通信原理信號

1、.第第二二.22.1 信號的類型n確知信號確知信號任意時刻的信號取值都是確定的信號；可以用明確的數(shù)學表達式表示的信號。例如：指數(shù)信號、矩形脈沖信號等。n隨機信號隨機信號給定某一時刻，無法確定該時刻信號的取值；無法用確定的函數(shù)表示的信號，但信號有一定的統(tǒng)計規(guī)律。例如：語音信號、圖像信號等。energy signal.32.1 信號的類型n能量信號能量信號信號能量定義為能量有限的信號稱為能量信號，即 0 E n功率信號功率信號信號的功率定義為功率有限的信號稱為功率信號，即 0 P ) J ()d(lim2/2/2TTTttsE)W()d(1lim2/2/2TTTttsTPpower signal.

2、42.2 確知信號的性質(zhì)n功率（周期）信號的頻譜功率（周期）信號的頻譜 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)系數(shù)傅里葉級數(shù)頻率、角頻率和周期頻譜的振幅和相位nnnCCje22j0000de )(1TTtnnttsTCntnnCts0je)(00022Tf deterministic signals.52.2 確知信號的性質(zhì)n周期方波信號的頻譜周期方波信號的頻譜t)(0tfT220T0TO10nnCOkTkTtftftttf)()(2021)(002Sa22sin00000nTnnTCnFourier series.62.2 確知信號的性質(zhì)n能量（非周期）信號的頻譜密度能量（非周期）信號的頻譜密度 傅

3、里葉變換傅里葉變換傅里葉變換傅里葉逆變換傅里葉變換的另一種形式de )(21)(jtStsttsStde )()(jFourier transformffStsttsfStftfde )()(de )()(2j2j.72.2 確知信號的性質(zhì)n矩形脈沖信號的頻譜密度矩形脈沖信號的頻譜密度t22O)(tg1)(GO2021)(tttg2Sa2sin2)(Gspectral density.82.2 確知信號的性質(zhì)n功率（周期）信號的頻譜密度功率（周期）信號的頻譜密度 傅里葉變換傅里葉變換周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的頻譜密度nnntnnntnnnCCCtsS)(2e e)()(0jj00FFFnt

4、nnCts0je)(Fourier coefficients.9【例2.5】單位沖激函數(shù)及其頻譜密度。 解：單位沖激函數(shù)常簡稱為函數(shù)，其定義是： (t)的頻譜密度：00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj2.2 確知信號的性質(zhì).10(t)及其頻譜密度n 函數(shù)的物理意義：函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1 1的脈沖。的脈沖。n用抽樣函數(shù)用抽樣函數(shù)Sa(t)表示表示 函數(shù)：函數(shù)：Sa(t)Sa(t)有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)當當 k k 時，振幅時，振幅 ， 波形的零點間隔波形的零點間隔 0 0，故有故有 1)(dtktSaktt

5、t)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0.11函數(shù)的性質(zhì)對對f(t)的抽樣：的抽樣： 函數(shù)是偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)： 函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)：函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)：n能量信號的頻譜密度能量信號的頻譜密度S(f)和功率信號的頻譜和功率信號的頻譜C(jn 0)的區(qū)別的區(qū)別:S(f) 連續(xù)譜；連續(xù)譜； C(jn 0) 離散譜離散譜S(f)的單位：的單位：V/Hz； C(jn 0) 的單位：的單位：VS(f)在一頻率點上的幅度無窮小。在一頻率點上的幅度無窮小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu當當t10圖2

6、.2.6 單位階躍函數(shù).12 解：設(shè)一個余弦波的表示式為f (t) = cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計算，可以寫為參照式(2.2-19)，上式可以改寫為n引入(t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 頻譜密度(a) 波形【例2.6】試求無限長余弦波的頻譜密度.132.2 確知信號的性質(zhì)n周期方波信號的頻譜密度周期方波信號的頻譜密度t)(0tfT220T0TO1)(0TFOkTkTtftftttf)()(20

7、21)(00nTnnTF)(2Sa2)(0000periodic signal.142.2 確知信號的性質(zhì)n能量譜密度能量譜密度設(shè) s (t) 為能量信號，且它的頻譜密度為 S ()則由帕塞瓦爾定理得 s (t) 的能量為 能量譜密度函數(shù)的定義ffSSttsEd)(d)(21d)(222)HzJ ()()(2fSfGffGttsEd)(d)(2Energy Spectral Density (ESD).152.2 確知信號的性質(zhì)n矩形脈沖信號的能量譜密度矩形脈沖信號的能量譜密度t22O)(ts1)(SO2)Sa()(2Sa)(2021)(ffGSttts)( fGfOParsevals the

8、orem.162.2 確知信號的性質(zhì)n截短信號截短信號對于功率信號 s (t)，稱sT (t)為 s (t) 的截短信號。2|, 02|),()(TtTttstsTtruncated signals (t)tsT (t)t2T2TOO.172.2 確知信號的性質(zhì)n功率譜密度功率譜密度設(shè) sT (t) 的頻譜密度為 ST ( f )，則其能量 E 為s (t) 的功率為功率譜密度函數(shù)定義為Power Spectral Density (PSD)ffSttsttsETTTTd)(d)(d)(22222fTfSdttsTPTTTTTd)(lim)(1lim22/2/2)HzW()(lim)(2TfS

9、fPTT.182.2 確知信號的性質(zhì)n周期信號的功率譜密度周期信號的功率譜密度由帕塞瓦爾定理可得周期信號的功率周期信號的功率譜密度因為nnTTCttsTP2222000d)(1nnnffCfP)()(02nnCffPP2d)(aperiodic signal.192.2 確知信號的性質(zhì)n自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)能量信號的自相關(guān)函數(shù)功率信號的自相關(guān)函數(shù)ttstsRd)()()(22d)()(1lim)(TTTttstsTRautocorrelation function.202.2 確知信號的性質(zhì)n自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即 R() = R() 自相關(guān)函數(shù)在原點 = 0

10、處取得最大值，即 R(0) | R()|對于能量信號，R(0) 表示信號的能量，即對于功率信號， R(0) 表示信號的功率，即EttsRd)()0(2PttsTRTTT222d)(1lim)0(origin.212.2 確知信號的性質(zhì)n矩形脈沖信號的自相關(guān)函數(shù)矩形脈沖信號的自相關(guān)函數(shù)210211)(tttsO)(R111t21O)(ts1211011)(Rsquare wave.222.2 確知信號的性質(zhì)n互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)兩個能量信號的互相關(guān)函數(shù)兩個功率信號的互相關(guān)函數(shù)ttstsRttstsRd)()()(d)()()(21212112222121222112d)()(1lim)(d)()

11、(1lim)(TTTTTTttstsTRttstsTRcrosscorrelation function.232.2 確知信號的性質(zhì)n互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)若對所有的 ，R12() = 0，表示 s1(t) 與 s2(t) 互不相關(guān)；與自相關(guān)函數(shù)不同，一般情況下，R12() R21()；不難證明： R12() = R21()； R12(0) = R21(0)；R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 與 s2(t) 在無時差時的相關(guān)性，它的大小反映 s1(t) 與 s2(t) 的相似程度。uncorrelated.242.2 確知信號的性質(zhì)n能量信號的相關(guān)系數(shù)能量信號的相關(guān)系

12、數(shù)n功率信號的相關(guān)系數(shù)功率信號的相關(guān)系數(shù)2122212112d)(d)(d)()(ttsttsttsts2122222221222112d)(1limd)(1lim)()(1limTTTTTTTTTttsTttsTdttstsTcorrelation coefficients.252.2 確知信號的性質(zhì)n相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 12 ； 12 = +1 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全相似； 12 = 1 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全相似，但極性相反； 12 = 0 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全不相似，互為正交函數(shù)。similar.262.2 確知信號的性質(zhì)n能

13、量信號的相關(guān)定理能量信號的相關(guān)定理 維納維納-辛欽定理辛欽定理ffGffSfSfttsfStffStsttstsRffftftfde )(de )()(dede )()(dde )()(d)()()(2j2j2j2j)(2jcorrelation theorem)()(fGR.272.2 確知信號的性質(zhì)n功率信號的相關(guān)定理功率信號的相關(guān)定理 維納維納-辛欽定理辛欽定理)()(lim)()(limd)()(1limd)()(1lim)(222fPTfSRTRttstsTttstsTRTTTTTTTTTT)()(fPRViener-Khintchine Theorem.282.3 隨機信號的性質(zhì)n

14、概率的基本概念概率的基本概念單一事件 A 概率聯(lián)合事件 (A, B) 的概率1)(, 2 , 1),(lim1NiiiinAPNiAPnn)(),(),(),(, 2 , 1;, 2 , 1),(lim11iNjjijMijijiijnAPBAPBPBAPNjMiBAPnnprobability.292.3 隨機信號的性質(zhì)n條件概率條件概率在事件 A 出現(xiàn)的條件下，事件 B 出現(xiàn)的概率條件概率的性質(zhì)n統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立若 P(B | A) = P(B)，則 P(A, B) = P(A) P(B)稱 A 和 B 這兩個事件為統(tǒng)計獨立的。)(),()|(APBAPABP)()|()()|(),(BP

15、BAPAPABPBAPconditional probability.302.3 隨機信號的性質(zhì)n隨機變量隨機變量隨機變量的定義隨機變量定義為概率樣本空間的實值函數(shù)，記為 X。離散隨機變量若隨機變量的取值是有限的或者是可數(shù)無窮的，則稱之為離散隨機變量。連續(xù)隨機變量若隨機變量的取值是連續(xù)的，則稱之為連續(xù)隨機變量。random variable.312.3 隨機信號的性質(zhì)n概率分布函數(shù)的定義概率分布函數(shù)的定義隨機變量 X 的概率分布函數(shù)定義為 X 的取值小于或等于 x 的概率，即n概率分布函數(shù)的性質(zhì)概率分布函數(shù)的性質(zhì)FX () = 0FX (+) = 10 FX (x) 1若 x1 x2，則 FX

16、 ( x1 ) FX ( x2 )P(a X b ) = FX (b) FX (a) )()(xXPxFXCumulative Distribution Function (CDF).322.3 隨機信號的性質(zhì)n離散隨機變量的概率分布函數(shù)離散隨機變量的概率分布函數(shù)設(shè) X 的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別為p1, p2, , pi, , pn，則有ikkiXpxF1)(staircase1x2x3x6x4xxipO5xx1)(xFXO1x2x3x6x4x5x.332.3 隨機信號的性質(zhì)n連續(xù)隨機變量的概率分布函數(shù)連續(xù)隨機變量的概率分布函數(shù) 若 x1 x2， 則 FX ( x1

17、) FX ( x2 )n概率分布函數(shù)的一個特點是單調(diào)非減函數(shù)。概率分布函數(shù)的一個特點是單調(diào)非減函數(shù)。 x1)(xFXOnondecreasing.342.3 隨機信號的性質(zhì)n連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)的定義連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)的定義xxFxpXXd)(d)(Probability Density Function (PDF)x1)(xFXOx)(xpXO.352.3 隨機信號的性質(zhì)n連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)的性質(zhì)與概率分布函數(shù)的關(guān)系隨機變量的概率非負特性積分恒等于1xXXyypxFd)()(1d)(xxpX0)(xpXbaXxxpbXaPd)()(x)(

18、xpXOabintegral.362.3 隨機信號的性質(zhì)n離散隨機變量的概率密度函數(shù)離散隨機變量的概率密度函數(shù)離散隨機變量的概率分布函數(shù)的表示離散隨機變量的概率密度函數(shù)的定義性質(zhì)n當 x xi 時，pX (x) = 0，n當 x = xi 時， pX (x) = niiiXxxupxF1)()(niiiXxxpxp1)()(impulse.372.3 隨機信號的性質(zhì)n二維聯(lián)合概率分布函數(shù)二維聯(lián)合概率分布函數(shù)n二維聯(lián)合概率密度函數(shù)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)n統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立當且僅當則稱隨機變量 X 和 Y 是統(tǒng)計獨立的。),(),(yYxXPyxFXY),(),(2yxFyxyxpXYXY)()(),

19、(ypxpyxpYXXYjoint CDF and PDF.382.4 常見隨機變量舉例n正態(tài)分布隨機變量正態(tài)分布隨機變量222)(exp21)(axxpXnormal distribution)(xpXax.392.4 常見隨機變量舉例n均勻分布隨機變量均勻分布隨機變量其他01)(bxaabxpX)(xpXbxaab1uniform distribution.402.4 常見隨機變量舉例n瑞利分布隨機變量瑞利分布隨機變量bxbxabxbxaxpX0)(exp)(2)(2Rayleigh distribution)(xpXxb.412.5 隨機變量的數(shù)字特征n數(shù)學期望的定義數(shù)學期望的定義離散隨

20、機變量的數(shù)學期望連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望n數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)E(C) = CE(C X) = C E(X)E(C X) = C E(X)xxpxmXEXXd)()(iiiXpxmXE)(expectation.422.5 隨機變量的數(shù)字特征n方差方差方差的定義離散隨機變量的方差連續(xù)隨機變量的方差)()(22XXmXEXDiiXiXpmxXD22)()(xxpmxXDXXXd)()()(22variance.432.5 隨機變量的數(shù)字特征n方差方差方差的另一種表示標準偏差 X方差的性質(zhì)nD(C) = 0 nD(X C)=D(X)，D(CX) = C2D(X) 222222)()(

21、XXXXmXEmXmXEmXEXDstandard deviation.442.5 隨機變量的數(shù)字特征n矩矩k 階原點矩k 階中心矩性質(zhì)n一階原點矩為均值n二階中心矩為方差moment)()(kkXEXm)()(kXkmXEXMXmXEXm)()(122)()(XXDXM.452.5 隨機變量的數(shù)字特征n常見概率密度的均值和方差常見概率密度的均值和方差分布分布概率密度概率密度均值和方差均值和方差正態(tài)均勻瑞利222)(exp21)(axXxp其他01)(bxaabxpXbxbxabxxpabxX0exp)(2)(2)(22XXam12)(222abbamXX4)4(42aabmXXmean.46

22、2.5 隨機變量的數(shù)字特征n兩個隨機變量的數(shù)字特征兩個隨機變量的數(shù)字特征均值nE(X Y) = mX mY nE(XY) = mX mY X 和 Y 相互獨立方差相互獨立和 )()( 2)(2)(2)()()()(2222222222YXYXDmmXYEmYmXEmYmXmYmXEmYmXEYXEYXEYXDYXYXYXYXYXYXYXYXstatistically independent.472.5 隨機變量的數(shù)字特征n兩個隨機變量的數(shù)字特征兩個隨機變量的數(shù)字特征聯(lián)合原點矩聯(lián)合中心矩協(xié)方差歸一化協(xié)方差 yxyxpxxYXEXYjijidd),()()(YjXimYmXE)()()()()()

23、(YEXEXYEmYmXEYEYXEXEYXXYYXXYXYjoint moment.48關(guān)于不相關(guān)、正交與統(tǒng)計獨立的討論n獨立不相關(guān)正交獨立不相關(guān)正交n不獨立相關(guān)不正交不獨立相關(guān)不正交n統(tǒng)計獨立：若滿足或者統(tǒng)計獨立：若滿足或者則稱則稱X,Y相互統(tǒng)計獨立，若相互統(tǒng)計獨立，若X,Y相互獨立則有相互獨立則有反之則未必反之則未必n不相關(guān)：若協(xié)方差不相關(guān)：若協(xié)方差為零，此時歸一化協(xié)方差為零，則兩隨機為零，此時歸一化協(xié)方差為零，則兩隨機變量不相關(guān)。因此若統(tǒng)計獨立必然不相關(guān)，反之則未必，變量不相關(guān)。因此若統(tǒng)計獨立必然不相關(guān)，反之則未必，但對高斯過程，反之亦然但對高斯過程，反之亦然n若，則稱若，則稱X,Y相

24、互正交相互正交,反之亦然。反之亦然。)()(),(,yfxfyxfyxyx必必未必（高斯型除外）未必必未必未必必) 1(YXXYXY0)(XYE)()(),(,yFxFyxFyXyx)()()(YEXEXYEYXYXXYmmXYEYEXEXYEmYmXE)()()()()(.492.6 隨機過程n隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念隨時間變化的隨機變量稱為隨機過程，X(t)Xi(t) 為 X(t) 的一個樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，是確定的時間函數(shù)X(tk) 為隨機變量t)(tXO)(1tX)(2tX)(tXnktrandom process.502.6 隨機過程n隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征統(tǒng)計

25、平均值)(d);()(tmxtxxptXEXXt)(tXO)(tmXstatistical average.512.6 隨機過程n隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征方差)()()()(22ttmtXEtXDXXOt)(tY)(tmYOt)(tX)(tmXsample function.522.6 隨機過程n隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)用自相關(guān)函數(shù)表示方差當 t1 = t2 = t，有于是，方差可表示為)()(),(2121tXtXEttRX)()()(),(),(221tXEtXtXEttRttRXX)(),()()()(222tmttRtmtXEXDXXXmean squ

26、are.532.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程嚴格平穩(wěn)隨機過程的定義一個隨機過程 X(t)，若它的 n 維概率密度函數(shù) pX (x1, x2, xn; t1, t2, tn) 不隨時間起點的選擇不同而改變，即，對任何的 n 和， X(t) 的n 維聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足pX (x1,x2,xn;t1,t2,tn) = pX (x1,x2,xn;t1,t2 ,tn ) 則稱 X(t) 為平穩(wěn)隨機過程。嚴格平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)stationary process.542.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程的兩個典型例子平穩(wěn)隨機過程的兩個典型例子Ot)(tYYmYYmYYmOt)(tX

27、XmXXmXXmtime independent.552.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性平穩(wěn)隨機過程的均值平穩(wěn)隨機過程的方差平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)XXXXmxxxpxtxxptmd)(d);()(222)()()(XXXtmtXEt)()()(),(21XXRtXtXEttRtime difference.562.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程的定義n嚴格平穩(wěn)隨機過程與廣義隨機過程的關(guān)系嚴格平穩(wěn)隨機過程與廣義隨機過程的關(guān)系嚴格平穩(wěn)隨機過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機過程；廣義平穩(wěn)隨機過程不一定是嚴格平穩(wěn)隨機過程。為廣義平穩(wěn)隨機過程。則稱滿足若隨機過

28、程 )( )()(),()()( )( 212122tXRttRttRtmtmtXXXXXXXXwide-sense stationary.572.6 隨機過程n各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性統(tǒng)計平均對隨機過程的大量樣本函數(shù)用統(tǒng)計方法求平均而得到的數(shù)字特征。時間平均對隨機過程的任一樣本函數(shù)以時間為變量求平均而得到的數(shù)字特征?！案鲬B(tài)歷經(jīng)”的含義隨機過程的任一樣本函數(shù)都經(jīng)歷了隨機過程所有可能的狀態(tài)。ergodic process.582.6 隨機過程n各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性嚴格意義的各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程的各種時間平均值以概率1等于各相應的統(tǒng)計平均值，稱為各態(tài)歷經(jīng)過程。X(t) 的時間均值X(t) 的時間自相關(guān)函

29、數(shù)22d)(1lim)(TTitittXTtX22d)()(1lim)()(TTiitiittXtXTtXtXergodicity.592.6 隨機過程n各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性設(shè) Xi(t) 為隨機過程 X(t) 的一個實現(xiàn)，若以概率1成立，則稱 X(t) 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性；設(shè) Xi(t) 為隨機過程 X(t) 的一個實現(xiàn)，若以概率1成立，則稱 X(t) 的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性；若X(t) 的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱 X(t) 為廣義各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。)()()(XiiRtXtXXimtX)(time average.602.6 隨機過程n各態(tài)歷經(jīng)和非各態(tài)歷經(jīng)過程實例各態(tài)歷

30、經(jīng)和非各態(tài)歷經(jīng)過程實例各態(tài)歷經(jīng)過程一定是嚴格平穩(wěn)隨機過程嚴格平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tY)(1tY)(2tY)(3tY)(4tYensemble average.612.6 隨機過程n信號的物理量與統(tǒng)計值信號的物理量與統(tǒng)計值信號的統(tǒng)計值信號的統(tǒng)計值信號的物理量信號的物理量直流分量直流分量的功率交流分量的功率平均功率有效值交流分量的有效值Xm2Xm2X)(2tXE212)(tXEXcomponent.622.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)的功率為平穩(wěn)隨機過程 )( )()0(2tXPPtXERXXX)()(XX

31、RR)()0(RRX中直流分量的功率為平穩(wěn)隨機過程 )( )()()(2tXRtXERXX中交流分量的功率為平穩(wěn)隨機過程 )( )()0(22tXRRXXXXinfinite.632.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)信號 s(t) 的功率譜密度函數(shù)隨機過程 X(t) 中一個樣本 Xi(t) 的功率譜密度隨機過程 X(t) 的功率譜密度TfSfPTT2)(lim)(TfXfPiTTXi2)(lim)(TfXEfPTTX2)(lim)(even function.642.6 隨機過程n平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的

32、關(guān)系n平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質(zhì)PX ( f ) 0PX ( f ) 為實函數(shù)PX ( f ) 為偶函數(shù)ffPRRfPfXXfXXde )()(de )()(j2j2ffPRPXXXd)()0(real function.652.6 隨機過程n隨機相位正弦波的自相關(guān)函數(shù)隨機相位正弦波的自相關(guān)函數(shù)式中 A 和 fc 常量； 為符合均勻分布的隨機變量：先求X(t)的數(shù)學期望021sin2sin21cos2cossin2sincos2cos)2cos()(dtfAdtfAtftfEAtfAEtmcccccx)2cos()( tfAtXc其他021)( prandom p

33、hase)(tmx.662.6 隨機過程n由于X(t)的數(shù)學期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與時間t無關(guān)，因此X(t)為寬平穩(wěn)的隨機過程。)2cos(2)2cos(2d)224cos(212)2cos(2)224cos(2)22cos()2cos()()()(222222ccccccccccXfAfAftfAfEAftfEAftftfAEtXtXER 再求X(t)的自相關(guān)函數(shù)：.67【例2.7】設(shè)有一個二進制數(shù)字信號x(t)，如圖所示，其振幅為+a或-a；在時間 T 內(nèi)其符號改變的次數(shù)k服從泊松分布 式中，是單位時間內(nèi)振幅的符號改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)R()和功率譜密度P(f)。0,!)()(kk

34、eTkPTk+a-ax(t)tt0t-2.6 隨機過程.68解：由圖可以看出，乘積x(t)x(t-)只有兩種可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化簡為： R() = a2 a2出現(xiàn)的概率 + (-a2) (-a2)出現(xiàn)的概率式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布 P(k)計算。若在 秒內(nèi)x(t)的符號有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn) + a2;若在 秒內(nèi)x(t)的符號有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn) - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 1

35、1 )(eaeeaeaR2.6 隨機過程.69由于在泊松分布中 是時間間隔，所以它應該是非負數(shù)。所以，在上式中當取負值時，上式應當改寫成將上兩式合并，最后得到：其功率譜密度P( f )可以由其自相關(guān)函數(shù)R()的傅里葉變換求出： 22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj2.6 隨機過程.702.6 隨機過程n實例：隨機電報碼波形實例：隨機電報碼波形電報碼波形在時間 t 內(nèi)符號改變的次數(shù) k 符合泊松分布自相關(guān)函數(shù)功率譜密度t)(txO110!)()(kketkPtkPoisson distribution)(XROf)( fPXO2

36、e)(XR22)2(44)(ffPX.712.6 隨機過程n實例：頻帶隨機過程實例：頻帶隨機過程功率譜密度自相關(guān)函數(shù))(XR其他0)(00fffffAfPX )2cos()2(Sa4)(0fffARX f)( fPXO0f0fAf 2bandpass noise.722.6 隨機過程n實例：白噪聲實例：白噪聲白噪聲的功率譜密度白噪聲的自相關(guān)函數(shù)white noise2)(0nfPn)(2)(0nRnf)( fPnO20n)(nRO20n.732.6 隨機過程n實例：帶限噪聲實例：帶限噪聲帶限噪聲的功率譜密度帶限噪聲的自相關(guān)函數(shù)band limited noise)(nROf)( fPnO20n

37、HfHf其他02)(HH0fffnfPn)2(Sa2)(HH0ffnRn.742.7 高斯過程n高斯過程的一維概率密度函數(shù)高斯過程的一維概率密度函數(shù) a 為均值 2 為方差 為標準偏差Gaussian process222)(exp21);(axtxpX)(xpXax5 . 012.752.7 高斯過程n高斯過程的二維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)高斯過程的二維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)若這兩個隨機變量互不相關(guān)，即 12 = 0，則222222122111221211212212212121)()(2)()1 (21exp121),;,(axaxaxaxttxxpX);();(2)(exp212)(exp21

38、),;,(22112222212121112121txptxpaxaxttxxpXXXtwo-dimensional.762.7 高斯過程nn 維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)njnkkkkjjjjknniinnnXaxaxtttxxxp1121221211exp)2(1),;,(BBBkjkkjjjknnnnnnaXaXEbbbbbbbbbb)(212212111211BB為歸一化協(xié)方差矩陣的代數(shù)余子式中元素為行列式j(luò)kjkbBBcovariance.772.7 高斯過程n高斯過程的定義高斯過程的定義若對于任何有限時刻 ti(i = 1, 2, , n)，隨機過程 X(t) 的任

39、意 n 維聯(lián)合概率密度函數(shù)符合高斯分布，則該隨機過程稱為高斯隨機過程。t)(tXOjtktdefinition.782.7 高斯過程n高斯過程性質(zhì)高斯過程性質(zhì) 1高斯過程的 n 維概率密度函數(shù)由各個時刻相應的隨機變量的均值集合和協(xié)方差函數(shù)集合完全確定。niatXEmiiXi, 2 , 1)(nkjmtXmtXttCkjXkXjkjX, 2 , 1,)()(),(mean set.792.7 高斯過程n高斯過程性質(zhì)高斯過程性質(zhì) 2平穩(wěn)高斯過程的定義若則高斯過程平穩(wěn)。對高斯過程而言，當它滿足廣義平穩(wěn)條件時，也必然是嚴格平穩(wěn)的。)(),(, 2 , 1,22kjXkjXXXiXXttCttCnkji

40、aammii或satisfy.802.7 高斯過程n高斯過程性質(zhì)高斯過程性質(zhì) 3若任意兩個時刻 tj 和 tk 的隨機變量 X(tj) 和 X(tk) 兩兩互不相關(guān)，即則 n 維概率密度函數(shù)成為對高斯過程而言，不相關(guān)和統(tǒng)計獨立是等價的。kjnkjttCkjX;, 2 , 1,0),();();();(2)(exp21),;,(22111222121nnXXXniiiiinnXtxptxptxpaxtttxxxpequivalent.812.7 高斯過程n正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于 x = a 對稱；當 x a，單調(diào)升；當 x a，單調(diào)降；積分面積為1；當 a = 0， =

41、 1 時為標準化正態(tài)分布。x)(xpXOa21normalization.822.7 高斯過程n正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)x1)(xFXOx)(xpXOaxzazxFxXd2)(exp21)(22distribution function.832.7 高斯過程n誤差函數(shù)誤差函數(shù)n補誤差函數(shù)補誤差函數(shù)xzzx02)dexp(2)(erfxzzx)dexp(2)(erfc2x1)(erf xO1x1)(erfc xO1error function.842.7 高斯過程n誤差函數(shù)與補誤差函數(shù)的關(guān)系誤差函數(shù)與補誤差函數(shù)的關(guān)系n正態(tài)分布函數(shù)與誤差函數(shù)的關(guān)系正態(tài)分布函

42、數(shù)與誤差函數(shù)的關(guān)系n正態(tài)分布函數(shù)與補誤差函數(shù)的關(guān)系正態(tài)分布函數(shù)與補誤差函數(shù)的關(guān)系1)(erfc)(erfxx2erf2121)(axaxxFX2erfc211)(axaxxFXcomplementary error function.852.7 高斯過程n加性高斯白噪聲加性高斯白噪聲噪聲功率譜密度為常數(shù)，即噪聲幅度符合高斯分布，即Additive White Gaussian Noise (AWGN)f)( fPnO20n2)(0nfPn222)(exp21)(axxpXx)(xpXO.862.8 窄帶過程n窄帶隨機過程的功率譜密度窄帶隨機過程的功率譜密度帶寬 f 有限，且 f fcn窄帶隨機

43、過程的時域表達窄帶隨機過程的時域表達aX(t) 為 X(t) 的隨機包絡(luò)，X (t) 為 X(t) 的隨機相位ffc fcOPX ( f )(cos)()(tttatXXcXtX(t)Onarrowband process.872.8 窄帶過程n窄帶隨機過程在時域的正交分解窄帶隨機過程在時域的正交分解)()(arctan)()()()(sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()(22tXtXttXtXtattXttXtttatttatttatXcsXscXcsccXcXXcXXcX為正交分量為同相分量)()(tXtXscin-phase component.8

44、82.8 窄帶過程nXc(t) 和和 Xs(t) 的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性設(shè) X(t) 是均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則EXc(t) = EXs(t) =0Xc(t) 和 Xs(t) 也是廣義平穩(wěn)的在同一時刻上得到的 Xc(t) 和 Xs(t) 是不相關(guān)的和統(tǒng)計獨立的。Xc(t) 和 Xs(t) 也是高斯過程；quadrature component222scXXX.892.8 窄帶過程naX (t) 和和 X (t) 的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性窄帶平穩(wěn)過程的包絡(luò)符合瑞利分布窄帶平穩(wěn)過程的相位符合均勻分布20,21)(XXp0,2exp)(222XXXXXXaaaap.90n研究正弦波加窄帶高斯噪聲的目

45、的研究正弦波加窄帶高斯噪聲的目的很多信號可以近似看作正弦信號；信道通常是有限帶寬的；信道噪聲可以看成加性高斯過程。n正弦波加噪聲的時域表達式正弦波加噪聲的時域表達式式中，A 正弦波的確知振幅； 0 正弦波的角頻率； 正弦波的隨機相位； n(t) 窄帶高斯噪聲。2.9 正弦波加窄帶高斯過程)()cos()(0tntAtrrandom phase.912.9 正弦波加窄帶高斯過程nr (t) 的包絡(luò)的概率密度的包絡(luò)的概率密度式中， 2 n(t) 的方差； I0() 零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。r (t)的包絡(luò)符合廣義瑞利分布，也稱萊斯分布；當 A 很小時，即信噪比很小，該分布趨于瑞利分布；當 A 很

46、大時，即信噪比很大，該分布趨于高斯分布。0,21exp)(222202xAxAxIxxprRician distribution.92nr (t) 包絡(luò)的概率密度曲線包絡(luò)的概率密度曲線瑞利分布222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51dB 710.60.50.40.30.20.1O24681012xpr (x)2.9 正弦波加窄帶高斯過程modified Bessel function.932.9 正弦波加窄帶高斯過程nr (t) 相位的概率密度相位的概率密度設(shè) 為 r (t) 的相位，它包含正弦信號相位 和噪聲相位兩部分。 為零時的 r (t) 相位條件概率密度為：當信噪比很小

47、時，相位趨于均勻分布；但信噪比很大時，相位趨于沖激函數(shù)。2cos)exp(erf(G)11exp21)(222AGGGApr式中，Signal-to-Noise Ratio (SNR).94nr (t) 相位的概率密度曲線相位的概率密度曲線222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51均勻分布pr ( / )3.02.52.01.51.00.5O1264312521273243652.9 正弦波加窄帶高斯過程curve.952.10 信號通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)時域關(guān)系頻域關(guān)系系統(tǒng)沖激響應：h( t )頻率響應：H( f )x( t )X( f )y( t )Y( f )輸入輸出)()()(thtxty)()()(fHfXfYimpulse response.96例2.10若有一個RC低通濾波器，如圖2.10.