正弦定理、余弦定理基礎(chǔ)練習(xí)

1、正弦定理、余弦定理基礎(chǔ)練習(xí)1. 在 ABC 中：(1) 已知 A 45、B 30、a 5.3，求 b ；(2) 已知 B 75、C 45、a 6，求 c.2. 在 ABC中(角度精確到1°):(1) 已知 b 15、c= 7、B= 60°,求 C;(2) 已知 a 6、b = 7、A= 50°，求 B.3. 在 ABC中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)：(1)已知 a = 5、b = 7、C = 120 °,求 c；(1)已知a6、b = 7、c 9，求 A；(2)已知a3._3、b4、c , 79.根.據(jù)下列條件牛解三角形(角度精確到(1)A37,B 60,a

2、 5;(2)A40,B 45,c 7;(3)B49,a5,b 3;(4)C =:20?,a = 5, c= 3;(5)a4,b 7, C80 ;(6)a10,b 13,c 14 .(2)已知 b3/3、c= 7、A = 30°，求 a.4.在 ABC中(角度精確到o求C.o51°):1 °,邊長(zhǎng)精確到)：6選擇題：(1) 在厶ABC中，下面等式成立的是A. abcosC bccosAC. acosC ccosA(2) 三角形三邊之比為 3 : 5 :).absinC bcsin A acosA bcosB).A. 60°B.120 °C.135

3、°D.150 °(3)在厶ABC中，b c21 , C45,B= 30 ° ,則(A. b 1, c 2B.b.2 , c1-逅2.2- 2C. b -,c 1D .b1 -c2222(4)在厶ABC中B45、c5、2、b ；5，則a().A . 5、2B.53C.5D .10).7填空題:D.7,則這個(gè)三角形的最大角是(" ABC 中 AB1、AC、面積S&在 ABC 中，sin2A sin AsinB sin2 C sin2B，求角 c.綜合練習(xí)1.設(shè)方程x2sinA2xsi nB si nc0有重根，且A、B、CABC的三內(nèi)角，則 ABC的

4、三邊a、b、c的關(guān)系是（）A.b= acB.a= bcC.c= abD.b2ac2.在厶 ABC 中 C 90、A 75,<CD AB，垂足為D,則CDCD的值等于（)ABA1 m1C .1f三B.D23423.等腰三角形的底角正弦和余弦的和為，則它的頂角是（).2A.30° 或 150° B.150 或 75°C.30 °D.15°4.在厶ABC中(sin A2i sin B sine)!3(sin2A sin2B sin2C）,則這個(gè)三角形是()三角形.A.銳角B .鈍角C.直角D.等邊5.在厶 ABC 中 0 tan A tan B

5、1, 1則厶ABC是（）.A.銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.無(wú)法確定其形狀6.在厶ABC中，AB 是 cos2 A2cos B的（）條件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要7.在銳角 ABC中，若 C 2B ,則c的范圍為（）.bA.(2 .3) B .(3,2)C .(0, 2)D .(2,2)&已知A為三角形的一個(gè)內(nèi)角，函數(shù)y （COSA）X2 （4sin A）X 6，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有y 0 ,則（）.A .CA10 cos AB .1cos A 122C .cos A 0D .1cos A 09 .已知銳角三角形的邊長(zhǎng)為2、3、x,則x的取值范圍是

6、（A .1 x 5B.,5x 13).10.在 ABC中，若面積 S abca2 (b c)2，則 cos A 等于().B .仝2C.工13D .蘭1711. 在 ABC 中 a 7、b12. 在 ABC 中，若 si nA13 .在 ABC 中，若 2cosB cosC14.A ABC的面積和外接圓半徑都是10、cosBc 15，貝U tanA .cosC，則 tan B tan C.1 cosA，則 ABC的形狀是1，貝U si nA si nB sinC =15 .在厶ABC中，sinc ，則 ABC的形狀是 .cosA cosB16 .如圖5-8，/ A = 60°,/ A

7、內(nèi)的點(diǎn)C到角的兩邊的距離分別是 5和2,為.則AC的長(zhǎng)圖5-817.已知A為銳角三角形一個(gè)內(nèi)角， 且lg（1 si nA） m ,lg 1 1 A1 sin A則 lg cos A18 .在厶ABC中,若 A 60 ,b 1,19 .在厶ABC中,已知2s inBcosC面積20 .在厶ABC中,已知(sin Asin B求角C .21 .在厶ABC中,內(nèi)角A最大，C最小,的值為之比.Sabc 3，則sin A, A 120sin C)(sin A2C ,22.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、的度數(shù).1.拓展練習(xí) 三角形三邊長(zhǎng)是連續(xù)整數(shù)，最大角是最小角的3 B. -74 102.在 ABC中，P表

8、示半周長(zhǎng)，C.-3R表示外接圓半徑,的值為sin A si nB sinCsin B2x 1a 1，求B和ABC的sin C)3si n A si n B ,c 2b，求此三角形三邊，求這個(gè)三角形中最大角2倍，則最小角的余弦等于（）.D.14F列各式中： sin 2(P b)(P c)bc c acosB bcosA一+ A B ta n2+ A B ta n2bsin A sin B sinC正確的序號(hào)為（）.3.在厶ABC中，若a116. (1) B. S absinC bcsin A casinB ； 22 b(bc)，則有().A.A BB. A 2BC.A 3BD. B 2A4.A

9、B 在厶ABC中，tana b則此三角形為().2a bA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5.在 ABC中，若lg a lg c Ig sin B Ig 2，且B為銳角，則 ABC的形狀是a i6.設(shè)A是厶ABC中的最小角，且 cos A ，則a的取值范圍是a 17 .如圖5-9，在平面上有兩定點(diǎn)A和B， AB , 3，動(dòng)點(diǎn)M、N滿足AM MN NB 1 .記 AMB和厶MNB的面積分別為S、T,問(wèn)在什么條件下，S2 T2 取得最大值？圖5-9&在 ABC 中，已知 C= 2B，求證：c2 b(2) B .三角形中大邊對(duì)大角，由余弦定理，求出最長(zhǎng)的邊所對(duì)

10、角的120 ab .圖 5-109. 圓O的半徑為 R,其內(nèi)接ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C,若2R(sin2A sin2C) sin B( . 2a b)，求 ABC 面積的最大值.10. 若ABC是半徑為r的圓的弓形，弦AB長(zhǎng)為、2r ,C為劣弧訃上一點(diǎn)，CD AB 于D，當(dāng)C點(diǎn)在什么位置時(shí)厶 ACD的面積最大，并求此最大面積(如圖5-10).參考答案基礎(chǔ)練習(xí)1 . (1) b 5V6(2) c2 6 .22. (1) C 24 ,(2) B63 或 117 .3. (1) C 10 ,(2) a3.6 .4. (1) . A 42 ,(2) C150.5. (1) C 8

11、3 ,b 7.2, c8.2 ;(2) C 95 , a4.5, b5.0;(3) A 20 , C111 , c10.9;(4) A 35 , B125 ° , b 7.2或 A 145 , B 15 , b 2.3;(5) c 7.4, A32 , B68 ;(6) A 43 , B63 , C74 .c(3) A .由正弦定理，得bsi nC sin B叱2，將csin30.、2b代入b c 、21解得b、c的值;(4) C 由余弦定理，b2a2c22accosB，即 255010a，解關(guān)于a的方程 a 2 2 22c，二 (a b) (b c) (c a) 0 . a b c

12、. 10a 250，得 a7. (1)上或匕，由面積公式:441bcsin A，即2解得sinA T，從而求出A;(2)等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得b22c2bc2 2.2 y，整理得(a2b2)(c2 a2 b2)0b2a2 b2所以，a b或c2 a2b2.&.由正弦定理:3asin Absin Bsi nC2R，可將已知的三個(gè)角的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)cosC邊關(guān)系：aa2 b2c22ababab2abb2，即所以,b22nab，再利用余弦定理：綜合練習(xí)2(2sin B)4sin A sinC 0 ,即sin2 Bsin A sinC .由正弦定理，得b2 ac.22243. A.設(shè)

13、等腰三角形頂角為、底角為貝V sincos6，兩邊平方，解得21 2si ncos6，即 sin 21 sinsin( n 2)sin 2-.又422為頂角，二30 或150 .4. D.由正弦定理得(a bc)23(a2b2c )，即 2ab2 22ac 2bc 2a 2b2 .C .設(shè) AB = a，則 AC a11 1 1 CD AB AC BC,得 CD acos75 si n75 as in 150-a .BC a sin75 .由面積關(guān)系式：cos75 ,sin A sinB a ba b A B.cos2 A cos2 Bc si nC7. A.b sin B0Bn,2又0C2B

14、0An(2 2cosB- 3.-bcos8. B .由條件知cosA 0cosA2 或 cosAsin2Bsin BC)2cosB，(2, 3).A 0, 16s in2A 24cosA0,0,2(1 cos2 A)cosAA 1cosA .又2A 1cosA .又2cosB 三.即23cosA 0,A為三角形的一5.C . A、B、C為三角形的內(nèi)角，又0tan A tanB tan A tan B1, tan A0, tanB 0tanCtan(n A B)tan(AB)-0 ,C為鈍角.1tan A tanB6.C. cos1 個(gè)內(nèi)角，二cosA 1，二 cosA 1 .29. B.設(shè)三邊

15、2、3、x所對(duì)的三個(gè)角分別為 A、B、C,根據(jù)三角形任意兩邊之和大于 第三邊和余弦定理，有： A cos2 B 1sin2 A1 sin2 Bsin2 Asin2 BA、B為三角形的內(nèi)角，sin A0 ,si nB0.2 2sin A sin Bsin Asin B2Rsin A 2Rsin B(R為ABC外接圓半徑).由正弦定理，a 2Rsi nA ,b2Rsin B .3 2x32,cosB222 x320,即22xcosC22322 x0.1口 0,x2 13 0.2 2 3x5,1 x 5,x 、5,10. D .由三角形面積公式：S -bcsinA. 2 2 1a2 (b c)2bc

16、sin A222 2 2b c a 2bc(11sin A).4b22 c2 a11-sinA .4由余弦定理，2bc.222b c a122cos A -1si nA.sin A4(1cos A) sin A16(1 cosA)bc41cos2 A 1632 cos A 16cos2 A ,150 解得2即 17 cos A 32 cos Acos A或 cos A 1.17A為三角形的內(nèi)角,cosA 1,cos A151711.乞 由余弦定理,232 2 21015723cosA -10 15252sin A . 1 cos A(1 23)(152325)4625cos A2312 . 1

17、 .si nA cosB cosCsin(B C) cosB cosCsin BcosC cosBsinC cosB cosCsinB cosC cosB sinCcosB cosCtanB ta nC 1 .13.等腰三角形，2cosB cosC 1 cosA ,2cosB cosC 1 cos n(B C)2cosB cosC cos(BC) 1cosB cosC sinB sinC 1 ,即 cos(B14.1設(shè) ABC外接圓半徑為2R,則 R= 1 .由正弦定理sin A sin B sinCabc設(shè) ABC的面積為S,則S= 1.1bcsin A2S absi nC22R 2R 2R

18、由面積公式1casin B ,2sin A sin B sin C2Sbc ca8ab (abc)2abc8(abc)2abc 4 .sin A sin B sin C15 直角三角形由正弦定理、余弦定理,cosA cosBsin A sinBsin Cb2c2a2a2c2b2b) 2bc2aca(b2c2a2) b(a2c2b2)2ab(a整理，得(a b)(a2 b2c2)0a>0 ,b>0 ,a2b2c20 .a2 b2.16. 2,13，由于 A、E、C、F四點(diǎn)共圓,ECF120連結(jié)在CEF中,由余弦定理：EF 252225 2 cos120 39,EF又由正弦定理可得AE

19、CF的外接圓直徑ACEFsin 120圖答5-717. 1(mn).lg(1 sin A)mlg11sin An，兩式相減,lg(1 sin A)(1 si nA) m n .22lg(1 sin A) m n，即 lg cos A m n .2 lg cosA mn .lg cosA(m2n).18. 2 sin A sin B sin C 3 .由三角形面積公式，1 Sbcsin A ,31-1 c sin 60322 ，c 4 .由余弦定2 理，ab2c 2bccosA 14212 1 4 13 ,2a . 13 .由正弦定理，abc132 39.由等比定理可得：sin Asin Bsi

20、nC sin 603abc2>/3919 B 30 , S abc2 sin B cosCsin A，由正弦定理、余弦定理,a2 b2c22aba,b c , A 120B C 30 .由正弦定理,a bsin Asin Bsin 30sin 1201,3.S ABC11absi nC -221 丄 si n3033122R 2R2R2R2R2R2R2R化簡(jiǎn)得：(abc)(abc)3ab, (ab)2 c23ab再由余弦定理,得:cosCa2 b22 cab12ab2ab2 .21. a : b: c6:5:4 .A2C ,由正弦定理：caaaacosC2csinC sin Asin2C

21、2 sin C cosC '20.b3abacCbac 2bc a60 設(shè)R ABC外接圓半徑，由正弦定理: b由余弦定理:a2b260 .a c2cosC2 .2a bc22,a c 2a( 2)C22aba(a c)a5a 3c4a210ac 6c20,2c4a3, a c5ac,ac.hcb2245a 3c4a(2 a 3c)(a c) 0.22. 120 .x2 x 1,X2 1,2x 1解得，x 1 .cosc2 ab .u3a: b:c25 c:-4c:c6:5:42 xx10,三邊，2 x10,2x10.(x2x 1)(x21)x 20,(x2x 1)(2x1)x x x

22、(x 1)0,2x x 1是最大的邊長(zhǎng)令其所對(duì)的角為，由余弦定理:2 2 2 2 2(x 1)(2x 1)2 (x x 1)2(x2 1)(2x 1)120，即這個(gè)三角形中最大角的度數(shù)為拓展練習(xí)322x x 2x 12(2x3 x2 2x 1)120 .1. A .設(shè)三角形三邊為 n 1、n、n 1(n N)，它們所對(duì)的角分別為C、B、A,則n 1 n 1C 2A .則正弦定理，sin A sin Cn 1sin 2An 12sin A cos Acos A冊(cè)）由余弦定理，cos A(n 1)2 n2 (n2n(n 1)1)2n24n2n(n 1)n 12(n1)n2乜去分母2n(n 1)得:

23、n3 2n2 nn3 4n22n 4nn2 5n , n N，二 n 5.52 4 5cos A2 5 (5 1)（法二）如圖，ABC中，Cn 1（n N）.在AB上取一點(diǎn)453604即最小角的余弦值為專(zhuān)2A,設(shè) AD，使 ACDCAB s DCB .設(shè) CD 為 x，則 DA 為 x, 彳 n(n 1) n 1 -n 11cos A2.,A、B、C三內(nèi)角所對(duì)的三邊分別為62BCDCDBn(n1)n42n 1 即(n 1)2 n2 nn 1n 1 (n 1)ABC25 361660(a b c)(a b c)4bcP -(a23n2n1. 邊長(zhǎng)為最小角的余弦值為圖答5-8c），由半角公式、余弦

24、定理:(2P 2c)(2P 2b)!4bc(P c)(P b)bc正確.由積化和差公式、正弦定理:A Bta n2A B ta n2.A sin 2A B cos一 2B A B cos一 2A B2sin1(sinA sinB)12(sinA sinB)正確.如圖：作AB邊上的高CD ,則ADb cos A, BD acosB .c bcosA acosB .或 A、B中有一為鈍角，同理可證得.（法二）由余弦定理,bcosA acosB = bb22 2c a2bc2 2 , 2 a c b a -2ac2 , 2c 2c b2c錯(cuò)誤.由正弦定理：abc 2R R.sin A sin B s

25、inC(sin A sin B)(sinsin B) sin BsinC .2sin cos°2 22cos- Bsin_B sinB sinC .2sin(A B)si n(A B)sin BinC .sin(A B)sin B .即 sin (A B) sin B 0 . /c A A 2B c 2cossin0.2A 門(mén)cos 0,2A 2B .A 2B sin24. D .由正弦定理,sin A sin Btan 2.A Bsin2.A Bsina b.A B sin2A B cos一2 .A B sin2A0 或 sin -sin A sin Bsin A sin Bsin A sin BA 2cos2 o . A B2si nB . A Bsin2A Bcos一2cos si上2 出.A B 當(dāng)sin2當(dāng)+ A B當(dāng) tan 2 2A Bcos20時(shí),1時(shí),7talg lg sin B lg c正弦定理，有sin Asin CA= B;7tlg algclg sin Blg -2,sin B 2，又B為銳角，2180 B 135 ,B 45又-，由c 23. B.由正弦定理，得： sin2 A sin2 B sinB sinC .2sin(135C).sinC . 2(sin135 cosC cos135 sin C)，即 sinC sinC c