)表示無窮多個數(shù)的和,但不能理解為無窮多個數(shù)逐次求和.事實上,這樣也做不到.利用數(shù)列極限可以表示級數(shù)的和,同時給出級數(shù)斂散性的定義. 定義3 級數(shù)前項之和記為,稱為級數(shù)的第次局部和. 當分別取1,2, ,時,得到級數(shù)的局部和數(shù)列:如果當時,的極限存在,即時,那么稱級數(shù)是收斂的,且稱為級數(shù)的和,記為;如果當時,的極限不存在, 即不存在,那么稱級數(shù)是發(fā)散的.由定義,只有收斂的級數(shù)才有和的問題,發(fā)散的級數(shù)沒有和,或者說發(fā)散

10、級數(shù)的和不存在.所以有必要研究級數(shù)的斂散性. 由于正項級數(shù)是各項的符號均為正號的級數(shù),它是數(shù)項級數(shù)中最簡單也是最有代表意義的數(shù)項級數(shù). 所以它收斂的最根本的判別方法也是從級數(shù)的判斂性質(zhì)中引出,因此本文先討論正項級數(shù)的斂散性. 有了著一方法來判斷某些簡單的正項級數(shù)的斂散性后,以它作為參照,可以判斷另外一些稍微復雜的正項級數(shù)的斂散性.下面先來介紹正項級數(shù)斂散性的判別方法. 二、正項級數(shù)斂散性的判別方法 1、比式判別法(達朗貝爾判別法)定理 設有正項級數(shù),如果,那么 (1) 當01時,級數(shù)收斂; (2) 當1+時,級數(shù)發(fā)散; (3) 當1時,此法失效. 例1 判斷正項級數(shù)的斂散性. 解:1所以滿足定

11、理1中的(1),故正項級數(shù)收斂. 例2 判別正項級數(shù)的斂散性. 解:由可知滿足定理1中的(1),所以正項級數(shù)收斂. 像正項級數(shù) (x0)、等都可采用此法判斷. 2、根式判別法(柯西判別法) 定理 設有正項級數(shù),如果,那么 (1)當01時,級數(shù)收斂; (2)當1+時,級數(shù)發(fā)散; (3)當1時,此法失效. 例3 研究級數(shù)的斂散性. 解:由于所以級數(shù)是收斂的.注:級數(shù)、 、(0,0)等都可采用此法判斷. 比式判別法與根式判別法都是建立在正項級數(shù)比擬判別法根底上的,所用的比擬級數(shù)是收斂速度相比照擬快的等比級數(shù).這兩種方法雖然更方便,但是它們也只能用于判別那些比等比級數(shù)收斂速度更快的級數(shù),而對于那一類比

12、等比級數(shù)收斂速度更緩慢的級數(shù),這兩種判別法就無能為力了 這兩種判別方法是我們用得比擬多,因為它們用起來很方便.但是,對于比值判別法與根值判別法存在兩點缺乏: 1 當時,判別法失效,既有收斂的,也有發(fā)散的級. 2 判別法可能由于 根本不存在而失效. 3、拉貝判別法定理 (拉貝判別法) 設0 (1,2,3) 如果存在r1使得時有,那么級數(shù)收斂; 如果對充分大的都有,那么級數(shù)發(fā)散定理 (拉貝判別法的極限形式) 設0 1,2,滿足,那么(1)假設1, 那么級數(shù)收斂;(2)假設1,那么級數(shù)發(fā)散.注:拉貝判別法在判別范圍上比比式判別法更加廣泛些,在使用時會方便些. 4、高斯判別法定理 設正項數(shù)列滿足 ,那

13、么(1)當1時級數(shù)收斂; (2)當1時級數(shù)發(fā)散.注:高斯判別法是最強的,但凡能用比式判別法、根式判別法、拉貝判別法判別斂散性的正項級數(shù),均可采用高斯判別法來判定. 5、對數(shù)判別法 定理 設0 1,2, 如果滿足,那么 (1) 當1時,級數(shù)收斂; (2) 當1時,級數(shù)發(fā)散. 6、隔項比值判別法 定理 設正項級數(shù)的項是遞減的,如果,那么 (1) 當時,級數(shù)收斂; (2) 當時,級數(shù)發(fā)散. 7、運用微分中值定理判別級數(shù)斂散性 定理 設在(0,1)內(nèi)可導,且導函數(shù)有界,那么級數(shù)絕對收斂例4 試判斷級數(shù)的斂散性解:易知在(0,1)內(nèi)可導,同時的導函數(shù)有界,由微分中值定理可以得出絕對收斂. 8、利用數(shù)列判

14、別級數(shù)的斂散性 定理 假設數(shù)列有界,那么級數(shù)當時絕對收斂推論1 假設數(shù)列 ()有上界,那么正項級數(shù) 當時收斂推論2 假設數(shù)列 ()有界,那么正項級數(shù) 當時收斂定理 當時,正項級數(shù)發(fā)散定理 假設數(shù)列 ()收斂于,那么正項級數(shù) 當時收斂. 定理 設為一數(shù)列,且,假設,那么: (1)當 時正項級數(shù)收斂; (2)當 時正項級數(shù)發(fā)散; (3)當 時正項級數(shù)也發(fā)散. 9、運用等價無窮小替換判別級數(shù)的斂散性 定理 設和均為正項級數(shù),且當時,為等價無窮小量,那么和的斂散性保持一致例5證明: 假設極限 ,那么級數(shù)收斂證: 因為, 即當時,等價,而 ,所以 ,又由于收斂,故級數(shù)收斂例6 判別級數(shù)的斂散性. 解:因

15、為時, 而 當時,該級數(shù)收斂;當時,該級數(shù)發(fā)散.故 當時,收斂; 當時,發(fā)散. 正項級數(shù)斂散性的判別方法雖然較多,但每種判別方法都有它的優(yōu)勢和劣勢,沒有一種萬能的判別方法.我們不能單單只知道這個定理的公式,而應真正去認識這個定理,了解這個定理的特點和它的使用局限.同時還要了解在哪些情況下用這個定理可能會相對方便簡單,這就有很好的應用意義,給解題帶來很大的方便.對于一種判別方法,它可能在處理此問題時好用,而在處理彼問題時卻失效.例如,用達朗貝爾判別方法判別正項級數(shù)的收斂性就無能為力了,但用拉貝判別法卻可以非常方便地解決這一問題.因此,在判別正項級數(shù)斂散性問題時,不妨多嘗試幾種方法,一種不行就換另

16、一種,總之,應用最簡單的方法去解決級數(shù)斂散性問題 三、交錯級數(shù)斂散性的判別方法 1、利用級數(shù)斂散性定義判定 例7 判別級數(shù)的斂散性分析 此為交錯級數(shù),但不滿足,設為級數(shù)的局部和,先證單調(diào)減少而有下界; 括號內(nèi)各項均小于零,因而單調(diào)減少,又因有下界,故存在,設,又因此,從而,故原級數(shù)收斂 例8 判別以下級數(shù)的斂散性 分析而級數(shù)發(fā)散,故,故原級數(shù)發(fā)散.注:該方法是最原始的也是最根本的方法,應用起來思路比擬簡單. 2、萊布尼茨判別法 定理 假設交錯級數(shù)滿足下述兩個條件:(1) ;(2) 數(shù)列單調(diào)遞減,那么該交錯級數(shù)收斂 例9 判別以下級數(shù)的斂散性. (1) (2) 解:(1)、此級數(shù)為交錯級數(shù),那么

17、;且,即:數(shù)列單調(diào)遞減.因此,交錯級數(shù)收斂. (2)、此級數(shù)為交錯級數(shù),;顯然數(shù)列單調(diào)遞減.因此,交錯級數(shù)收斂. 注:例中兩個交錯級數(shù)雖然都收斂,但是,它們通項的絕對值所組成的級數(shù),即正項級數(shù)發(fā)散,而正項級數(shù)收斂.因此,級數(shù)條件收斂,而級數(shù)絕對收斂. 雖然萊布尼茨判別法可以判別交錯級數(shù)的斂散性,但是在具體應用過程中也存在一些問題:判別法中的兩個條件難于驗證;在級數(shù)收斂時,不能直接判別級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂;該判別法只給出了級數(shù)什么時候收斂,沒有給出級數(shù)發(fā)散的條件.因此我們需要學習其他的判別法,以下介紹了其他的判別法. 3、極限判別法 定理 假設交錯級數(shù)滿足:,那么 1當時,原交錯級數(shù)收斂,

18、 特別地,當時,原交錯級數(shù)絕對收斂, 當時,原交錯級數(shù)條件收斂; 2當時,原交錯級數(shù)發(fā)散.注:由于該定理無法給出和的情況,所以要具體情況具體討論,不過該定理明確了交錯級數(shù)何時絕對收斂,何時條件收斂,具有十分重要的意義.一般我們遇到以下情況時用該定理非常方便:通項含有連乘積;通項含有階乘項或次方的乘積等. 4、添加括號法 定理設交錯級數(shù)的通項趨于0,假設將級數(shù)不改變次序地任意添加一些括號,且諸括號里所含最大項數(shù)有限,那么構(gòu)成的新級數(shù)與原級數(shù)同斂散. 利用以上定理,我們在判別交錯級數(shù)的斂散性時,首先只需看一般項是否趨于0,然后再隨意添加括號,看看由此得到的新級數(shù)是否收斂,即知原級數(shù)是否收斂了 例1

19、0 求的斂散性 分析 所給級數(shù)的通項趨于0,將原級數(shù)加括號后成為如下級數(shù)由于1,又級數(shù)發(fā)散,從而加括號后的級數(shù)發(fā)散,故所給級數(shù)發(fā)散 例11 求級數(shù)的斂散性 分析 將原級數(shù)加括號后成為如下級數(shù)由于,又級數(shù)收斂,從而加括號的級數(shù)收斂,故所給級數(shù)收斂.注:其實添加括號法就是將有相同規(guī)律的項用括號括起來組成一個新項,進而組成一個新的級數(shù),再用其它的判別法判別其斂散性. 5、通項變形法 將級數(shù)的通項用適當?shù)姆椒ㄗ冃?使之分解為幾個級數(shù),討論各級數(shù)的斂散性,再利用收斂級數(shù)的運算性質(zhì)來判別交錯級數(shù)的斂散性,這是一種較常用的行之有效的方法 例12判別級數(shù)的斂散性. 分析 將通項因為收斂,發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散 例

20、13判別級數(shù)的斂散性 分析 利用泰勒公式對級數(shù)的通項進行展開,由得到故上式右邊各個級數(shù)均收斂,故原級數(shù)收斂.注:通項變形法就是將級數(shù)的通項化簡一下,然后再判別其斂散性. 6、微分形式判別法定理 對于交錯級數(shù) 設當時,為正的連續(xù)可導函數(shù),令,假設 (1)當包括+時,級數(shù)收斂,其中在時,級數(shù)條件收斂,而當包括+時,級數(shù)絕對收斂; (2)當包括-時,級數(shù)發(fā)散例14 判別級數(shù)的斂散性. 解:令, ,那么 ,由定理17可知: 當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)條件收斂,當時,級數(shù)絕對收斂;當時,級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂例15 判別級數(shù)的斂散性. 解: 令 ,那么,所以所給級數(shù)收斂且絕對收斂.注:微分形式判別

21、法是通過對通項求導的方法來判別交錯級數(shù)的斂散性.它應用起來方便有效,且作為交錯級數(shù)的一個判別法所起的作用是萊布尼茲判別法所不能替代的. 7、比值判別法或根值判別法 定理 比值判別法:時,發(fā)散,當r1時,收斂. 根值判別法:當時,發(fā)散,當r1時,收斂. 例16 判別級數(shù)的斂散性. 解: 由 1 故由比值判別法可知交錯級數(shù)發(fā)散. 例17 判別級數(shù)的斂散性. 分析又,從而, ,故由根值判別法知原級數(shù)收斂.注:交錯級數(shù)斂散性的判別方法有很多,但是每種方法都有它的優(yōu)點和劣點,沒有一種萬能的判別方法.所以我們在運用時要靈活變通,使用最恰當?shù)姆椒?這樣會讓我們做起題來得心應手. 四、任意項級數(shù)斂散性判別法 設任意項級數(shù) (其中 1,2,3)令 定理 任意項級數(shù)收斂交錯級數(shù)收斂. 比值審斂法解決的是正項級數(shù)的斂散問題.對任意項級數(shù)比值法也無能為力.但是任意項級數(shù)的斂散性,依賴于,即正項級數(shù)的斂散性.對此,有兩種情況:假設收斂,那么絕對收斂; 第二,假設發(fā)散.那么可能收斂,也可能發(fā)散,即對后者的斂散性沒有定論.通過研究,我們發(fā)現(xiàn),假設的發(fā)散性是由比值法判斷而得,那么一定也發(fā)散,故可以得出以下定理.