多元統(tǒng)計(jì)分析期末考試考點(diǎn)整理

1、多元統(tǒng)計(jì)分析題型一定義、名詞解釋題型二 計(jì)算（協(xié)方差陣、模糊矩陣）題型三解答題一、定義§ 1隨機(jī)向量及其分布一、隨機(jī)向量的聯(lián)合分布設(shè)司,4為是定義在樣本空間Q上的9個(gè)隨機(jī)變量，則稱 （國(guó)/心，是七維隨機(jī)向量（或?yàn)榫S隨機(jī)變量）.中元函數(shù)產(chǎn)（田一馬，,.i） =尸工G g .號(hào),，為" 稱為中維隨機(jī)向量國(guó).才",苞y的聯(lián)合分布函數(shù).如果存在非負(fù)可積函數(shù)/&.4.）,使得產(chǎn)（4巧，7J Z，Jj小心心dF 則稱是夕維連續(xù)型隨機(jī)向量，稱八為 （國(guó)&*力了的聯(lián)合分布密度.§ 2 的機(jī)向量的數(shù)字特征一、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望（均值）定義1設(shè)了=（為工.y

2、,若與（工二）=%，z，中存在, 則稱EF = 01；,左1/=（氏中r，/J = N為片TJ的數(shù)學(xué)期望（向量）.設(shè)片=（卷），稱1為隨機(jī)矩陣，稱ZT = （©；）“為隨機(jī)矩陣工的數(shù)學(xué)期望（矩陣）.二、邊緣分布稱2維隨機(jī)向量,為），的分量構(gòu)成的子向量的概率分 布為.為）'的邊緣分布.設(shè)夕維隨機(jī)向量.為）'的分布函數(shù)為產(chǎn)（22,.），則 關(guān)于用的邊緣分布函數(shù)為£（管）=PXf < Xf = A+S,.+8,必+C0,+8）,設(shè)維連續(xù)型隨機(jī)向量（%,4,為）'的聯(lián)合分布密度為/（.卬0,與），則關(guān)于.的邊緣分布密度為/（工）=J二j二"&

3、#39;£-1'七，¥+1，年）火局.四、協(xié)方差矩陣的性質(zhì)設(shè)工，廠為隨機(jī)向量，*, B為常數(shù)矩陣，貝IJ 性質(zhì) 1 CoyAX, BY） = A CoxX, >） B,性質(zhì) 2 LAX） = ALX）A五、協(xié)方差矩陣r的代數(shù)性質(zhì)記 s = zzr,1 . Z為非負(fù)定矩陣,即對(duì)Da e AJ有aEa / 0 .記號(hào)：若E為非負(fù)定矩陣，則記作EN。，若工為正定矩陣，則記作Z>0.二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)X,y為隨機(jī)矩陣，,八夕為常數(shù)矩陣，則性質(zhì) 1 EAX) = AEX.性質(zhì) 2 E(.4XB) = A EX B,性質(zhì) 3 EJ) = EXEY.三、協(xié)方差矩陣定

4、義2設(shè)%=(國(guó)昌，為丫，=(4，)，若可(/),/=1, 2. P, 7 = 1, 2.，/存在，則稱工，)=EX-EX)Y-Eiy=而您/)】?jī)?nèi)為隨機(jī)向量工與尸的協(xié)方差矩陣.當(dāng)。1)=0時(shí),稱隨機(jī)向量1與廠不相關(guān).稱CoyX.X) = DX為隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣.顯然，協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣.定義3 稱火=4%為隨機(jī)向量1的相關(guān)陣 由相關(guān)系數(shù)的概念，顯然有勿=1, |共1, /.八L 2,，p.(1)最矩距離法(Nearestneighbor)考慮月個(gè)樣本構(gòu)成的距離矩陣，定義G與$之間的距離為兩類最近樣品的距離，即(3-3-29)£)= min 4,現(xiàn)在設(shè)G,與G合并為一個(gè)新類

5、記為5,則任意一類G.與G的距離為y mm d”=min( min d* min ) = min(Dv,D).(3-3-30)2 .若E為正定矩陣,則有下述等價(jià)結(jié)論.Z>0o3非奇異方陣乙使£ = .Z>0 o 3正交矩陣I，使E= MZg(44 其中，>0./= L2,，.為Z的全部特征根.(3) E >。o工的任一主子式均大于零.(4) £ > 0 o Va w 火尸,有 aa > 0 ,且 a£a = 0 o a = 0.(5)S>0<=> £7存在且S-l>0.§ 3多元總體

6、一、多元總體設(shè)觀測(cè)指標(biāo)為則才;工./7構(gòu)成一個(gè)維隨機(jī) 向量1=(；4 C，1的一切可能取值的全體就構(gòu)成了 元總 體，仍記作"維隨機(jī)向量1的概率分布即為所對(duì)應(yīng)總體的概率分布，X 的數(shù)字特征也即為所對(duì)應(yīng)總體的數(shù)字特征.二、樣本觀測(cè)陣設(shè)對(duì)元總體才二5,為)'進(jìn)行了次觀測(cè)，記為第/次的觀測(cè)結(jié)果($L 2，每次的觀測(cè)結(jié)果稱為一個(gè)樣品.如果滿足：% , 4），花）相互獨(dú)立；（2）每個(gè)一%均與總體I具有相同的概率分布.稱小為來總體的一個(gè)容鼠為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，仍 簡(jiǎn)稱為樣本.稱樣本觀測(cè)值的個(gè)體構(gòu)成的矩陣為樣本觀測(cè)陣（資料陣）.三、樣本數(shù)字特征%112Xp叫用2 % . 二% % 。吊 吊 吃

7、）25W 4 1 .樣本均值（向量）記 弓=上£一 稱=（.不元.七）'為樣本均值向最. “12,樣本離差陣記= X（%-吊）（ -可），稱s= （%）”為樣本離差陣.3 .樣本協(xié)差陣毛爾“=_Ls=（-L7 s.“:為樣本協(xié)差陣.4 .樣本相關(guān)陣稱天=（弓）上夕為樣本和I關(guān)陣.§1-3.1多元正態(tài)分布定義1.5：若夕元隨機(jī)向量X=（不&，| 的概率密度函數(shù)為： /（七，力尸）" 二萬; exp - 3（x f）2一（x -“（2萬），iXf|/>0）（1.24） 則稱x=（x，乜,，為了遵從。元正態(tài)分布，也稱虺P元正 態(tài)變量。記為X N&a

8、mp;A）|Z|為協(xié)差陣Z的行列式。二、一般的正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量、=（與,天,，巧,），若其的密度函數(shù)為/（不+，,x）=（如"2國(guó)-仁 exp-g（x-M£T （%-/）-oo<A； V+oc其中、=（不多,xy的均值為石（x）=«"j,a .從y(x, /aX-Vi _i)(x一"XX 一“)協(xié)方差為（x /4 X。Z4）（玉一“）（x 一 ）（七一幺）2（吃一幺Xx -4,） .；WTa一x.q“） （xp_/Y 稱x =（不受，,巧,）服從均值為E（X）,協(xié)方差為E的正態(tài)分布。馬氏是巨商定義：設(shè)總體6為，維總體 （考察，個(gè)指標(biāo)），

9、均值向量為 = （,=2， 一,一,）'，協(xié)方差陣為x=（，），則樣品 X=（xx2,.,x/n） z與總體G的馬氏距離定義為2（X,G） = （X -）T（X -）當(dāng)/n = 1H寸, 2 （x, G）=（一"） , ）=bb二名詞解釋1、多元統(tǒng)計(jì)分析：多元統(tǒng)計(jì)分析是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來研究多變量（多指標(biāo)）問題的理 論和方法，是一元統(tǒng)計(jì)學(xué)的推廣2、聚類分析：是根據(jù)“物以類聚”的道理，對(duì)樣品或指標(biāo)進(jìn)行分類的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方 法。將個(gè)體或?qū)ο蠓诸?，使得同一類中的?duì)象之間的相似性比與其他類的對(duì)象的相似性更強(qiáng)。 使類內(nèi)對(duì)象的同質(zhì)性最大化和類間對(duì)象的異質(zhì)性最大化3、隨機(jī)變量：是指變

10、量的值無法預(yù)先確定僅以一定的可能性（概率）取值的量。它是由于隨機(jī)而獲得的非確定值，是概率中的一個(gè)基本概念。即每個(gè)分量都是隨機(jī)變量的向量為隨機(jī)向 量。類似地，所有元素都是隨機(jī)變量的矩陣稱為隨機(jī)矩陣。4、統(tǒng)計(jì)量：多元統(tǒng)計(jì)研究的是多指標(biāo)問題 ，為了了解總體的特征，通過對(duì)總體抽樣得到代表 總體的樣本，但因?yàn)樾畔⑹欠稚⒃诿總€(gè)樣本上的 ，就需要對(duì)樣本進(jìn)行加工，把樣本的信息濃縮 到不包含未知量的樣本函數(shù)中，這個(gè)函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量三、計(jì)算題T6 72、1.設(shè)1 =（A.科?。╉瓶诨ǎ?其中#=（1Q2）6= -44-1 2-14試判斷巧+ 2巧與屋L餐是否獨(dú)立？解:10-6-15=_61520-16 2040故出

11、此的聯(lián)合分布為I故不獨(dú)立。-1620 )40,2、82.0)60.2 455)-1 = (115,6924)-1、104.3107-14.62108.946414.62103.172-37 376089464、-37 376035.59362、對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2同歲男嬰的身高、胸圍、上半曾圉進(jìn)行測(cè)量, 得相關(guān)數(shù)據(jù)如下，根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個(gè)指標(biāo)的 均值外二(為5%16現(xiàn)欲在事元正態(tài)性的假定下檢驗(yàn)讀地區(qū)農(nóng)村男嬰是 否與城市男嬰有相同的均值.答:2、假設(shè)檢驗(yàn)問題；/邛=回% R工內(nèi) r-8,o>經(jīng)計(jì)算可得；X-出=2 2 .(43107-1462108 9464、L 二

12、(231384司-14.62103.172-37.3760、8 9464-37 3760 35.5936 ；構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1F =M/-晶)節(jié)(”= 6x70,0741 = 420,445由題目已知/1(3,3) = 29.5,由是琉廣學(xué)/。3) = 147.5所以在顯著性水平s= 0 01下，拒絕原設(shè)與 即認(rèn)為農(nóng)村和城市的2周歲男嬰上述三個(gè) 指標(biāo)的均值有顯著性差異(a = 0.01, oiC,2) = 99.2, Oi 03) =29 5,況00,4) =16.7)答:4、設(shè) =過,凡名劣尸砥(。，辦 協(xié)方差陣£= pP(1)試從E出發(fā)求X的第一總體士成分,(2)試1司當(dāng)取多大時(shí)才

13、能A14由P-P-P主成分的貢獻(xiàn)率達(dá)95%以上. =0得特征根為4=1;-pa -i得項(xiàng)對(duì)應(yīng)的單位特征向量為仁1故得第一主成分八%亭#舞+興(2)第一個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率為"的上 95% 4 H+44得p3U.95;4 二1 再 0933題型三解答題1、簡(jiǎn)述多元統(tǒng)計(jì)分析中協(xié)差陣檢驗(yàn)的步驟答：第一，提出待檢驗(yàn)的假設(shè)和H1;第二，給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其服從的分布；第三，給定檢驗(yàn)水平，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，確定相應(yīng)的臨界值，從而得到否定域；第四，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，看是否落入否定域中， 以便對(duì)待判假設(shè)做出決策（拒絕或接受）。2、簡(jiǎn)述一下聚類分析的思想答：聚類分析的基本思想， 是根據(jù)一批樣

14、品的多個(gè)觀測(cè)指標(biāo)，具體地找出一些能夠度量樣品或指標(biāo)之間相似程度的統(tǒng)計(jì)量，然后利用統(tǒng)計(jì)量將樣品或指標(biāo)進(jìn)行歸類。把相似的樣品或指標(biāo)歸為一類，把不相似的歸為其他類。直到把所有的樣品（或指標(biāo)）聚合完畢.3、多元統(tǒng)計(jì)分析的內(nèi)容和方法答：1、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，將具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的多個(gè)變量綜合成數(shù)量較少且互不相關(guān)的變量， 使研究問題得到簡(jiǎn)化但損失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）對(duì)應(yīng)分析等2、分類與判別，對(duì)所考察的變量按相似程度進(jìn)行分類。 （1）聚類分析：根據(jù)分析樣本的各研 究變量，將性質(zhì)相似的樣本歸為一類的方法。 （2）判別分析：判別樣本應(yīng)屬何種類型的統(tǒng)計(jì) 方法。4、系統(tǒng)聚類法基本原理和步驟

15、答：1）先計(jì)算n個(gè)樣本兩兩間的距離2）構(gòu)造n個(gè)類，每個(gè)類只包含一個(gè)樣本3）合并距離最近的兩類為一新類4）計(jì)算新類與當(dāng)前各類的距離5）類的個(gè)數(shù)是否等于 1,如果不等于回到 3在做6）畫出聚類圖7）決定分類個(gè)數(shù)和類5、聚類分析的類型有：答：（1）對(duì)樣本分類，稱為 Q型聚類分析（2）對(duì)變量分類，稱為 R型聚類分析# Q 型聚類是對(duì)樣本進(jìn)行聚類，它使具有相似性特征 的樣本聚集在一起，使差異性大的樣本分離開來。#R型聚類是對(duì)變量進(jìn)行聚類，它使具有相似性的變量聚集在一起，差異性大的變量分離開來，可在相似變量中選擇少數(shù)具有代表性 的變量參與其他分析，實(shí)現(xiàn)減少變量個(gè)數(shù)，達(dá)到變量降維的目的。6、 簡(jiǎn)述歐氏距離與

16、馬氏距離的區(qū)別和聯(lián)系。4"簡(jiǎn)述歐氏距離與馬氏距離的區(qū)別和聯(lián)系.答I設(shè)p維空間RP中的兩點(diǎn)X=(XrX2XPy和Y= YpY2- YP '0則歐氏距離為 歐氏距離的局B艮有在多元數(shù)據(jù)分析中，其度量不合理.會(huì)受到匆際問題中磐岡的影響.設(shè)Z,T是來自均值向量為H，械方差為上的總體G中的p維樣本.則馬氏K巨惠為 一 1- 1D國(guó)了:X Y'l XY -當(dāng)工 =【即單位陣時(shí)，D(K,¥、X Y ' X丫=匕/及Y =Y力即次氏SE離口因此，在一定程度上，隙氏£巨離是馬氏距離的特殊情況，馬氏距離是歐氏距離的推廣.7、 試述系統(tǒng)聚類的基本思想。答：系統(tǒng)聚

17、類的基本思想是：距離相近的樣品(或變量)先聚成類，距離相遠(yuǎn)的后聚成類， 過程一直進(jìn)行下去，每個(gè)樣品(或變量)總能聚到合適的類中。8對(duì)樣品和變量進(jìn)行聚類分析時(shí)所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量分別是什么？簡(jiǎn)要說明為什么這樣構(gòu)造？答：對(duì)樣品進(jìn)行聚類分析時(shí)，用距離來測(cè)定樣品之間的相似程度。因?yàn)槲覀儼裯個(gè)樣本看作p維空間的n個(gè)點(diǎn)。點(diǎn)之間的距離即可代表樣品間的相似度。常用的距離為(:明氏距離；&/4)=(£因或一工魅嚴(yán)"比.1q取不同值，分為聲(1)絕對(duì)距離9】)= X,詆-巴X-1 ,(2)歐氏距離。=(£ |凡1t 一產(chǎn)(3)切比雪夫距離("s)=巴篙區(qū)編-xJk1 戶

18、X. 一"(-)馬氏距離廣 p L工4 +了”k K " 1*,dR3fK(二)蘭氏距離 dj(M) = (Xt - XJ)X-1(X1 -xp對(duì)變量的相似性，我們更多地要了解堂量的變化趨勢(shì)或變化方向，因此用相關(guān)性迸行衡量口將堂里看作P維空間的向里，一艘用()夾角余弦 /X X2 叭欄工:冷£；)(-)相關(guān)系數(shù)。= '9、在進(jìn)行系統(tǒng)聚類時(shí)，選擇距離公式應(yīng)遵循哪些原則?答：(1)要考慮所選擇的距離公式在實(shí)際應(yīng)用中有明確的意義。如歐氏距離就有非常明確的空間距離概念。馬氏距離有消除量綱影響的作用。(2)要綜合考慮對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)處理和將要采用的聚類分析方法。如在進(jìn)行聚類分析之前已經(jīng)對(duì)變量作了標(biāo)準(zhǔn)化處理，則通常就可采用歐氏距離。(3)要考慮研究對(duì)象的特點(diǎn)和計(jì)算量的大小。樣品間距離公式的選擇是一個(gè)比較復(fù)雜且?guī)в幸欢ㄖ饔^性的問題， 我們應(yīng)根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)不同做出具體分折。實(shí)際中，聚類分析前不妨試探性地多選擇幾個(gè)距離公式分別進(jìn)行聚類，然后對(duì)聚類分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析， 以確定最合適的距離測(cè)度方法。10、歐式距離的優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)答：歐式距離(Euclii距離)% = (£5謹(jǐn) - X/Q” 嚴(yán)優(yōu)點(diǎn)：幾何意義明確，簡(jiǎn)單，容易掌握，由于中學(xué)數(shù)學(xué)就已初步接觸，數(shù)學(xué)知識(shí)不多的人也可以把握它的基本含義。缺點(diǎn)：從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看， 使用歐