二次函數(shù)應(yīng)用題分類與解析

1、二次函數(shù)應(yīng)用題分類解析二次函數(shù)是初中學(xué)段的難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)起來覺的比較的吃力，可以把應(yīng)用問題進(jìn)行分類：第一類、利用待定系數(shù)法對于題目明確給出兩個變量間是二次函數(shù)關(guān)系，并且給出幾對變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行 簡單的應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式。例1.某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是 2元，售價是3元，年銷售量為100萬件，為了獲得更 好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x (十萬元)時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的 y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x (十力兀)012y11.51.8(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果

2、把利潤看作是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫出年利潤S (十萬元)與廣告費(fèi) x (十萬元)的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果投入的年廣告費(fèi)為1030萬元，問廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨廣告費(fèi)的增大而增大？析解：(1)因?yàn)轭}中給出了 y是x的二次函數(shù)關(guān)系，所以用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)123dy 二一x- x 1系式為 105 一、一2(2)由題意得 S=10y(3-2)-x - -x 5x 10S - -x2 5x 10 - -(x -5)2 -65(3)由(2)24及二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng) 1WxW2.5 ,即廣告費(fèi)在10 25萬元之間時，S隨廣告費(fèi)的增大而增大。二、分析數(shù)量關(guān)系型題設(shè)結(jié)

3、合實(shí)際情景給出了一定數(shù)與量的關(guān)系，要求在分析的基礎(chǔ)上直接寫出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn) 行應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，正確寫出數(shù)量關(guān)系式。例2.某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購進(jìn)價格為每千克 30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于 30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費(fèi)用500元(天數(shù)不足一天時，按整天計算)。設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元。的取值范圍；,說T &T曲門憧限在圖2所示的時日均獲得(1)求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明 x(2)將(1)中所求出

4、的二次函數(shù)配方成,b、2 4ac - b2y =a(x )2a 4a 的形式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；坐標(biāo)系中畫出草圖；觀察圖象，指出單價定為多少元 最多，是多少？(3)若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一 種獲總利較多，多多少？析解：(1)若銷售單價為x元，則每千克降低(70-x)元，日均多售出2 (70-x)千克，日 均銷售量為60+2(70-x)千克，每千克獲利為(x-30)元。根據(jù)題意得2y =(x -30)60 +2(70 -x) -500 =-2x +260x -6500(30wxw70)。22 y=2(x 130x) 6500 =2(x 65) +1

5、950。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(65, 1950),草圖略,當(dāng)單價定為65元時，日均獲利最多，是1950 元。195000元；當(dāng)銷售單價最高時，可獲總利221500-195000=26500 元。(3)列式計算得，當(dāng)日均獲利最多時，可獲總利221500元。故當(dāng)銷售單價最高時獲總利較多，且多獲利三、建模型即要求自主構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等解決實(shí)際問題。這類問題建模要求 高，有一定難度。例3.如圖4,有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀,處到邊MN的距離是4dm,要在鐵皮上截下一矩形MN=4dmABCDB、C落在邊MN±, A D落在拋物線上，問這樣截下去的 周長能否等于8dm?tf X拋

6、物線頂點(diǎn)使矩形頂點(diǎn)矩形鐵皮的所在的直線則 M (0, 0) , N (4, 0) , P (2,析解：由“拋物線”聯(lián)想到二次函數(shù)。如圖 4,以MN為x軸，點(diǎn)M為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P,是 l =2AB 2AD =2y 2(2x -4) =2(-x2 4x) 2(：4)。用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為y = -x2 +4x。設(shè) A點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y),貝U AD=BC=2x-4, AB=CD=y 于22"AD =2y 2(2x 4) =2(-x4x) 2(2x -4) - -2x12x 8。且 x 的取值范圍是 0Vx<4 (xw 2)。若 l=8 ,則-2x2

7、 +12x -8=8 ,即 x2 -6x +8=0。解得 x1 =2, x28dm)而0<x<4 （xw2）。故l的值不可能取8,即截下的矩形周長不可能等于注：本題還可在其它位置建立直角坐標(biāo)系。例4一某環(huán)保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價為 40元，經(jīng)銷過程中測出銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支z（萬元）（不含進(jìn)價）與年銷量y（萬件）存在函數(shù)關(guān)系z=10y+42.5.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）度寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w（萬元）關(guān)于銷售單價x（元）式;（年獲利二年銷售總金額-年銷售產(chǎn)品的總

8、進(jìn)價-年總開支金 價x為何值時，年獲利最大？最大值是多少？（3）若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬元，請你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價的范圍 在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價應(yīng)定為多少元.解:（1）由題意，設(shè)y=kx+b,圖象過點(diǎn)（70,5）,（90,3）,產(chǎn)=70k+b,解得fk-y='x+12. 3分3 =90 k b,一 一10 ,一10b =12.(2)由題意，得w=y(x-40)- z=y(x-40)-(10 y+42.5)=( _ L x+12)( x-10)-10( x+12)-42.5 1010=-0.1 x2+1

9、7x-642.5=(x-85) 2+80.10當(dāng)85元時，年獲利的最大值為 80萬元. 6分(3)令w=57,5，得-0.1 x2+17x-642.5=57.2.到100元之間.又整理，得x2-170x+7000=0.解得 x1=70, x2=100.由圖象可知，要使年獲利不低于57.5萬元，銷售單價應(yīng)在70元 因?yàn)殇N售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于57.5萬元，銷售單價應(yīng)定為70元. 10分四：利潤最大（小）值問題知識要點(diǎn)：b c 4ac b2二次函數(shù)的一般式 y =ax2+bx+c （ a #0）化成頂點(diǎn)式 y=a（x+）+,如果自變量的取2a 4a值范圍是全體

10、實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值）.即當(dāng)a>0時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)b4ac - bx = ,y最小值=；2a4a當(dāng)a <0時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)b4ac-bx = , y最大值=2a4a如果自變量的取值范圍是Xi <x <X2,如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍 bxi MxEx2內(nèi)，則當(dāng)x =, 2a則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范圍y/比一b ,如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi),4a內(nèi)y隨x的增大而增大，則當(dāng) x = x2時，y最大=ax2 +bx2 +c,當(dāng) x = x1時，y最小=ax； +bx1 +c；如果在此范圍內(nèi) y隨x的增大而減小，則當(dāng)

11、x=x1時，y最大=ax12+bx1+c,當(dāng)x = x2時,_ 2y 最小=ax2 +bx2 +c-商品定價一類利潤計算公式：經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)據(jù)： 商品進(jìn)價；商品售價1;商品銷售量；商品售價 2;商品定價；（商品調(diào)價）；商品 銷售量1;銷售量變化率；其他成本。單價商品利潤=商品定價一商品售價 1（價格變動量）=商品定價商品售價 2 （或者直接等于商品調(diào)價）；銷售量變化率=銷售變化量+引起銷售量變化的單位價格；商品總銷售量=商品銷售量1 土銷售量變化率；總禾I潤（W =單價商品利潤X總銷售量一其他成本 韜住曷。住總利潤（W）=（商品定價-商品售價1）父商品銷售量1士A X、為二_其他成本單位價格變動

12、例1:求下列二次函數(shù)的最值：（1）求函數(shù)y =x2 +2x-3的最值.例2:某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價 1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出 20件，已知商品的進(jìn)價為每件 40元，如何定價才能使利潤最大？練習(xí):1 .某商店購進(jìn)一批單價為 20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出 400件.根 據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少 20件.如何提高售價，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？實(shí)際問題與二次函數(shù)習(xí)題精選及解析填空題：1 .當(dāng)炮彈從炮口以30o角射出后，飛行高度 h（米）與飛

13、行時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是 h=-vct-5t2,2其中V0是炮彈發(fā)射的初速度，當(dāng) V0=300米/秒時，炮彈飛行白最大高度是 。答案：1125米。說明：把V0=300代入h=1 V0t-5t2得h=150t-5t2,由公式4.一b 得h最大=1125米。24a2.王師傅想在一塊三角形剩料中挖取一塊最大矩形料做其他用途，其圖形和數(shù)據(jù)如圖所示，請你計算王師傅所取得最大矩形料的面積 ,這時CE=? CF=B答案： 3 m2, 3 m 1 mi 422說明：設(shè) CF=x,貝U BF=1-x, BD=2(1-x), . FD=73 (1-x), 二 S 矩形 fceD= .3 (1 - x) ?

14、x=-、, 3 x2+ - 3 x=-73(x- 1)2+ oS 矩形 fced最大為 Y3mf,這時 CF=1m, CE=3 mi24422解答題：1 .某旅社有客房120間，每間房間的日租金為50元，每天都客滿，旅社裝修后，要提高租金。經(jīng)市場調(diào)查，如果1間客房的日租金每提高5元，則客房每天出租數(shù)會減少6間。不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？比裝修前的日租金總收入增加多少元？分析：這是函數(shù)知識在日常生活中的實(shí)際應(yīng)用題，本題中各量之間的等量關(guān)系為：每天客房日租金的 總收入=每間客房的日租金X客房每天出租的間數(shù)。解：設(shè)每間客房的日租金提高x個5元(即5

15、x元)，則每天客房出租數(shù)會減少6x間，根據(jù)題意可得2y=(50+5x)(120 -6x),即 y=-30(x-5) +6750。當(dāng) x=5 時， y最大 二6750。這時每間客房日租金為 50+5X 5=75(元)，客房日租金的總收入最高，為 6750元。裝修前的日租金 120 X 50=6000(元),6750-120X 50=750(元)。故將每間客房的日租金提到75元時總收入最高，比裝修前的日租金總收入增加750元。2 .某商場經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品；據(jù)市場調(diào)查，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克，銷售單價每漲 1元，月銷售量下降10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售

16、情況，請?zhí)剿饕韵聠?題：(1)當(dāng)銷售單價定為每千克 55元時，月銷售利潤為多少？(2)設(shè)月銷售單價為每千克 x元，月銷售利潤為y元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。解：(1)月銷售利潤為：500 - (55 - 50) X 10 X (55-40)=6750(元)(2)y=500 -(x-50) X 10 X (x-40),即 y=-10x2+1400x-40002.一3 .火車進(jìn)站剎車滑行的距離s(單位：m肖滑行時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式是s=30t-1.5t ;火車離站臺多遠(yuǎn)開始剎車，才能使火車票剛好停在站臺位置上？解：由 s=30t-1.5t 2 得 s=-3(t -10)2+1502所

17、以當(dāng)t=10時，s最大=150所以當(dāng)火車從離站臺150米處開始剎車，火車才能剛好在站臺停下。4 .南博汽車城銷售某種型號的汽車，每輛進(jìn)貨價為25萬元；市場調(diào)研表明，當(dāng)銷售價為 29萬元時,平均每周能售出 8輛，而銷售價每降低 0.5萬元時，平均每周能多售出 4輛；設(shè)每輛汽車降價 x萬元，每 輛汽車的銷售利潤為 y萬元。(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，在保證商家不虧本的前提下，寫出 x的取值范圍；(2)假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤為z萬元，試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每輛汽車的定價為多少萬元時，平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)y=29 -25-x=-x+4(0 &

18、; x< 4)(2)z=(8+ X4) ?y=(8x+8)( -x+4)= - 8x2+24x+320.5(3)由 z=-8x2+24x+32,配方得 z=- 8(x- 3)2+50 2所以當(dāng)x=3時，z最大=50 2所以當(dāng)定價為29-1.5=27.5(萬元)時，有最大利潤，最大利潤為50萬元。5 .小店張老板批發(fā)進(jìn)貨，其中有一種商品進(jìn)價為每件9元，按每件15元出售，每天可銷售 40件；現(xiàn)在他想采用降價促銷的辦法來增加利潤，已知這種商品每件每降價1元，日銷售量就增加10件，那么他把售價定為多少時，才能使每天獲利最大？每天最大利潤是多少？解：設(shè)降價x元，則零售價為(15-x)元，日銷量為(

19、40+10x)件設(shè)每日利潤為y元，則由題意得：y=(15 -x-9)(40+10x)= -10x2+20x+240,配方得 y=-10(x-1)2+250所以當(dāng)x=1時，y最大=250,這時15-x=14所以把售價定為每件 14元時，每天獲利最大，最大利潤是 250元。6 .在黃州服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢；設(shè)這種時裝開始時定 價為20元，并且每周(7天)漲價2元，從第6周開始保持30元的價格平穩(wěn)銷售；從第 12周開始，當(dāng)季節(jié) 即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售；(1)試建立銷售價y與周次x之間的關(guān)系式；(2)若這種時裝每件進(jìn)價 Z

20、與周次x之間的關(guān)系為Z=-0.125(x -8) 2+12(1 <x<16,且x為整數(shù))， 試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）由題意，可以建立函數(shù)關(guān)系式如下:當(dāng) 1WxW6 時，y=20+2(x-1);當(dāng) 6<x< 11 時，y=30;當(dāng) 12WXW16 時，y=30-2(x-11)即y=2x+18(1<j<6)<30-2x+52(12<x<16)（2）設(shè)銷售利潤為 w,則w耆彳fr-進(jìn)價所以W=1 。2工十18+：5貨 12(1«工46)30 + hr-8)2-12O-2冗 + 52+(工一8y

21、 128化簡得W=1 ,；V+14(l<x<6)J-?-2x + 26 (6<x<ll) g1 .-?-4x + 48(12<x<16)當(dāng) 1 WxW6 時，W=1x2+148因?yàn)閷ΨQ軸為直線 x=0, a>0所以由圖象不難得出在 1WxW6范圍內(nèi)，當(dāng)x=6時，W有最大值12W蜃大=X 62+14=18.58當(dāng) 6WxW11 時，W=lx2-2x+268因?yàn)閷ΨQ軸為直線 x=8,在6WXW11范圍內(nèi)，由圖象可看出在x=11時，W有最大值W 大=1 X 112-2X 11+26=191 88當(dāng) 12WxW16 時，W=1x2-4x+488對稱軸為直線x=

22、16由圖象可以看出在 12WxW16范圍內(nèi)，x=12時，W有最大值W蜃大=1 X 122-4X 12+48=1881綜上所述，當(dāng)x=11時銷售利潤最大，最大值為19-元。8二次函數(shù)經(jīng)典應(yīng)用題練習(xí)題1、某體育用品商店購進(jìn)一批滑板，每件進(jìn)價為100元，售價為130元，每星期可賣出 80件.商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每降價5元，每星期可多賣出 20件.(1)求商家降價前每星期的銷售利潤為多少元？(2)降價后，商家要使每星期的銷售利潤最大，應(yīng)將售價定為多少元？最大銷售利潤是多少?2、某商場將進(jìn)價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場決定采

23、取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺.(1)假設(shè)每臺冰箱降價 x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(不要求寫自變量的取值范圍)(2)商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實(shí)惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元？(3)每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？AD花圃b'1c的墻另三邊形ABCD設(shè)x的取值范3、張大爺要圍成一個矩形花圃.花圃的一邊利用足夠長 用總長為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩 AB邊的長為x米.矩形ABCM面積為S平方米.(1)求S與x之

24、間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量 圍).(2)當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出最大值.22b4ac-b(參考公式：一次函數(shù) y=ax +bx+c (a¥0),當(dāng)x =時，y最大(小)值=)2a4a4、某電視機(jī)生產(chǎn)廠家去年銷往農(nóng)村的某品牌電視機(jī)每臺的售價y (元)與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系y =-50x+2600,去年的月銷售量 p (萬臺)與月份 x之間成一次函數(shù)關(guān)系，其中兩個月的銷售情況如下表：月份1月5月銷售量3.9萬臺4.3萬臺(1)求該品牌電視機(jī)在去年哪個月銷往農(nóng)村的銷售金額最大？最大是多少？(2)由于受國際金融危機(jī)的影響，今年1、2月份該品牌電視機(jī)銷往農(nóng)村的售價都比去年12月

25、份下降了 m%,且每月的銷售量都比去年12月份下降了 1.5m%國家實(shí)施“家電下鄉(xiāng)”政策，即對農(nóng)村家庭購買新的家電產(chǎn)品，國家按該產(chǎn)品售價的13%合予財政補(bǔ)貼.受此政策的影響，今年 3至5月份，該廠家銷往農(nóng)村的這種電視機(jī)在保持今年 2月份的售價不變的情況下，平均每月的銷售量比今年2月份增加了 1.5萬臺.若今年3至5月份國家對這種電視機(jī)的銷售共給予了財政補(bǔ)貼936萬元，求m的值（保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)： 用5.831, 735=5.916, 737= 6.083, 738=6.164）5、某商場試銷一種成本為每件 60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量 y （件）與銷售單價x （元）符合一次函數(shù)y = kx +b ,且x = 65時，y = 55 ；x = 75 時，y =45 .（1）求一次函數(shù)y = kx+b的表達(dá)式；（2）若該商場獲得利潤為