高考數(shù)列通項公式的求解策略

1、1作者：張賢華2工作單位：湖南省衡陽市八中3職稱：中學一級教師4通訊地址：湖南省衡陽市八中5郵政編碼：4210076 聯(lián)系電話：07348463361，135752948287 Email：xianhua_zhangsir高考數(shù)列通項公式問題的求解策略張賢華 湖南省衡陽市八中 421007 數(shù)列問題是近年來高考中的熱點問題，求數(shù)列通項公式問題又是數(shù)列問題中的重頭戲.本文試圖對高考中這一類問題的常見題型與解題策略作一個比較完整的歸納.1常見題型與解法1.1.已知遞推公式求通項公式例1.(2000.全國.文理)設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且(),則它的通項公式是=_.解法一（迭乘）：將已知條件轉(zhuǎn)化為,

2、于是有，, .將上述n-1個等式左右兩邊分別相乘得,故有.解法二（迭代): 將已知條件轉(zhuǎn)化為,于是有解法三（配湊成基本數(shù)列):化已知條件為,數(shù)列nan為常數(shù)列(視為基本數(shù)列等差、等比數(shù)列的特例), ,.解法四（猜想):利用遞推公式寫出數(shù)列前幾項為1,猜想通項公式為(填空題當然無須用數(shù)學歸納法證明).例2. (2003.天津.理)設(shè)為常數(shù)，且.(1)證明對任意1，.(2)略(1) 證法一(數(shù)學歸納法)：略. 假設(shè)當n=k（k1）等式成立，即那么 這就是說，當n=k+1時，等式也成立.根據(jù)和，可知對于任何，等式成立. 證法二（配湊成基本數(shù)列）：如果設(shè) 將代入，可解出. 故已知條件可化為.易知數(shù)列為

3、基本數(shù)列,從而數(shù)列通項公式易求.略.證法三（迭加）：由兩邊同除以得，,將上述各式左右兩邊分別相加得,以下易求,略.1.2.根據(jù)已知條件構(gòu)造遞推公式求通項公式例3. (2005.廣東卷）設(shè)平面內(nèi)有條直線（n3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點若用表示這條直線交點的個數(shù)，則=_；當4時，=_分析：由已知條件直接得到通項公式較困難，但據(jù)已知條件可先求出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求通項公式.解法一（猜想）：若平面內(nèi)有條滿足條件的直線（n3），它們的交點數(shù)為，現(xiàn)增加一條滿足條件的直線，與前面n條直線有n個交點，且這n個交點與前面已有的個交點互不重合，故這n+1條直線的交點個數(shù)為=

4、，由于故有猜想當4時，2+3+4+5+.解法二（配湊成基本數(shù)列）：同解法一得到=，令，將=代入可解得A=，B=,故數(shù)列的遞推公式可化為，從而知數(shù)列（n3）為常數(shù)列,從而易求數(shù)列的通項公式.略.說明:此題也可在得出遞推公式后應(yīng)用迭加或迭代法求出通項公式.1.3.已知前n項和公式求通項公式例4.(2005.湖北.文）設(shè)數(shù)列的前n項和為,為等比數(shù)列，且(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)略.解：.其余略.1.4.已知關(guān)于Sn的遞推公式求通項公式例5.（2005.江西.文）已知數(shù)列的前n項和Sn滿足求數(shù)列的通項公式.解法一（迭加得前n項和公式然后求得通項公式）：先考慮偶數(shù)項有：, ,.將上述各式左右兩邊分

5、別相加得( n2). 同理考慮奇數(shù)項有：,將上述各式左右兩邊分別相加得(n1).以下易由公式求通項公式.略. 解法二（消去轉(zhuǎn)化為遞推公式再求通項公式）：因為.以下可完全類比例2的各種解法，請讀者自己推導通項公式. 1.5.已知關(guān)于an與Sn的關(guān)系式求通項公式例6.（2005.北京.文）數(shù)列的前n項和為Sn,且,，,(1)求的值及數(shù)列的通項公式；(2)略.解法一（消去轉(zhuǎn)化為遞推公式再求通項公式）：(1)由（n1)，得（n2）. （n2），得（n2）.以下略.解法二（消去轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn的遞推公式得前n項和公式再得通項公式）：由(n1)，得，即（n1).以下略. 2.解題策略總結(jié)上述問題實際上可歸結(jié)為數(shù)列an的關(guān)于an與Sn的關(guān)系式、遞推公式、關(guān)于Sn的遞推公式、前n項和公式這四種關(guān)系式向通項公式的轉(zhuǎn)化，將上述各題的題型與解法串在一起便成了下圖：關(guān)于Sn的遞推公式關(guān)于an與Sn的關(guān)系式遞推公式前n項和公式通項公式消去Sn消去an消去Sn猜想+證明