正弦定理和余弦定理專題與解析

1、正弦定理和余弦定理教學(xué)目標(biāo)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題知識(shí)梳理1.正弦、余弦定理疋理正弦定理余弦定理a2 b2 + c2 2bccos A；公abc2 2 2A . B .C 2Rb c + a 2cacos B;式sin A sin B sin Cc2 a2 + b2 2abcos C(1) a 2Rsin A b 2Rsin B, c 2Rsin C；b2 + c2 a2常abccos A-2bc ；見(2)sin A 2R, sin B示，sin C R；c2 + a2 b2cos Bc；變 a : b : c sin A : sin B : sin C；2a

2、c '形(4) asin B bsin A, bsi n C csi n B, as in2 - 2 2 a + b c cos Cc .2abC csin A在厶ABC中，若角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c, R為厶ABC外接圓半徑，則2. S ABC1 1 12absin o 2bcsin A二 2acsin 吐abc 1= 2(a+ b+ c) r(r 是二角形內(nèi)切圓的半徑），并可由此計(jì)算R, r.3.在厶ABC中，已知a, b和A時(shí)，解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形AJCA 'c關(guān)系式a bsin Absin Avavba> ba>ba&

3、lt; b解的個(gè)數(shù)一解1兩解一解一解無(wú)解_a sinA,則 cos B=()1B.2C.,32D.解析由正弦定理知sin B sin A.3cos B= sin A=，即 tan B= 3,由 B (0 ,n )，所以診斷自測(cè)1. 判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“V”或“X”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.() 在厶 ABC中，若 sin A>sin B,則 A>B.()(3) 在厶ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.()(4) 當(dāng)b2 + c2 a2>0時(shí)， ABC為銳角三角形；當(dāng)b2 + c2 a2= 0時(shí)， ABC為直角三角形；當(dāng)b2 + c2 a2

4、<0時(shí)， ABC為鈍角三角形.()(5) 在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積.()解析(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比(3)已知三角時(shí)，不可求三邊. 當(dāng)b2 + c2 a2>0時(shí)，三角形ABC不一定為銳角三角形.答案 (1) X V (3) X X (5) V2. (2016 全國(guó)I卷) ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a= 5,2c = 2, cos A= 3b=()A. 2B. 3C.2D.32 2 2 1解析 由余弦定理，得5= b + 2 2X bx2X 3，解得b= 3 b= §舍去，故選D.答案 D3cos B3

5、. (2017 鄭州預(yù)測(cè))在厶ABC中,角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c，nn 1B= ，所以 cos B= cos = 2，故選 B.答案 B4. 在厶ABC中，A= 60°, A吐2,且厶ABC的面積為三3,貝U BC的長(zhǎng)為()A.2B. 3C.2 3D.2解析 因?yàn)镾= 2X ABX ACsin A= 2 2%今心今，所以AC= 1,所以 BC = AW+ AC-2AB- ACcos 60 °= 3,所以BC= 3.答案 B5. 在厶ABC中, acos A= bcos B,則這個(gè)三角形的形狀為 .解析 由正弦定理，得sin Acos A= sin Bco

6、s B,即 sin 2 A= sin 2 B,所以 2A= 2B或 2A=n 2B,n即 A= B 或 A+ B= "2,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 在厶ABC中，已知a=2, b= 6, A= 45°,則滿足條件的三角形有( )A.1個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.無(wú)法確定(2016 天津卷)在厶 ABC中, 若 A吐 不，BO 3, Z C= 120°,則 AO ()A.1B.2C.3D.4(2015 廣東卷)設(shè)厶ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a= 3,sin1n B

7、= 2，C= _，則 b =解析(1) v bsinA=6X.3, bsi nA<a<b.滿足條件的三角形有2個(gè). 在厶ABC中,設(shè)A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c.則由c2 = a2+ b2 2abcos C, 得 13= 9+ b2 + 3b, 即卩 b2 + 3b 4 = 0,解得 b= 1,因此 AC= 1.1n5 n因?yàn)閟in B=且B (0 ,n )，所以B=g或B=-.nn2 n又 C= -, B+ C<n，所以吐石，A=n B又a=12可得 sin A= 5, sin C= 3,由正弦定理得品為即打亍訂， 解得b= 1.答案 (1)B(2)A(3)1

8、【訓(xùn)練1】（1）（2017 長(zhǎng)沙模擬）在厶ABC中,角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b,c.若 a= 13, b = 3, A= 60°，則邊 c=（）A.1B.2C.4D.6（2016 全國(guó)U卷） ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a,b, c,若 cos A=455, cos C= 13， a=1,貝U b=2222解析 (1) a = c + b 2cbcos A? 13= c + 9 2cx 3X cos 60 =0,解得c= 4或c = 1(舍去).，即2c 3C 4在 ABC中，由 cos A= 4,cos C=尋,sin B= sin( A+ C) = sin

9、AdosC+ cos Asin C= 65,65由正弦定理得b =衆(zhòng)二21答案(1)C13考點(diǎn)二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀（典例遷移）【例2】（經(jīng)典母題）設(shè)厶ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為C+ ccos B= asin人則厶ABC的形狀為（）a, b，c，若 bcosA.銳角三角形B.直角三角形解析由正弦定理得sin Bcos C+ sin Ccos B= sin 2A,2 sin( B+ C) = sin A,即 sin( n A) = sin 2A, sin A= sin 2A- nA (0 ,n ) , sin A>0,a sin A= 1，即 A=答案 B【遷移

10、探究1】 將本例條件變?yōu)椤叭?sin Acos B= sin C”那么 ABC一定是 ( )B.等腰三角形D.等邊三角形A.直角三角形C.等腰直角三角形解析 法一 由已知得 2sin Acos B= sin C= sin( A+ E) = sin Acos B+ cos AsinB, 即 sin( A B) = 0,因?yàn)橐籲 <A B<n,所以 A= B.法二 由正弦定理得2acos B= c,由余弦定理得2a 2 | 2 2a + cb 二c? a2二b2?2aca= b.答案 B【遷移探究2】 將本例條件變?yōu)椤叭?ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sin A： sin B： sinC= 5

11、： 11 ： 13”，則 ABC )A. 一定是銳角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是鈍角三角形D. 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形解析 在厶ABC中, sin A： sin B : sin C= 5 ： 11 ： 13, a : b : c= 5 ： 11 : 13,故設(shè)a = 5k, b= 11k , c = 13k(k>0)，由余弦定理可得a2+ b2 c2 25k2+ 121k2 169k223cos 3 2ab 二2X 5X 11k2二-莎<0，n又 t C (0 , n ) , C , n , ABC為鈍角三角形.答案 C【遷移探究3】 將本例條件變?yōu)椤叭鬭

12、2 + b2 c2= ab,且2cos Asin B= sin C”, 試確定 ABC的形狀.解法一利用邊的關(guān)系來(lái)判斷:由正弦定理得sin C c sin B_ b，由 2cos Asin B= sin C,有 cosA=sin C c2sin B= 2b.又由余弦定理得cos A=b2 + c2 a22bc，c b + c a r 2222:2b=2bc ，即 c 二 b + c a，所以a2二b2,所以a= b.又a2 + b2 c2= ab./. 2b2 c2 = b2, 所以 b2= c2,.，. b = c, a a= b = c. ABC為等邊三角形.法二利用角的關(guān)系來(lái)判斷：/ A

13、+ B+ C= 180°,. sin C= sin( A+ E),又 v2 cos Asin B= sin C,Asin B,A= B.a 2cos Asin B= sin Acos B+ cosa sin( A B) = 0,又 A與B均為 ABC的內(nèi)角，所以 又由 a2 + b2 c2 = ab,ab 1 =2ab= 2、a2 + b2 c2由余弦定理，得cos c=2ab "又 0° vC<180°,所以 c= 60°, ABC為等邊三角形.考點(diǎn)三和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題【例3】（2016 全國(guó)I卷） ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊

14、分別為a, b, c，已知2cos q acos B+ bcos A） = c.求C;(2) 若c= . ABC勺面積為攀，求厶ABC勺周長(zhǎng).解 由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B+ sin B - cos A) = sin C, 2cos Gsin( A+ B) = sin C,故 2sin Ccos C= sin C.由 C (0 ,n )知 sin O 0,1n可得cos c=，所以c=3.1 3S3由已知，qabsin C=-,n又 C= -3，所以 ab= 6,2 2 2 2由已知及余弦定理得，a + b -2abcos C= 7,故a + b = 13,從而(a

15、+ b)(2)由(1)知 cos C2，又 a+ b = 13, c = 7, 由余弦定理得 c2= a2 + b2 2abcos C= (a+ b)2 3ab= 169 3ab= 49,解得 ab =40.= 25.所以 ABC的周長(zhǎng)為5+ 7.【訓(xùn)練2】(2017 日照模擬)在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,滿足(2a-b)cos C ccos B= 0.(1)求角C的值； 若三邊a, b, c滿足a+ b= 13, c = 7,求厶ABC的面積.解 根據(jù)正弦定理，(2a b)cos C ccos B= 0 可化為(2sin A sin B)cos C sin Cc

16、os B= 0.整理得 2sin Acos C= sin Bcos C+ sin Ccos B= sin( B+ C) = sin A1I 0<A<n,. sin 心 0,二 cos C= .n又 I 0<C< n,. C-3.2absinC= 2X 40X sin nr =2310 3.3基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時(shí)：40分鐘）一、選擇題1.（2017 哈爾濱模擬）在厶ABC中, A吐 3, AC= 1, B= 30°,AABC的面積為3 則 C=（）A.30 °B.45 °C.60 °D.75 °1y3解析法一 T &am

17、p; ABC=廠,即 3X 1X Sin A=¥，. sin A= 1,由 A (0 ° , 180° )，二 A= 90°,二 C= 60° .故選 C.sin B sin C 1 sin C法二由正弦疋理，得k二右，即肯常,sin C23, 又 C (0 ° , 180° )，二 C= 60° 或 C= 120° .當(dāng) C= 120° 時(shí)，A= 30°,xR I3Sa abk 4 工亍(舍去).而當(dāng) C= 60° 時(shí)，A= 90 °,Saab=于，符合條件，故C

18、= 60° .故選C.答案 C2.在厶ABC中，角A, B, C對(duì)應(yīng)的邊分別為a, b, c,若A= ； , a = 2, b=,則B等于（）_ 5 nB.-6n亠5 nC.石或-6解析/ A=3 ,吐2, b=守,由正弦定理計(jì)七可得,bsinB= sina2,3A 3312 2 2答案 D3. （2017 成都診斷）在厶ABC中,OB a -P ccos2 = 2孑（a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)迦，則 ABC的形狀為（）B.直角三角形A.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形B a+ c解析因?yàn)閏os 2=_2了,cosaB= c,Ba+ c所以2cos

19、 - 1=廠1,所以2 c4. ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,則 “a>b” 是“ cos 2Av cos 2B'A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件. , 2 2 2 2解析 因?yàn)樵?ABC中, a>b? sin A>sin B? sin A>sin B? 2sin A>2sin B? 12sin 2 -2a + c b a222所以 +2ac二 a，所以 c2二 a2+ b2.所以 ABC為直角三角形答案 BAv 1 2sin 2B? cos 2 Av cos 2 B.所以“ a>

20、b” 是“ cos 2 Av cos 2 B” 的充分必要條件.答案 C5. （2016 山東卷）在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是a, b, c，已知b = c,a2 3= 2b2（1 sin A），貝U A=（）A.3nA），所以 cos A= sin A,n即tan A= 1，又知A （0 ,n ），所以A=匸，故選C.答案 C二、填空題6. （2015 重慶卷）設(shè)厶ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,且a = 2, cos1C=一二，3sin A= 2sin B,則 c=4解析 由3sin A= 2sin B及正弦定理，得3a= 2b,又a = 2,所以b =

21、 3,故c2122=a + b 2abcos C= 4+ 9 2X2X 3X 4 = 16,所以 c = 4.答案47. （2017 江西九校聯(lián)考）在厶ABC中,角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c，若角A, B, C依次成等差數(shù)列，且a= 1, b= . 3, 則 Sk ABC=.1解析 因?yàn)榻茿, B, C依次成等差數(shù)列，所以B= 60° .由正弦定理，得 二3 1羸我，解得sin f 因?yàn)椤?#176;< AV 18。，所以A30或150 （舍去）,此時(shí)C= 90解析 在厶 ABC中, a = b + C 2bc cos A,2 n將 a=3，3c 代入，1可得(

22、3c)2= b2 + c2 2bc 2 ,整理得 2c2 = b2+ bc. cm 0,.等式兩邊同時(shí)除以c2,2 b+c，r b可解得c二1.答案1三、解答題9. （2015 天津卷）在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c.已知 ABC1的面積為 3 . 15, b c = 2, cos A= 4.求a和sin C的值；n求cos 2A+ y的值.解 在厶ABC中，由cos A= 4,可得sin由 Saabc=1 qbcs inA= 3 75,得 bc= 24,又由 b c = 2,解得 b= 6, c = 4.由 a2= b2 + c2 2bccos A,可得 a =

23、 8.a csin A sin C得sinc=158(2)cos=-23(2cos 2A 1) 2sinA - cos A=.15 7316nnn2A+= cos 2 A- cos sin 2 A - sin 66610. （2015 全國(guó)U卷）在厶ABC中, D是BC上的點(diǎn)，AD平分/ BAC BD= 2DC(1)求迥總sin C若/ BAG60°，求/ B.解（1）由正弦定理得BDADADsin B sin Z BAD sin C sin Z CADDCsin B DC 1因?yàn)閍d平分Z BAC BD= 2DC所以亦rBD= 2. 因?yàn)? C= 180° ( / BA肆

24、/ B)，/ BAG 60°,所以 sin C= sin ( Z BAOZ B) = fcos B+ gsin B.由 知 2sin B= sin C,所以 tan B=g,即/ B= 30° .能力提升題組（建議用時(shí)：20分鐘）11. （2017 鄭州調(diào)研）在厶 ABC中, sin 2Aw sin 2B+ sin 2C sin Bsin C,則 A 的取 值范圍是（C. 0,nD. §，n解析由已知及正弦定理有a2< b2+ c2 be,由余弦定理可知a2 = b2 + c2 2bccos A,1'于b + c 一2bccos Aw b + c 一

25、 bc, cos A2,在厶 ABC中, A (0 ,n ).n由余弦函數(shù)的性質(zhì)，得0<Aw§.答案 C12.在厶ABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B,C所對(duì)的邊分別為a，b, c,若 Sk ABCr 2 3, aC,則 c =()acos B+ bcos A+ b = 6,Z= 2cosA.2 .：7B.4C.2 ；;3D.3 .'3解析acos B+ bcos A2cos C,由正弦定理,得 sin AcosB+ cos Asin B= 2sin Ccos C,sin( A+ B)=sin C= 2sin Ccos C,1 n由于 0vCvn, sin Cm0,. cos C= 2,二 C=3,2 3I S ABC= 2 3 = absin 十.ab= 8,a= 2, a = 4,又 a+ b = 6,解得 b = 4 或= 2,c = a + b 2abcos C= 4+ 16 8 = 12,. c=2 ,：3,故選 C.答案 C13. (2015 全國(guó)I卷)在平面四邊形A