向量數(shù)乘運算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計

1、向量數(shù)乘運算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計一、教材分析1. ?新課程標(biāo)準(zhǔn)?的解讀分析向量具有豐富的現(xiàn)實背景和物理背景，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，是重要的數(shù)學(xué)模型。在本模塊的教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生使用計算器和電腦探索和解決問題。在相應(yīng)的內(nèi)容中可以插入數(shù)學(xué)探究或數(shù)學(xué)建?；顒印?. 在整個高中教材中的地位和作用。向量，具有“數(shù)與“行的雙重身份，是處理問題的一種工具，作用非常大，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。3. 本章節(jié)地位、本節(jié)的邏輯關(guān)系。向量數(shù)乘運算及其幾何意義位于人教版?必修4?223節(jié)，在本章節(jié)中起著承前起后的作用。學(xué)生在掌握向量加法、減法的根底上，學(xué)習(xí)實數(shù)與向量的積的運算已無多大困難。通過前面學(xué)習(xí)

2、兩個向量的運算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化 為數(shù)與向量的聯(lián)系，是后面學(xué)習(xí)平面向量根本定理的根底。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計一教學(xué)重難點重點：掌握實數(shù)與向量的積的定義、運算律，理解向量共線定理。難點：向量共線定理的探究及其應(yīng)用。二三維目標(biāo)設(shè)計1. 知識與技能：通過實例，掌握向量數(shù)乘運算，理解其幾何意義，理解向量共線定理。熟練運用定義、運算律進(jìn)行有關(guān)計算， 能夠運用定理解決向量共線、三點共線、直線平行等問題。2. 過程與方法：理解掌握向量共線定理及其證明過程，會根據(jù)向量共線定理判斷兩個向量是否共線。3. 態(tài)度情感與價值觀：通過由實例到概念，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識形成的過程的能力，合作釋疑過程中合作交流的 能力。

3、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情感，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度，勇于創(chuàng)新的精神。三教情學(xué)情分析本節(jié)課是為高一 8班的數(shù)學(xué)教學(xué)而設(shè)計的，因為我任教的是高三，所以對本班級的一些情況缺乏了解。通過 與任課教師以及所在班學(xué)生的交流得知，前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)完向量的加減運算，學(xué)生具備一定的獨立思考，合作釋 疑的能力。因此，本節(jié)課采用“探究釋疑的授課方式，既能充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動性，又能到達(dá)預(yù)期的教學(xué)目 的。四教學(xué)預(yù)設(shè)前制定的預(yù)習(xí)提綱一、根本知識點1. 一般地，我們規(guī)定 ，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作 ，它的長度和方向規(guī)定如下：122. 向量數(shù)乘的運算律：1結(jié)合律2 第一分配率第二分配率二、三基自測

4、1. 計算 5 3a-2 b+4 2b-3 a=a與 b 不共線，假設(shè)AB = a + b , BC=2a+8b , CD 3a- b求證：A B D三點共線。五教學(xué)策略通過探究、啟發(fā)、當(dāng)堂訓(xùn)練的教學(xué)程序，采用啟發(fā)式講解、互動式討論、反應(yīng)式評價的授課方式，培養(yǎng)學(xué)生 的自學(xué)能力和分析解決問題的能力，借助多媒體輔助教學(xué)，到達(dá)增加課堂效率的目的，營造生動活潑的課堂教學(xué) 氣氛。三、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計課題:向量數(shù)乘運算及其幾何意義課型:復(fù)習(xí)課教法:探究釋疑和多媒體輔助教學(xué)的方法教具:多媒體及課件輔助教學(xué)【教學(xué)程序】r氣.信F白昌軸十口盤注一乂 J 1注h j /jh |丿壞 n尸-探究數(shù)乘向二量的定義-

5、9;探究數(shù)乘向,量的定義f.探究米倉乘向量的運算律1爾 以 PmHFH題與練習(xí)【教學(xué)過程】一引入1. 復(fù)習(xí)向量的加法、減法，溫故而知新，采用提問的形式。問題1 :向量加法的運算法那么？問題2:向量減法的幾何意義？學(xué)生答復(fù)完畢后，教師通過多媒體上的圖像讓學(xué)生更直觀感受。向量的加法：三角形法那么首尾相連和平行四邊形法那么共起點。向量的減法：OA a，OB b _那么BA a b。共起點，連終點，方向指向被減數(shù)。2. 問題情境：一質(zhì)點從點 o出發(fā)做勻速直線運動，假設(shè)經(jīng)過is的位移對應(yīng)的向量用 a表示，那么在同方向 上經(jīng)過3s的位移所對應(yīng)的向量可用 _來表示。這是何種運算的結(jié)果？啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這些公式

6、都是實數(shù)與向量間的關(guān)系3. 【探究1】非零向量a，作出a a a和(a)(a)，你能說處他們的幾何意義嗎？aOaa a a-ab-a-ap問題1:相加后，和的長度和方向有什么變化？問題2:這些變化與哪些因素有關(guān)？將學(xué)生分成兩組，第一組：a a a ；第二組：(a) ( a)。讓學(xué)生在白紙上作出圖像，并討論兩個問題。最后學(xué)生之間互相交流，總結(jié)結(jié)論。生：3a與a方向相同且3 a 3 a ；生：2a與a方向相反且2 a 2 a師：非常好！教師通過多媒體，看長度和方向的圖像變化形式。二新課講解a的積？啟發(fā)學(xué)生從以下角度思考:請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)入與向量 向量？長度？方向？根

7、據(jù)學(xué)生總結(jié)，讓學(xué)生看大屏幕。一般地，我們規(guī)定實數(shù)入與向量 的數(shù)乘，記作：1a的積是一個向量，這種運算叫做向量 它的長度和方向規(guī)定如下：2當(dāng)入0時， 當(dāng)入0時，由1可知，當(dāng)a的方向與a的方向相同；a的方向與a的方向相反。0或a 0時，a 0【探究2】問題一：求作向量3(2a)和6a( a為非零向量)，并進(jìn)行比擬。aaaaaaaTT*T2a2a2a問題二：向量 a、b，求作向量2(a b)和2a 2b，并進(jìn)行比擬a將全班劃分為 2個小組，組內(nèi)同學(xué)展開討論，提岀方法并自主探究。教師在學(xué)生中進(jìn)行巡視，了解學(xué)生的 進(jìn)展情況，并適時加以引導(dǎo)。在整個過程中，同學(xué)們都能積極思考問題，參與的熱情很高。師：鼓勵學(xué)

8、生踴躍答復(fù)生：結(jié)論：3(2a) 6a ， (2 4)a 2a 4a生：2(a b) 2a 2b類比實數(shù)乘法的運算律向量數(shù)乘的運算律：設(shè)a、b為任意向量，、為任意實數(shù)，那么有:結(jié)合律：(a) ( )a第一分配律：( )a a a第二分配律： (a b) a b為了降低難度，教科書不要求對三個運算律作岀證明，只要求學(xué)生會用。小注：實數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運算。例1：計算(口答)(1) ( 3) 4aB-B- -I-(2) 3(ab)2(a b)a(3) (2a3bc) (3a2bc)設(shè)計意圖：要求學(xué)生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律。教學(xué)中，不能讓學(xué)生將此題簡單地看作字母的代數(shù)運算,可以讓他

9、們在代數(shù)運算的同時說岀其幾何意義，使學(xué)生明確向量數(shù)乘運算的特點。I-解：原式=12a(2)原式=(3 2 1)a (3 2)b 5b3原式=2 3a3 2b 11c a 5b 2c剖析：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算。對于任意向量a、b及任意實數(shù)、，恒有V2b1a 2b。3、向量共線定理思考：引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？生：數(shù)乘向量與原向量是共線的?！咎骄?】問題1：如果 b a a 0,那么，向量a與b是否共線？問題2： b與非零向量a共線， 那么，b a ？學(xué)生分成兩組，各選一問進(jìn)行研究，然后同學(xué)之間相互交流，最后提升結(jié)論。教師巡視，適時加以引

10、導(dǎo)，了解學(xué)生進(jìn)展情況生：對于向量a a 0、b，如果有一個實數(shù)，使得b a ,那么，由數(shù)乘向量的定義知： 向量a與b共線。生：假設(shè)向量a與b共線，a 0，且向量b的長度是a的長度的倍，即有ba，當(dāng)a與b同方向時，有b a;當(dāng)a與b反方向時，有ba，所以始終有一個實數(shù)，使b a。師：如果沒有a 0的限制，會有什么結(jié)果？學(xué)生驚訝，沒有限制會怎么樣呢？馬上進(jìn)入思考狀態(tài)。生：問題1成立。0與任意向量都是共線向量。生：問題2不成立。向量共線定理：向量b與非零向量a共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一 一個實數(shù) ，使得b a評析：1.讓學(xué)生正確理解定理包含的兩層意思。也就是將來我們在選修中學(xué)到的充要條件。2. 讓學(xué)生自己先

11、體驗；假設(shè)無此限制，會有什么結(jié)果？再感悟到只有用非零向量，才能表示與它共線的所有 向量。3. 通過分組討論后，集同學(xué)們的勞動成果、智慧于一體，彼此之間再進(jìn)行交流，充分表達(dá)了 “眾人拾柴火焰高* fk b- fe- b-B- k 5-»例2.任意兩非零向量a、b，試作OA a b , OB a 2b， OC a 3b。你能判斷a、b、 c三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？設(shè)計意圖：利用向量共線判斷三點共線的方法，這是判斷三點共線常用的方法。教學(xué)中可以先讓學(xué)生作圖， 通過觀察圖形得到 a b、c三點共線的猜測，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點共 線，此題主要引導(dǎo)學(xué)生理

12、清思路，具體過程可由學(xué)生完成。解：作圖如右過程略依圖觀察，知 A、B、C三點共線。證明如下:AC OC OA (a 3b) (a b) 2b又 AB OB OA(a 2b) (a b)AC 2AB，又AB與AC有公共點a,A B、C三點共線。C評析：證明三點共線，可以直接運用定理，找岀兩向量間關(guān)系，再利用它們有一個公共點，得到三點共線。教學(xué)中利用多媒體作圖，進(jìn)行動態(tài)演示，揭示向量三點始終在同一條直線上的規(guī)律。a、b變化過程中，a b、c【變式練習(xí)】如圖， AD3AB、DE3BC，試判斷 AC解：丁 AD 3AB、DE 3BC又 AE AD DE3AB 3BC 3( AB BC)3ACAC與AE

13、共線評析：證明向量共線，可以直接運用定理思考：在此題中，假設(shè) B C分別是AD AE的三等分點，你能否利用向量關(guān)系來證明BCll DE呢?生:DE AE AD 3 AC 3 AB 3( AC AB) 3 BC ,即 BC / DE，又因為 bc de不重合，所以BC/ D呂三課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實數(shù)與向量的積的定義, 能在解題中加以運用。掌握實數(shù)與向量的積的運算律,理解向量共線定理，并 a的定義及運算律。 向量共線定理：向量 b與非零向量a共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一 一個實數(shù)，使得b a2.知識應(yīng)用： 證明向量共線； 證明三點共線：兩向量共線且有一個公共點假設(shè)AB證明兩直線平行：AB C

14、DAB CD不重合*jBC，即AB與BC共線且有一個公共點 B,那么a、b、C三點共線;AB II CD】 直線AB I直線CD。作業(yè)：P102 9、12四當(dāng)堂檢測知己知彼,才能百戰(zhàn)不殆1.計算 8 2 a - b +c-6 a -2 b +- c-2 2a +c=a是非零向量，入是非零實數(shù),以下結(jié)論中正確的選項是c求證:a與-a的方向相反2a與2a的方向相同b是不共線的兩個非零向量,A B、C三點共線。BD假設(shè)OA =2a - b , OB =3a+b , OC a-3 b五課后拓展提高不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層1選做在平行四邊形 ABCD中,點M是AB的中點，點N在線段BD上，且BN= BD.求證M、N、C三點共3線。四、教后剖析一學(xué)業(yè)評價自主性：注重開展學(xué)生的個性，分層式練習(xí)和選擇性作業(yè)，充分表達(dá)了學(xué)生的主體地位。實踐性：通過學(xué)生評析中的變式訓(xùn)練，給學(xué)生提供了一個很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)時機(jī)。二教學(xué)設(shè)計后預(yù)設(shè)性反思向量數(shù)乘運算及其幾何意義是繼向量的加法、減法之后的根本運算，為了正確的認(rèn)識向量數(shù)乘運算及其幾何意義，首先復(fù)習(xí)了向量的加法、減法，然后通過學(xué)生比擬熟悉的例子，引入主題。本節(jié)課總共設(shè)置三個探究題，目的是通過學(xué)生自主探究、合作釋疑，參與知識形成的過程。我的教學(xué)的一個理念是：表達(dá)