高中數(shù)學(xué)必修三1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1、yOxP(x,y)的終邊的終邊P(x,y)的終邊的終邊yOx任意角的三角函數(shù)的定義xrMyMxryyOxP(x,y)的終邊的終邊P(x,y)的終邊的終邊yOxxrMyMxrysinyr cosxr tanyx 222rxy復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 回顧回顧三角函數(shù)的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式一:Zkk,sin2sinZkk,cos2cosZkk,tan2tan實質(zhì)：終邊相同，三角函數(shù)值相等用途：用途：可將任意角的三角函數(shù)化到可將任意角的三角函數(shù)化到0,2）的三角函數(shù)。）的三角函數(shù)。給定一個角給定一個角(1)終邊與角終邊與角的終的終邊邊關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱的角的角與與有什么關(guān)系有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之

2、間有它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系什么關(guān)系?探究探究+yxOP(x,y)公式二公式二sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tan單位圓單位圓(2)終邊與角終邊與角的終邊的終邊關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱的角與的角與有什么關(guān)系有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系關(guān)系?sin()=sincos()=costan()=tan公式三公式三yxOP(x,y)-單位圓單位圓(3)終邊與角終邊與角的終邊的終邊關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱的角與的角與有什么關(guān)系有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系關(guān)系?yxOP(x,y)-sin(-)=sincos(-)

3、=costan(-)=tan公式四公式四單位圓單位圓公式二公式二sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tansin()=sincos()=costan()=tan公式三公式三sin(-)=sincos(-)=costan(-)=tan公式四公式四+k2(kZ),的三的三角函數(shù)值角函數(shù)值,等于等于的的同名同名函數(shù)值函數(shù)值,前面加上一前面加上一個個把把看成銳角時看成銳角時原函數(shù)值原函數(shù)值的符的符號號.公式公式一一函數(shù)名不變，函數(shù)名不變，符號看象限符號看象限（將（將看成銳角）看成銳角）誘導(dǎo)誘導(dǎo)公式歸納公式歸納 公式一，二，三，四都叫做公式一，二，三，四都叫做誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式。 簡化成

4、簡化成 “函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限”的口訣。的口訣。 概括如下：概括如下： 的三角函的三角函數(shù)值等于數(shù)值等于 的的同名同名函數(shù)值，函數(shù)值， 前面加上一個把前面加上一個把 看成看成銳角時銳角時原函數(shù)值原函數(shù)值的符號。的符號。2 (),kk Z 練習(xí)練習(xí)將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù), ,并并填在題中橫線上填在題中橫線上 131 cos_; 2 sin 1_;93 sin_; 4 cos70 6_.54cos9sin1sin5cos7016例例1:求三角函數(shù)值求三角函數(shù)值: 002040cos4);316sin(3;311sin2;225cos

5、12245cos)45180cos(225cos) 1 ( :解233sin)34sin(311sin)2( 233sin)35sin(316sin)316sin(3 2160cos)60180cos(120cos)1203606cos(2040cos)2040cos(400000000典例品味典例品味)65sin(,31)6sin(:1)65cos(,31)6cos(:2挖掘角的相互關(guān)系，尋求誘導(dǎo)公式的應(yīng)用挖掘角的相互關(guān)系，尋求誘導(dǎo)公式的應(yīng)用互補關(guān)系互補關(guān)系能力能力 提升提升利用公式一四把利用公式一四把任意角任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為化為銳角銳角函數(shù)函數(shù), ,一般可按下面步驟進行一般

6、可按下面步驟進行: :任意負角的任意負角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)用公式用公式三或一三或一銳角三銳角三角函數(shù)角函數(shù)用公式用公式二或四二或四02的角的角的三角函數(shù)的三角函數(shù)用公式一用公式一)180cos()180sin()360sin()180cos()180cos()180sin()360sin()180cos(解：例例2:化簡化簡:1)cos(sinsin)cos()180(cos)180(sinsincos)180cos()180sin(sincos典例品味典例品味課堂課堂 練習(xí)練習(xí)53)7cos(,2 1、已知、已知 , 求求。的的值值)3sin( 2、已知、

7、已知 ,是第四象限角是第四象限角,則則 的的值是值是_. 53)sin()2cos( 的值cos-cossin3sin2求),(cos)3(sin2、已知3224、 在在ABC中，求證中，求證： （1）cos(A+B)=-cosC，（，（2）sin(A+B)=sinC. 【總一總總一總成竹在胸成竹在胸】 )2cos()2sin( kk )cos()sin( cossin 公式一：公式一：公式二公式二:公式三公式三:公式四公式四: cossin cossin )cos()sin( cossin )cos()sin( )2tan(k)tan(tantantan)tan(tan)tan(三角函數(shù)的誘

8、導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式: 簡記成簡記成 “函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限”的口訣。的口訣。(4)終邊與角終邊與角的終邊關(guān)于的終邊關(guān)于直線直線y=x對稱對稱的的角與角與有什么關(guān)系有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系什么關(guān)系?yxOy=xP(x,y)2sincos ,2cossin .2公式五公式五單位圓單位圓sincos ,2cossin .2 公式六公式六如何如何求求 的三角函數(shù)值？的三角函數(shù)值？2sincos ,2cossin .2公式五公式五 sin)2cos(cos)2sin( 公式六公式六:公式五公式五: sin)2cos(cos)sin( 2

9、的正弦的正弦(余弦余弦)函數(shù)值函數(shù)值,分別等于分別等于的余弦的余弦(正弦正弦)函數(shù)值函數(shù)值,前面加上一前面加上一個把個把看成銳角時原函看成銳角時原函數(shù)值數(shù)值的符號的符號. 2公式五和公式六實現(xiàn)了公式五和公式六實現(xiàn)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一公式一公式六公式六叫做叫做誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式函數(shù)名改變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限（將（將看成銳角）看成銳角）3sin ()cos23cos()sin2 1 1 、 求求 證證 ：( ( 1 1 ) )( ( 2 2 ) )典例品味典例品味例例3、證明：證明：注：這四個也是公式，與注：這四個也是公式，與公式五和公式六

10、公式五和公式六是一體！是一體！sincos ,2cossin .2公式五公式五sincos ,2cossin .2 公式六公式六)3cos(,31)6sin(:1)4sin(,31)4cos(:2挖掘角的相互關(guān)系，尋求誘導(dǎo)公式的應(yīng)用挖掘角的相互關(guān)系，尋求誘導(dǎo)公式的應(yīng)用互余關(guān)系互余關(guān)系能力能力 提升提升 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk公式一：公式一： 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式五：公式五：

11、 sin)2cos(cos)2sin( 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(口訣：口訣：奇變偶不變，符號看象限奇變偶不變，符號看象限意義：意義：212kkZkk（）的三角函數(shù)值）當 為偶數(shù)時，等于 的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把 看作銳角時原三角函數(shù)值的符號；）當 為奇數(shù)時，等于 的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把 看作銳角時原三角函數(shù)值的符號；【總一總總一總成竹在胸成竹在胸】口訣口訣：奇變偶不變：奇變偶不變，符號看象限，符號看象限例例4 4 : : 化簡：化簡：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2解：解：

12、)2sin(sin)cos(cos)2cos(sin)211cos()2(6cos)2(cossin)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2)cos()3sin()sin()29sin(cossinsincoscossinsin)cos()sin)(sin)(cos)(sin(原式原式tan)2cos()2sin(25sin2cos) 1 (例例5、化化簡下列各題簡下列各題: 23cos25sin4cos3sin2cos2sin233口訣口訣：奇變偶不變：奇變偶不變，符號看象限，符號看象限)32sin(232,31)6cos(.1，則課堂課堂 練習(xí)練習(xí)的值是則在第四象限，)23sin(,54)2cos(. 254.53.53.53.DCBA 3.3.已知已知 , ,為第三象限角為第三象限角, ,求求 的值的值 31)75cos(0)15sin()15cos(00課堂課堂 練習(xí)練習(xí) 的值求02